广东封开县广信中学 2025-2026学年八年级数学下学期期中卷

**基本信息** 融合文化传承与现实应用，如《九章算术》“折竹抵地”问题、风筝高度测量及梯子滑动问题，考查二次根式、勾股定理、四边形性质，体现几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|最简二次根式、直角三角形边长、平行四边形性质|基础概念辨析，如假命题判断（平行四边形对角线）| |填空题|5/15|多边形外角、菱形面积、最短路径（PE+PB）|结合几何直观，如刻度尺上直角三角尺CD长度计算| |解答题（三）|2/27|动态几何（线段旋转）、勾股定理证明|跨情境综合，如向常春证法迁移及PC=PD作图，考查推理能力与创新意识|

参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A B A C C C A 二、填空题 11．8 12．3 13．3 14．10 15．2 三、解答题 16．解： ． 17．解：（1）将，代入得 ； （2） 将，代入得 ． 18．证明：∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠C， ∵∠B＝∠C， ∴∠B＝∠DEC， ∴AB∥DE， ∵AD∥BC， ∴四边形ABED是平行四边形． 4、 解答题 19.（1）解：根据矩形性质，，且对角线互相平分， 即， ，在中，， ；（4分） （2）解：∵在中，， ， 根据勾股定理得：． 矩形面积为：．（9分） 20.解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形， ∵BC＝5m  AC＝13m． ∴由勾股定理得：AB＝＝12（m）， ∴梯子的高为12 m； （2）由题意可知DE＝AC＝13m， ∵AD＝3m， ∴BD＝12﹣3＝9（m）， 在Rt△DBE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2（m）， ∴﹣5）（m）． 21．解：（1）由题意，AB，BC，AC． S△ABC＝S长方形DEFC﹣S△ADC﹣S△AEB﹣S△BCF ＝92×32×13×1 ＝9﹣3﹣1﹣1.5 ＝3.5． 故答案为：，，，3.5． （2）由题意，可以作图如下． S△GHQ＝S长方形ABQD﹣S△AGH﹣S△BGQ﹣S△DHQ ＝82×12×24×1 ＝8﹣1﹣2﹣2 ＝3． 答：△GHQ的面积为3． （3）由题意，令，b，， ∴a2＝5，b2＝6，c2＝7． ∴ ． 5、 解答题 22．解：【小试牛刀】S梯形ABCDa（a+b）， S△EBCb（a﹣b）， S四边形AECDc2， 则它们满足的关系式为：a（a+b）b（a﹣b）c2 故答案为：a（a+b），b（a﹣b），c2，a（a+b）b（a﹣b）c2． 【知识运用】（1）如图2①，连接CD，作CE⊥AD于点E， ∵AD⊥AB，BC⊥AB， ∴BC＝AE，CE＝AB， ∴DE＝AD﹣AE＝25﹣16＝9千米， ∴CD41（千米）， ∴两个村庄相距41千米． 故答案为：41． （2）如图2②所示： 设AP＝x千米，则BP＝（40﹣x）千米， 在Rt△ADP中，DP2＝AP2+AD2＝x2+242， 在Rt△BPC中，CP2＝BP2+BC2＝（40﹣x）2+162， ∵PC＝PD， ∴x2+242＝（40﹣x）2+162， 解得x＝16， 即AP＝16千米． 【知识迁移】：如图3， 代数式的最小值为：20． 23．（1）解：，理由如下： 由旋转得， 当点D与点B重合时，则 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴；（4分） （2）解：，理由如下： 如图2，作交于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴；（9分） （3）解：如图3，点D在线段上，作交于点F，交的延长线于点G， 由（2）得， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图4，点D在线段的延长线上，作交的延长线于点F，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或．（14分） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．已知一个直角三角形的两直角边长分别为6和8，则第三边的长是（   ） A．10 B．10或 C． D．或 4．下列选项的命题中，是假命题的是（    ） A．平行四边形的对角线相等 B．正方形的四边相等 C．矩形的四个角相等 D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 5．如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（   ） A．12 B．15 C．18 D．24 （第5题） （第6题） （第7题） 6．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．如图， 菱形的对角线、相交于点O， E、F分别是、边上的中点， 连接． 若，，则菱形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”，这是古诗《村居》中的诗句，大意是孩子们放学了急忙跑回家，趁着东风把风筝放上蓝天．星期天，小华同学在公园放风筝，如图所示，小华为测量风筝能飞多高，根据手中风筝线的长测得，身高，，，则风筝离地面的高度为（   ） A． B． C． D． （第8题） （第9题） （第10题） 9． 如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，列出的正确方程为（　　） A．x2+62＝102 B．（10﹣x）2+62＝x2 C．x2+62＝（10﹣x）2 D．（10﹣x）2+x2＝62 10．如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（    ） A．20 B． C． D．18 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11．已知一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为____ ． 12．计算的结果等于 　 　 ． （第13题） （第14题） （第15题） 13． 如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：cm），则CD的长度为 　 　 cm． 14．如图，庭院中有两棵树，小鸟要从一棵高10m的树顶飞到一棵高4m的树顶上，两棵树相距8m，则小鸟至少要飞______米．  15．如图，菱形ABCD的周长为16，∠ADC=120º，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是___________.    三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分。 17．计算： 18．先化简，再求值：，其中． 19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C．E是边BC上一点，且DE＝DC， 求证：四边形ABED是平行四边形． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 20．已知：如图，在矩形中，两条对角线相交于点O，． （1）求的度数；（2）求矩形的面积． 21．一架云梯长13m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙5m． （1）这个梯子AC的顶端A距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了3m，如图到达DE位置，那么梯子的底部在水平方向滑动的距离CE是多少米？ 21．综合与实践： 【问题情境】 某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 第一小组的同学想到借助正方形网格解决问题．如图1是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在其中画出△ABC，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形CDEF，使它的顶点都在格点上，且它的边DE，EF分别经过点A，B，他们借助此图求出了△ABC的面积． （1）在图1中，所画的△ABC的三边长分别是AB＝　 ，BC＝　　 ，AC＝　 　 ，△ABC的面积为　 ； （2）在图2所示的正方形网格中画出△GHQ（顶点都在格点上），使GH，HQ，并求出△GHQ的面积； 【继续探究】 第二小组的同学想到借助曾经阅读的数学资料来解决问题．“已知三角形的三边长分别为a，b，c，求其面积”，古今中外的数学家曾经对此问题进行过深入的研究．古希腊几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶都给出过计算的公式： 海伦公式：S，其中p（a+b+c）； 秦九韶公式：S． （3） 一个三角形的三边长依次为，请你从上述材料中选用适当的公式求这个三角形的面积（写出计算过程）． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然， ∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE． （1）请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： S梯形ABCD＝　 　 ，S△EBC＝　 　 ，S四边形AECD＝　 　 ， 则它们满足的关系式为 　 　 经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为 　 　 千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，若AB＝40千米，AD＝24千米，BC＝16千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，请用尺规作图在图2中作出P点的位置并求出AP的距离． （4）知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜16） 23．中，，，点D在直线上运动，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． （1）当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段和线段的数量关系； （2）点D在线段上（不与点B，C重合）时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； （3）若，，请直接写出的面积． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $