精品解析：广西南宁市第十四中学2025-2026学年高一下学期3月测试数学试题

南宁市第十四中学2025~2026年春季学期高一3月测试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 向量，，若，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的坐标运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】由向量，， 因为， 所以． 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 6 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理即可直接求解. 【详解】设外接圆的半径为， 则， 即． 则外接圆的半径为. 4. 如图，在中，D为AB的中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的加减法运算法则，化简求解即可. 【详解】因为E为CD的中点，则.因为D为AB的中点，则.所以. 故选：D. 5. 位于P处雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用余弦定理可解. 【详解】题意如图， 当甲船沿航行时，航行的里数最少. 由题意，，在中，根据余弦定理可得： ， 所以. 即甲船至少需要航行的海里数为. 故选：B. 6. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的投影向量的定义，列式求解，即可得答案. 【详解】由于向量在向量上的投影向量为， 故可得，即，所以， 故选：C 7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 【答案】C 【解析】 【分析】根据到三角形三个顶点的距离相等，得到为外心；根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 【详解】 因为，所以到定点的距离相等， 所以为的外心； 由，则， 取的中点，则， 所以，即为靠近的三等分点， 所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，，所以点为的垂心. 8. 如图，公园里有一块边长为4等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式及条件可得，然后利用余弦定理及基本不等式可得，即得. 【详解】由题可知的面积为， 又， ∴， 由余弦定理可得 ， 当且仅当时取等号， ∴，即水管的最短长度为. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可. 【详解】， ，A错误； ，B正确； 的共轭复数为，C错误； 的虚部为，D正确； 故选：BD 10. 已知点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为锐角，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据向量模的计算公式，可得判定A正确；根据向量垂直的坐标表示，列出方程，求得的值，可判定B错误；根据共线向量的坐标表示，可判定C正确；根据向量的数量积的运算公式，可判定D正确. 【详解】因为，可得 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，由，可得，解得，故B错误； 对于C，由，可得，解得，故C正确； 对于D，由与的夹角为锐角，则满足且向量与不共线， 则满足且，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由正弦定理即可判断，对于B，由正弦定理结合大边对大角可判断，对于C，根据向量线性关系及数量积的几何意义可判断，对于D，由余弦定理结合基本不等式求出最大值，即可判定. 【详解】A选项，在中，由得，即，所以； B选项，由正弦定理得即，解得， 又因为，所以，所以只能是锐角，所以只有一解，B错误； C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，C正确； D选项，因为，，所以由余弦定理得， 当且仅当时取等号，即， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，则与的夹角________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】因为，，，设与的夹角为，， 所以，所以． 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 14. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①根据类比图形的结构特点，找到与的面积联系即可. ②利用向量加减法的三角形法则，用，表示出即可. 【详解】如图： 连接，由题意知，且分别为的中点，. 所以， , 得. ，， 化简得， 所以 故答案为：①；②. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）根据复数的分类列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列式求解即可. 【小问1详解】 若复数为实数，则，解得或． 【小问2详解】 若复数为纯虚数，则，解得，所以． 小问3详解】 若复数在复平面内对应的点位于第四象限， 则，解得，可得， 所以实数的取值范围为. 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求. （2）利用余弦定理求边. （3）利用三角形的面积公式求边上的高. 【小问1详解】 由正弦定理，得，解得． 【小问2详解】 由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． 【小问3详解】 由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 17. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）当为何值时？ （3）当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 【答案】（1） （2） （3），反向 【解析】 【分析】（1）利用，把向量模的运算转化为数量积运算即得结果； （2）利用向量垂直的充要条件数量积为0，转化为数量积运算，最后解方程即得结果； （3）利用向量共线的充要条件得，根据平面向量基本定理，可得解. 【小问1详解】 由已知得， 因为. 所以 【小问2详解】 若，即， 所以，即，解得， 即当时，. 【小问3详解】 若，即， 根据平面向量基本定理可得，解得， 此时与反向. 18. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，且. 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果； （2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值. 【详解】（1）因为，则，则，故，， ，所以，为锐角，则， 因此，； （2）显然，若为钝角三角形，则为钝角， 由余弦定理可得， 解得，则， 由三角形三边关系可得，可得，，故. 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将题目中的条件.转换成仅含有角关系，再利用辅助角公式求解即可； （2），由向量的数量积可得，由三角形的面积可得，结合余弦定理可求，可求周长； （3）不妨设，则由余弦定理解方程组即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得 即：， 所以 所以，即，所以，得； 【小问2详解】 ， 因为， 所以， 由得： ，即， 由余弦定理得，即， 则，解得． 所以的周长为； 【小问3详解】 不妨设，则.由余弦定理得: ，① ，② ，③ 因为，所以，即，则， 由②③，，则 即 因为，所以，解得或(舍) 所以，得. 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解并应用费马点的定义，第三问关键是设，从而推导出、，结合关系求得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁市第十四中学2025~2026年春季学期高一3月测试 数学试题 （满分150分，120分钟完成） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 向量，，若，则向量（ ） A. B. C. D. 3. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，则外接圆的半径为（ ） A. B. C. 6 D. 12 4. 如图，在中，D为AB中点，E为CD的中点，设，，以向量，为基底，则向量（ ） A. B. C. D. 5. 位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量，满足，向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. 0 B. 1 C. 8 D. 4 7. 已知点、、在所在平面内，且，，，则点、、依次是的（ ） A. 重心、外心、垂心 B. 重心、外心、内心 C. 外心、重心、垂心 D. 外心、重心、内心 8. 如图，公园里有一块边长为4的等边三角形草坪（记为），图中把草坪分成面积相等的两部分，在上，在上，如果要沿铺设灌溉水管，则水管的最短长度为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. 下面是关于复数（i为虚数单位）命题，其中真命题为（ ） A. B. C. z的共轭复数为 D. z的虚部为 10. 已知点，则下列说法正确是（ ） A. B. 若 ，则 C. 若，则 D. 若与的夹角为锐角，则 11. 的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设，，，则与的夹角________． 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 14. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明或演算步骤． 15. 复数，其中． （1）若复数为实数，求的值； （2）若复数为纯虚数，求的值； （3）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围． 16. 在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： （1）的值； （2）的值； （3）边上的高． 17. 已知向量与的夹角为，且，. （1）求； （2）当为何值时？ （3）当为何值时，此时它们是同向还是反向？ 18. 在中，角、、所对的边长分别为、、，，.． （1）若，求的面积； （2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. “费马点”是三角形内部与其三个顶点的距离之和最小的点．对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使的点即为费马点．已知中，角的对边分别为，点是的“费马点”． （1）求角； （2）若，求的周长； （3）若，求实数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $