精品解析：广东雷州一中教育集团雷州市第一中学等校2025－2026学年八年级第二学期期中素养检测数学试卷

25-26学年雷州一中教育集团八年级第二学期素养检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需要满足两个条件，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，符合两个条件即为最简二次根式． 【详解】解：∵选项A，的被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项B，，被开方数含分母，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意； ∵选项C，的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义，∴是最简二次根式，本选项符合题意； ∵选项D，，被开方数含能开得尽方的因数4，不符合最简二次根式定义，∴不是最简二次根式，本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（） A. B. 6，8，10 C. 8，9，10 D. 20，21，22 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理，逐项分析判断即可． 【详解】解：选项A，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，， 长度为，，的三条线段能构成直角三角形，符合题意； 选项C，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意； 选项D，，，， 长度为，，的三条线段不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法，减法，乘法，除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意； B、，原式计算错误，故不符合题意； C、，原式计算错误，故不符合题意； D、，原式计算正确，故符合题意． 故选：D． 4. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的外角和定理，根据多边形的外角和等于，即可求解． 【详解】解：任意多边形的外角和都是， 故正五边形的外角和的度数为． 故选：B． 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据四边形平行四边形对角相等及求，再由对边平行同旁内角互补求即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， ∴． 6. 下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简各选项为最简二次根式，根据其被开方数是否与的被开方数相同即可解答． 【详解】解：A、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； B、，被开方数为2，能与合并，不符合题意； C、，被开方数为3，不能与合并，符合题意； D、，被开方数为2，能与合并，不符合题意． 7. 如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，关键是熟练应用知识点解题；根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，为的中点， ∴， 故选：A． 8. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】由矩形和菱形的判定定理逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， A：若，无法推出平行四边形邻边相等，不满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，故A错误； B：若，可得，由有一个内角是直角的平行四边形是矩形，判定是矩形，但不一定是菱形，故B错误； C：若，由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，判定是菱形，但不一定是矩形，故C错误； D：若，由对角线相等的平行四边形是矩形，判定是矩形，故D正确． 9. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由矩形的性质得到，由折叠得，，由得到，推出，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 10. 如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，熟练掌握二次根式运算法则是解题的关键．先根据正方形的面积求出边长，，再根据，代入计算即可． 【详解】解：正方形的面积为12，正方形的面积为6， ，， ； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 【答案】144 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，掌握以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积是解题的关键． 根据以直角三角形三边向外作正方形，两个较小的正方形的面积和等于大正方形的面积求解即可． 【详解】解：由勾股定理得，字母B所代表的正方形面积． 故答案为：144． 13. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 【答案】24 【解析】 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入已知对角线长度计算即可得到结果． 【详解】解： 菱形的两条对角线长分别为和， 菱形的面积 ． 14. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 15. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，，再由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，且边长， ，， ， ∵是的中点， ． 16. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，垂线段最短，取的中点，连接，易得：为的中位线，进而得到当时，最短，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，则：， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一个动点， ∴当时，最小， ∵矩形， ∴， ∴当时，四边形为矩形， ∴， ∴； 故答案为：． 三、解答题一（每小题7分，共21分） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算 （2）化简求值：已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】由平行四边形的判定与性质求证即可． 【详解】证明：在平行四边形中，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题： （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求BC边上的高． 【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由见解析 （2）BC边上的高为2 【解析】 【分析】(1)根据正方形小方格边长为1，得到AB2+AC2＝BC2，由勾股定理逆定理得到△ABC是直角三角形． (2)设BC边上的高为h，根据面积公式，用正方形的面积减去三个三角形面积可以求出△ABC 的面积． 【小问1详解】 △ABC是直角三角形，理由： ∵正方形小方格边长为1， ∴AB2＝12+22＝5，AC2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25． ∴AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形． 【小问2详解】 设BC边上的高为h， △ABC 的面积＝4×4﹣×1×2﹣×4×3﹣×2×4＝16﹣1﹣6﹣4＝5， ×h×5＝5； ∴h＝2． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，勾股定理，熟悉勾股定理以及逆定理是解答此题的关键． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得，结合，，命题得证； （2）根据矩形和菱形的性质可得，，从而计算出菱形的面积． 【小问1详解】 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴． 21. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 【答案】（1） （2） （3）见详解 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，实数与数轴：解题的关键是求出正方形的边长． （1）由勾股定理求出正方形的边长即可； （2）根据图象可得点表示的数为点表示的数加上的长； （3）画出边长为的正方形即可； 【小问1详解】 解：由勾定理得，， ∴正方形的边长， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点表示的数为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，正方形的面积为5， ．   22. 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求折痕AF长． 【答案】（1）见解析 （2）折痕AF长为cm． 【解析】 【分析】（1）根据翻折变换的对称性可知AE=AB，在△ADE中，利用勾股定理逆定理证明三角形为直角三角形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可； （2）设BF为x，分别表示出EF、EC、FC，然后在Rt△EFC中利用勾股定理列式进行计算求得BF的值，在Rt△ABF中，再利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 证明：∵把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上， ∴AE=AB=10，， 又∵， ∴， ∴△ADE是直角三角形，且∠D=90°， 又∵四边形ABCD为平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）； 【小问2详解】 解：设BF=x，则EF=BF=x，EC=CD-DE=10-6=4，FC=BC-BF=8-x， 在Rt△EFC中，， 即， 解得x=5， ∴BF=5cm， 在Rt△ABF中，由勾股定理得，， ∵AB=10cm，BF=5cm， ∴AF(cm)． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，勾股定理，以及翻折变换前后的两个图形全等的性质，是综合题，但难度不大． 五、解答题三（每小题12分，共24分） 23. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 【答案】（1）B （2） （3）x=-1 【解析】 【分析】（1）计算对偶式（）×（）=4-3=1，可得两数互为倒数； （2）根据已知先分别化简x，y，求出x+y，x-y，xy的值，将所求分式分解因式后代入计算即可； （3）令，则两边同乘以，得24-x-（8-x）=2t，求出t，根据①，②，解得=10，即可求出x值，检验即可． 【小问1详解】 解：∵（）×（）=4-3=1， ∴对偶数与之间的关系是互为倒数， 故选：B； 【小问2详解】 由题意得=，=， ∴x+y=2，x-y=4，xy=1， ∴； 【小问3详解】 令，则两边同乘以，得 24-x-（8-x）=2t， 解得t=8， ∵①，②， ∴①+②，得=10， 两边同时平方得4（24-x）=100， 解得x=-1， 经检验，x=-1是原方程的解． 【点睛】此题考查了二次根式的分母有理化及求分式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化方法及求分式的值的计算是解题的关键． 24. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 【答案】（1），理由见解析；（2）；（3）①当时，；②当时，且点与点重合；③当时， 【解析】 【分析】（1）首先由正方形的性质得出，，，然后判定，进而得出，，又由正方形EFGH得出，再由四边形内角和得出，进而得出，； （2）首先过点作于点，作于点，得出，然后由对角线的性质得出，，进而判定四边形是正方形，即可判定，然后通过面积的等量代换得出，进而得出； （3）根据题意，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可． 【详解】（1）． 理由如下：如图，连接， ∵是正方形的对角线， ∴，，， 在和中， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，作于点， ∴， ∵点是正方形的对角线上的点， ∴，， ∴四边形是正方形， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵正方形与正方形重叠的面积是， ∴， 解得（负值舍去）， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴． ∴此时的长为； （3）分三种情况： ①如图所示，当时， 过点E作交于点P，交于点Q， ∴四边形是矩形，，是等腰直角三角形 由（1）得，， ∵， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； ②当时，且点与点重合； ③当时， 同理可证． 【点睛】此题主要考查三角形全等的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，正方形的性质以及动点问题的综合运用，熟练掌握，即可解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 25-26学年雷州一中教育集团八年级第二学期素养检测 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列长度的三条线段，能构成直角三角形的是（） A. B. 6，8，10 C. 8，9，10 D. 20，21，22 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 正五边形的外角和为（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，则（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式化成最简二次根式以后，不能与合并的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，公路，互相垂直，笔直公路的中点与点被湖面隔开．若测得长为，则点、之间的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 下列关于的叙述，正确的是（ ） A. 若，则是菱形 B. 若，则是菱形 C. 若，则是矩形 D. 若，则是矩形 9. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知正方形的面积为12，正方形的面积为6，则的面积为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是_____． 12. 如图，三个正方形中的数字和字母分别代表正方形的面积，则字母所代表的正方形的面积是______． 13. 菱形的两条对角线长分别为6，8，则这个菱形的面积为___________． 14. 如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 15. 如图，边长为5的菱形的对角线、交于点，是的中点，则的长为_____________． 16. 如图，在矩形中，是上一点，是上一动点，连接取的中点F，连接，当线段取得最小值时，线段的长度是______． 三、解答题一（每小题7分，共21分） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算 （2）化简求值：已知，，求的值． 18. 如图，在平行四边形中，、分别是、上的点，且．求证：． 19. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点，网格中有以格点A、B、C为顶点的△ABC，请你根据所学的知识回答下列问题： （1）判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求BC边上的高． 四、解答题二（每小题9分，共27分） 20. 如图，在菱形中，对角线与交于点，过点作的垂线，过点作的垂线，两直线相交于点． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求菱形面积． 21. 如图1，在的方格中，每个小正方形的边长为1．    （1）图1中正方形的边长为______； （2）如图2，若点A在数轴上表示的数是，以A为圆心，为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E，则点E所表示的数是______． （3）请在网格中画一个面积为5的正方形，使得正方形的顶点均在格点上．（备注网格小正方形的边长为1个单位长度）． 22. 如图，四边形ABCD为平行四边形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边上，折痕为AF．且AB=10cm、AD=8cm、DE=6cm． （1）求证：平行四边形ABCD是矩形； （2）求折痕AF长． 五、解答题三（每小题12分，共24分） 23. 定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为 ，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将中的“根号”去掉，于是二次根式除法可以这样计算：如．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）对偶式与之间的关系为______． A．互为相反数 B．互为倒数 C．绝对值相等 D．没有任何关系 （2）已知，，求的值． （3）解方程：（提示：利用“对偶式”相关知识，令）． 24. 综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $