圆锥曲线中的常见结论及应用 课件-2027届高三数学一轮复习

圆锥曲线中的常见结论及应用 　　椭圆、双曲线、抛物线是高中数学的重要内容之一，知识的综合 性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟 记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解 题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的 问题便能迎刃而解. 高中总复习·数学 椭圆、双曲线的焦点三角形 　　焦点三角形的面积公式：P为椭圆（或双曲线）上异于长轴端点的一 点，F1，F2为其焦点，记∠F1PF2＝θ，则：在椭圆中， ＝ b2·tan ；在双曲线中， ＝ . 高中总复习·数学 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，F1，F2为焦点，点P在椭 圆上，直线PF1与PF2倾斜角的差为90°，△F1PF2的面积是20，离心率为 ，则椭圆的标准方程为 　 ＋ ＝1或 ＋ ＝1　. 解析：设∠F1PF2＝θ，则θ＝90°.∵ ＝b2tan ＝b2tan 45°＝b2＝ 20，又∵e＝ ＝ ＝ ，∴1－ ＝ ，即1－ ＝ ，解得a2＝ 45.∴所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1. ＋ ＝1或 ＋ ＝1 高中总复习·数学 椭圆、双曲线的垂径定理 1. 若AB是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M （x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－ . 2. 若AB是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M （x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝ . 高中总复习·数学 已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与 E相交于A，B两点，且AB的中点为M（－12，－15），则E的方程为 （　　） A. － ＝1 B. － ＝1 C. － ＝1 D. － ＝1 √ 高中总复习·数学 解析：　由题意可知kAB＝ ＝1，kMO＝ ＝ ，由双曲线的垂径 定理得kMO·kAB＝ ，即 ＝ ，又9＝a2＋b2，联立解得a2＝4，b2＝ 5，故双曲线E的方程为 － ＝1. 高中总复习·数学 圆锥曲线的切线方程 1. 设 P（x0，y0） 为椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上的点， 则过该点的切 线方程为： ＋ ＝1. 2. 设 P（x0，y0） 为双曲线 － ＝1 （a＞0，b＞0）上的点， 则过该 点的切线方程为： － ＝1. 3. 设 P（x0，y0） 为抛物线y2＝2px （p＞0）上的点， 则过该点的切线方 程为yy0＝p（x＋x0）. 高中总复习·数学 已知点P（10，3）在椭圆C： ＋ ＝1上，则椭圆C在点P处的切 线方程为（　　） A. ＋ ＝1 B. ＋ ＝1 C. ＋ ＝1 D. ＋ ＝1 解析：　因为点P（10，3）在椭圆C： ＋ ＝1上，故可得 ＋ ＝ 1，解得a2＝110，则椭圆C在点P处的切线方程为 ＋ ＝1，整理可得 ＋ ＝1，故选C. √ 高中总复习·数学 抛物线的焦点弦 设AB是过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦，若A（x1，y1），B （x2，y2），则 （1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2； 高中总复习·数学 （2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ （α为弦 AB的倾斜角）； （3）弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ （α为弦AB的倾斜角），且 ＋ ＝ ； （4）S△OAB＝ （O为抛物线的顶点）； （5）以AB为直径的圆与准线相切；以焦半径AF（BF）为直径的圆与y 轴相切. 高中总复习·数学 〔多选〕（2026·辽宁抚顺模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0） 的准线方程为x＝－1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两 点，则下列说法正确的是（　　） A. ｜AB｜的最小值为4 B. 设Q（3，2），则△QAF周长的最小值为4 C. 以AF为直径的圆与y轴相切 D. 若 ＝2 ，则直线l的斜率为2 或－2 √ √ √ 高中总复习·数学 解析：　抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x ＝－1，所以 ＝1，则p＝2，所以抛物线C：y2＝4x， 易知过焦点且垂直于对称轴的弦最短，所以｜AB｜的 最小值为2p＝4，故A正确；如图，过点A作准线的垂线，垂足为C，交y轴于A1，F（1，0），根据抛物线的定义可得｜AF｜＝｜AC｜，所以△QAF周长为｜AF｜＋｜AQ｜＋｜QF｜＝｜AC｜＋｜AQ｜＋ ＝｜AC｜＋｜AQ｜＋2 ，由图可知，当A，C与点Q共线时，｜AC｜＋｜AQ｜有最小值，最小值为Q到准线x＝－1的距 离，其值为3－（－1）＝4，所以△QAF周长的最小值为（｜AC｜＋｜ 高中总复习·数学 AQ｜）min＋2 ＝4＋2 ，故B错误；易知C正确；设直线AB的方程为x＝my＋1，联立 整理可得y2－4my－4＝0，易知Δ＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，因为 ＝2 ，所以y2＝－2y1，故y2＝8m，y1＝－4m，所以32m2＝4，解得m2＝ ，所以k＝± ＝±2 ，故D正确.故选A、C、D. 高中总复习·数学 1. 已知过圆锥曲线 ＋ ＝1上一点P（x0，y0）的切线方程为 ＋ ＝1.过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）作椭圆的切线l，则过A点且与 直线l垂直的直线方程为（　　） A. x－y－3＝0 B. x＋y－2＝0 C. 2x＋3y－3＝0 D. 3x－y－10＝0 √ 高中总复习·数学 解析：　过椭圆 ＋ ＝1上的点A（3，－1）的切线l的方程为 ＋ ＝1，即x－y－4＝0，切线l的斜率为1，故与直线l垂直的直线的斜率为 －1，过A点且与直线l垂直的直线方程为y＋1＝－（x－3），即x＋y－2 ＝0，故选B. 高中总复习·数学 2. 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点， 若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（　　） A. B. C. D. 2 解析： 　∵y2＝4x，∴p＝2，又由题意知 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝ ＝1，∴｜BF｜＝ .设∠AFx＝θ（0＜θ＜π），由｜AB｜＝｜ AF｜＋｜BF｜＝ ＝ ，即3＋ ＝ ，∴ sin 2θ＝ ， sin θ＝ ，则△AOB的面积S△AOB＝ ＝ ＝ ，故选C. √ 高中总复习·数学 3. 已知双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），过原点的直线与双曲线交于 A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的 面积为2a2，则双曲线的离心率为 ⁠. 解析：如图，设双曲线的左焦点为F'，连接AF'，BF'，因 为以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F（c，0）， 所以S△AF'F＝S△ABF＝2a2且∠F'AF＝θ＝ ，根据双曲线焦 点三角形面积公式，得S△AF'F＝ .所以2a2＝b2，即 ＝2，e＝ ＝ . ​ 高中总复习·数学 4. 设过点P（0， ）的直线l与椭圆 ＋y2＝1交于M，N两点，点B为该 椭圆的下顶点且｜BM｜＝｜BN｜，则直线l的方程为 ⁠. 解析：设弦MN的中点E的坐标为（m，n），连接OE，BE. 由椭圆的 “垂径定理”与已知条件，有kBE·kPE＝－1，kOE·kPE＝－ ，于是 · ＝－1， · ＝－ ，解得m＝± ，n＝ . y＝± x＋ 高中总复习·数学 于是直线l的方程为y＝± x＋ .由于 ＋（ ）2＜1，所以E在 椭圆内，直线l与椭圆相交，满足条件，所以直线l的方程为y＝± x＋ . 高中总复习·数学 $