23.4 实际问题与一次函数 第1课时 建立一次函数模型 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一次函数”第1课时，核心是建立一次函数模型。通过弹簧长度与物重关系的情境导入，引导学生经历“实际问题→抽象→函数解析式”的过程，衔接前后知识，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以生活实例（如桌凳高度、水费计算）为载体，培养数学眼光（抽象实际问题中的数量关系）、数学思维（用待定系数法推理函数解析式）和数学语言（分段函数表达复杂关系）。采用探究式教学，课堂小结清晰，分层作业适配不同学生，助力教师高效教学，提升学生应用能力。

第1课时 建立一次函数模型 23.4 实际问题一次函数 1 素养目标 1. 通过实际问题经历一次函数模型的建模过程，在情境中 感受数学来源于生活，发展和培养数学建模思想以及分 析、解决问题的能力． 2. 了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解 析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中 的应用． 情境导入 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画. 实际问题 一次函数 抽 象 解析式 根据条件 再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 问题：在弹性限度内，弹簧的长度 y (单位：cm) 与所挂物体的质量 x (单位：kg) 之间是一次函数关系，其图象如图所示，则 y 关于 x 的函数解析式为___________，弹簧不挂物体时的长度为_____cm． y=0.5x+10 10 探究新知(一) 【探究1】学校为了学生的健康发展，从七年级开始使用升降桌凳，这些桌凳可以根据人的身高调节高度.该校八年级兴趣小组的同学分组测量，发现每套桌凳有四档高度，测量得到如下数据： 凳高x/ cm 37 40 42 45 47 桌高y/ cm   75 78 82.5 85.5 根据数据可知，桌高y与凳高x成一次函数关系. (1)求y与x 的函数关系式(不必写出自变量的取值范围)； (2)在上面的表格中，有一个数据被污染，请求出被污染的 数据. 探究新知(一) 解：(1)设桌高y与凳高x的函数关系式为y=kx+b(k≠0),依题意,得 {40k+b=75,42k+b=78,解得 ∴桌高 y与凳高x的函数关系式为y=1.5x+15. (2)当x=37时,y=1.5×37+15=70.5, ∴被污染的数据为 70.5. 【探究2】已知A，B两地相距30千米，B，C两地相距48千 米，某人骑自行车以每小时12千米的速度从A地出发，经 过B地到达C地.设此人骑车时间为 x 小时，离B地的路程 为y千米，则y关于x的函数解析式为______________ 探究新知(二) 典型例题 例1（教材131页） 某玉米种子的价格为 40 元/kg. 若一次购买不超过 2 kg 的种子，其价格不变；若一次购买超过 2 kg 的种子，超过部分的种子价格打六折. （1）写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； 付款金额=种子价格×购买量 提出问题：付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系? 分析：通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与_______有关，设购买 x kg种子，付款金额为 y 元．则有： 购买量 购买量/kg 种子价格/（元/kg） 付款金额/元 0≤x≤2 40 40x x>2 2kg种子价格+超过2kg部分的种子价格 24x+32 + 40×2 40×0.6×(x－2) 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分_________和_________讨论． 0≤x≤2 x>2 解：（1）设购买量为 x kg，付款金额为 y 元. 当 0 ≤ x ≤ 2时，种子价格为 40元/kg，函数解析式为 y = 40x； 当 x > 2 时，购买的种子中有 2 kg 按 40元/kg 计价，其余的(x－2)kg (即超出 2 kg 部分) 按 24元/kg (即六折)计价. 函数解析式为 y=80+24(x – 2)=24x+32. y/元 O 40 20 60 80 100 x/kg 2 1 3 y = 40x y = 24x + 32 函数图象如图所示. （2）一次购买 4 kg 玉米种子，需付款多少元？ y/元 O 40 20 60 80 100 x/kg 2 1 3 y = 40x y = 24x + 32 因为 4 > 2， 所以 y = 24 × 4 + 32 = 128. 因此，一次购买 4 kg 种子，需付款 128 元. y = 40x，0 ≤ x ≤ 2， 24x + 32，x > 2 . 某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费 y ( 单位:元 ) 与每月用水量 x ( 单位:m3 ) 存在如图所示的函数关系． （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若某用户某月缴纳水费 63 元， 则该用户当月的用水量是多少立方米？ 变式训练 解:（1）当 0 ≤ x ≤ 15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ mx ( m ≠ 0 )． 由题意，得 15m ＝ 27，解得 m ＝ 1.8，所以 y ＝ 1.8x． 当 x＞15 时，设 y 关于 x 的函数解析式为 y ＝ kx + b ( k ≠ 0 )． 15k + b = 27， 20k + b = 39， 由题意，得 k = 2.4， b = －9， 解方程组，得 所以 y = 2.4x－9. 综上，y 关于 x 的函数解析式为 y = 1.8x，0 ≤ x ≤ 15， 2.4x－9，x > 15. （2）因为 63＞27， 所以将 y ＝ 63 代入 y ＝ 2.4x－9， 得 2.4x－9 ＝ 63，解得 x ＝30， 则该用户当月的用水量是 30 m3 ． （2）若某用户某月缴纳水费 63 元，则该用户当月的用水量是多少立方米？ 巩固练 习 1. 一个实验室在 0:00-2:00 保持 20 ℃ 的恒温，在 2:00-4:00 匀速升温，每小时升高 5 ℃. 写出实验室温度 T(单位：℃)关于时间 t(单位：h)的函数解析式，并画出函数图象. 解：当 0 ≤ t ≤ 2 时，T = 20； 当 2 < t ≤ 4 时，T = 20 + 5(t－2) = 5t + 10， 所以 T = 20，0 ≤ t ≤ 2， 5t +10，2 < t ≤ 4 . 选自教材第131页 练习 第1题 2. 某市出租车的收费方式为：路程不超过 3 km 时收费 9 元， 超过 3 km 部分每千米收费 2 元. 记乘客乘坐出租车的路程 为 x (x > 3) km，乘车费为 y 元. （1）求 y 关于 x 的函数解析式； 解：y 关于 x 的函数解析式为 y=9+2(x－3)，即 y=2x+3. 选自教材第132页 练习 第2题 （2）若有一位乘客付了 23 元乘车费，则他的乘车路程是多少？ 解：令 y = 23，即 2x + 3 = 23，解得 x = 10. 所以他的乘车路程是 10 km. 3.某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用．他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完．已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题： （1）王爷爷的电子钱包中原有零钱____元； （2）苹果降价前每千克____元，降价后每千克____元； 80 12 10 （3）请求出 y 关于 x 的函数解析式． 解：由图象和（1）（2）可得，当0 ≤ x ≤ 50时，y=12x+80； 当50 < x ≤ 80时，y=10(x－50)+680，即y=10x+180. 综上，y关于x的函数解析式为y= 12x+80，0 ≤ x ≤ 50， 10x+180，50 < x ≤ 80 . 当堂检测 声音在空气中传播的速度y(m/s)是气温x(℃)的一次函数，下表列出了 一组不同气温的音速： 气温x/℃ 0 5 10 15 20 音速y/m.s⁻¹ 331 334 337 340 343 (1)求y与x 之间的函数关系式； (2)气温x=23℃时，某人看到烟花燃放5s 后才听到声响，那么此人与烟 花燃放地相距约多远? 解:(1)设y= kx+b,将(0,331),(5,334)代入,得 ， 解得  ∴y= (2)当x=23时,  ∴5×344.8=1724(m). 答：此人与烟花燃放地相距约1724 m. y= 课堂小结 一次函数的应用 函数的形式 确定解析式 单一函数 直接根据题意 分段函数 待定系数法 课后分层作业 基础层：教材第131~132页练习第1,2题. 提升层：某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20 吨，按每吨2.5元收费；如果超过20吨，未超过的部分按每吨2.5元收费，超过的部分按每吨3.3元收费.设某户每月用水量为x吨，应缴水费为y元. (1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x 之间的函数解析式； (2)若该城市某户4月份的平均水费为每吨2.8元，求该户4 月份用水多少吨? 解:(1)当x≤20时,y=2.5x; 当x>20时,y=3.3(x-20)+2.5×20=3.3x-16. (2)∵该户4月份的平均水费为每吨2.8元， ∴该户 4月份用水超过20 吨. 设该户 4月份用水a吨，则2.8a=3.3a-16,解得a=32. 答：该户 4月份用水 32 吨. $