同构思想在函数中的应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“一元函数的导数及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了同构思想的两大核心视角，通过近五年真题分析明确变量分离同构、指对跨阶同构等高频考点占比，归纳不等式恒成立、参数范围等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“题型拆解+方法建模+素养提升”策略，如例(1)通过构造函数f(t)=e^t-sint分析单调性，培养数学思维与逻辑推理能力，提供变式训练与易错点警示，助力学生掌握同构转化技巧，教师可据此精准突破考点，实现高效复习。

第三章 同构思想在函数中的应用 一元函数的导数及其应用 1 视角 1 变量分离同构 　　　(1) 已知x＞0，y＞0，且e2x－ey＞sin 2x－sin y，则 (　　) A．2x＜y　 B．2x＞y C．x＞y　 D．x＜y 1 【解析】 　　　　设f(t)＝et－sin t，t＞0，f′(t)＝et－cos t，当t＞0时，f′(t)＞0恒成立，所以f(t)在(0，＋∞)上是增函数．原不等式变形为e2x－sin 2x＞ey－sin y，即f(2x)＞f(y)，所以2x＞y． B 　　　(2) 若当0＜x1＜x2＜a时，x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2恒成立，则实数a的最大值为 (　　) 1 【解析】 B 1 【解析】 【答案】A 变量分离同构策略： (2) |f(x1)－f(x2)|≤m|x1－x2|(x1＜x2)型：讨论f(x)的单调性，去掉绝对值，若f(x)在其定义域内单调递减，则有f(x1)＋mx1≤f(x2)＋mx2，研究g(x)＝f(x)＋mx； 【解析】 【答案】D 视角 2 指、对跨阶同构 　　　　　(1) 已知函数f(x)＝ex－aln x(其中a为参数)，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式f(x)＞aln a恒成立，则正实数a的取值范围是_________． 【解析】 2－1 令g(t)＝et＋t，则g(x－ln a)＞g(ln x)．因为g(t)为增函数，所以x－ln a＞ln x，即ln a＜x－ln x． (0，e) 　　　　　(2) 若函数f(x)＝xex－x－ln x＋a－2有两个零点，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，1]　 B．(－∞，0] C．(－∞，0)　 D．(－∞，1) 【解析】 　　　　令f(x)＝xex－x－ln x＋a－2＝0，所以xex－x－ln x＝ex＋ln x－(x＋ln x)＝2－a．令F(x)＝ex＋ln x－(x＋ln x)，定义域为(0，＋∞)，y＝2－a，令t＝x＋ln x，易知t(x)在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R，所以F(x)＝g(t)＝et－t，则函数f(x)有两个零点转化为函数g(t)＝et－t的图象与直线y＝2－a有两个交点． 又g′(t)＝et－1，当t＜0时，g′(t)＜0；当t＞0时，g′(t)＞0，所以g(t)＝et－t在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以g(t)≥g(0)＝e0－0＝1，当t→－∞时，g(t)→＋∞；当t→＋∞时，g(t)→＋∞，则y＝2－a＞1，解得a＜1，即实数a的取值范围是(－∞，1)． D 2－1 　　　　　已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(e为自然对数的底数)． (1) 若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，求a的取值范围； 【解答】 2－2 　　　　　已知函数f(x)＝axex－(x＋1)2(e为自然对数的底数)． 【解答】 2－2 方法二：令g(x)＝xex－2－ln x－x＋1＝eln x＋x－2－(ln x＋x－2)－1．令t＝ln x＋x－2，则t∈R，令k(t)＝et－t－1，则k′(t)＝et－1，当t＜0时，k′(t)＜0；当t＞0时，k′(t)＞0，所以k(t)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．所以k(t)≥k(0)＝0，即g(x)≥0，所以f(x)≥ln x－x2－x－2． 变式2　(1) 若不等式ex＋a≥ln x－a恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．[0，＋∞)　 B．[－1，＋∞) 【解析】 由g′(x)＞0得0＜x＜1，此时g(x)单调递增，由g′(x)＜0得x＞1，此时g(x)单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝－1，所以a≥－1． B 变式2　(2) 已知实数x，y满足ex＝yln x＋yln y，则满足条件的整数y的最小值为 (　　) A．1　 B．3 C．5　 D．7 【解析】 　　　　由实数x，y满足ex＝yln x＋yln y，可得ex＝yln(xy)(x＞0，y＞0，xy＞1)，即xex＝xyln(xy)＝ln(xy)·eln(xy)．令g(x)＝xex(x＞0)，g′(x)＝(x＋1)ex，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)单调递增． 又e∈(2，3)，所以满足条件的整数y的最小值为3． B 变式2　(3) 已知函数f(x)＝xex－a(x＋ln x)有两个零点，则实数a的取值范围是____________． 【解析】 　　　　f(x)＝xex－a(x＋ln x)＝ex＋ln x－a(x＋ln x)，令t＝x＋ln x，t∈R，显然该函数单调递增，即et－at＝0有两个根，即et＝at有两个根，如图，作出函数y＝et的图象及其过原点的切线y＝et，由图可知，当a＞e时有两个交点，即et＝at有两个根． (e， ＋∞) 配套练习题 一、单项选择题 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【解析】 B 【解析】 B 3．已知函数f(x)＝eax－2ln x－x2＋ax，若f(x)＞0恒成立，则实数a的取值范围为 (　　) C．(2e，＋∞)　 D．(0，2e) 【解析】 【答案】A 4．已知f(x)＝x(ex－1)，g(x)＝ln x，与y轴平行的直线l与f(x)和g(x)的图象分别交于A，B两点，则AB的最小值是 (　　) 【解析】 　　　　由题意设A(a，f(a))，B(a，g(a))，则AB＝|f(a)－g(a)|，令h(x)＝f(x)－g(x)＝x(ex－1)－ln x＝ex＋ln x－(x＋ln x)．下证：ex－x≥1，设t(x)＝ex－x－1，则t′(x)＝ex－1，t′(0)＝0，当x∈(－∞，0)时，t′(x)＜0，t(x)为减函数；当x∈(0，＋∞)时，t′(x)＞0，t(x)为增函数，所以t(x)min＝t(0)＝0，即ex－x≥1，当且仅当x＝0时等号成立，所以h(x)＝ex＋ln x－(x＋ln x)≥1，当且仅当x＋ln x＝0时等号成立． 【答案】A 【解析】 【答案】B 二、多项选择题 6．若0＜x1＜x2＜1，则下列结论错误的是 (　　　) 【解析】 【答案】ABD 7．已知函数f(x)＝etx－ln x＋(t－1)x，若f(x)≥0恒成立，则实数t的可能的取值为 (　 　) 【解析】 　　　　由f(x)＝etx－ln x＋(t－1)x≥0，得etx＋tx≥ln x＋x，即etx＋tx≥ln x＋eln x，故f(x)≥0恒成立转化成etx＋tx≥eln x＋ln x恒成立． 【答案】AD 【解析】 【解析】 e 10．已知关于x的不等式aexx－2ln x－2x－2≥0恒成立，则实数a的最小值为_____. 【解析】 2 $