解三角形考前专项练习-2026届高三数学二轮专题复习

**基本信息** 聚焦解三角形核心定理应用，覆盖基础计算、形状判断、实际测量及范围最值，题型全面且层次递进，注重数学思维的推理与运算能力及数学语言的表达能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|基础应用与综合判断|从正弦、余弦定理直接应用到解的个数、形状判断，形成概念生成链条| |填空|3题|定理直接应用与几何要素|结合角平分线等几何条件，强化原理推导与应用| |解答|5题|综合解答与实际问题|融入向量、最值及实际测量，体现从基础到拓展的完整逻辑|

2026届高三数学解三角形模块考前专练 一、单选题 1．的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 2．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（   ） A．B． C．50 D． 8．在中，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．在，，，，则（    ） A．B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 10．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 11．在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．当是直角三角形时， D．的取值范围是 三、填空题 12．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 13．已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 14．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 四、解答题 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 16．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围.及面积最大值 18．如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在的圆心，，扇形绿地的半径为，广场管理部欲在绿地上修建观光小路，修建标准为在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路． (1)当时，求小路到的距离； (2)设，求与（用表示）； (3)试求小路与的长度和关于的函数，并求出的最大值及此时的值． 19．在中，角的对边分别是，满足，且. (1)求角的大小； (2)为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学解三角形模块考前专练 一、单选题 1．的内角所对的边分别为，若，则为（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得，，即， 因为，所以， 故. 2．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由正弦定理得：, 设,由余弦定理的推论得：， . 3．已知的内角所对的边分别为，且，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 由余弦定理得：，， ，解得：，. 4．在中，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】利用正余弦函数的单调性以及大边对大角判断即可得出结论． 【详解】判断： 根据正弦定理，则， 因为，等价于； 根据大边对大角，可得：； 因为，余弦函数在上单调递减， 故；充分性得证； 判断： 因为余弦函数在上单调递减，， 故，根据大角对大边可知； 根据正弦定理，故； 必要性得证； 综上，“”是“”的充要条件． 5．在中，由下列已知条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】在中，已知、、，且为锐角，若有两解，则，逐项判断即可. 【详解】在中，已知、、，且为锐角，如下图所示： 由图可知，若有两解，则， 对于A选项，，，，则， 所以，此时不存在，A不满足要求； 对于B选项，，，，因为，故只有一解，B不满足要求； 对于C选项，，，，则，所以， 故有两解，C满足要求； 对于D选项，，，，则，所以， 故只有一解，D不满足要求. 6．在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【详解】在中，， 又可得，从而； 利用余弦定理和面积公式可将化为， 所以，从而，故是等边三角形. 7．如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为45°，则塔高（   ） A． B． C．50 D． 【答案】B 【分析】由已知，，米,利用正弦定理求出,在中，求出即可. 【详解】由已知，，米，故， 而 所以，即，解得， 又因为在点C测得塔顶A的仰角为，即， 所以在中，. 8．在中，，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二倍角的余弦公式可得，再由正弦定理角化边可得关系，最后利用余弦定理和基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得： ， 所以， 再由正弦定理可得：，则， （当且仅当，即时取等号）， 所以的最小值为. 二、多选题 9．在，，，，则（    ） A． B． C．的面积为 D．外接圆的直径是 【答案】AB 【详解】对于A ，，，故A正确； 对于B，，，， 由余弦定理得， 即，故B正确； 对于C，由得， ，故C错误； 对于D，，，， 即外接圆的直径是，故D错误. 10．如图，在平面四边形中，已知，，，，，下列四个结论中正确的是（    ） A． B．四边形的面积为 C． D．四边形的周长为 【答案】ABD 【详解】对于A 项，在中，由余弦定理得, 即， 在中, 由余弦定理得, 即 所以, 则，故,则，故A正确； 对于B项，因为， ， 所以，故B正确； 对于C项，因为，所以，故C错误； 对于D项，四边形的周长为，故D正确. 11．在中，角，，的对边分别为，，.已知，是锐角，其外接圆半径为，内切圆半径为，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的面积为 C．当是直角三角形时， D．的取值范围是 【答案】AC 【分析】选项，用正弦定理将条件角化边，再用余弦定理求出角；选项，用正弦定理结合已知边求出角，再用内角和求角，最后用面积公式计算验证；选项，先确定直角位置，用正弦定理求出三边，再用直角三角形内切圆半径公式计算；选项，用正弦定理边化角，结合内角和统一变量，用辅助角公式化简后根据角的范围求值域. 【详解】选项：根据正弦定理角化边，原式可化为. 由余弦定理，代入得. ∵，∴，故选项正确. 选项：若，∵， ∴，又A是锐角，∴. 则，即为直角三角形，斜边. 由勾股定理得，故的面积，选项错误. 选项C：∵，∴若为直角三角形，因为是锐角，则直角只能为，则， ∵，，. 半周长，面积， ∴，选项C正确. 选项D：∵，，∴， 又是锐角，即，∴. 由正弦定理得，，则： 展开 ，代入得： ， 故. ∵，∴，因此 ， 即的取值范围是，选项D错误. 【点睛】方法归纳：解三角形综合问题常通过正弦定理、余弦定理实现边角互化，结合三角形内角和定理、三角函数的值域求解范围问题；三角形内切圆半径公式为（其中为三角形面积，为半周长），是求解内切圆半径的常用方法. 易错归纳：1. 易忽略题目中“A是锐角”的条件，导致角A的范围求解错误；2. 讨论直角三角形时，遗漏直角的可能位置，仅考虑一种情况；3. 在求取值范围时，未正确确定三角函数的定义域，导致范围计算错误. 三、填空题 12．在中，角，，的对边分别是，，，若，，，则______. 【答案】/ 【详解】由，，则， 由正弦定理，知. 13．已知在中，，，，是的平分线，则=_____． 【答案】 【详解】因为，，， 所以， 因为平分，所以， 设，则，， 因为，所以，解得，即. 14．已知，，分别为三个内角，，的对边，且，，则______；若点为边上的动点，则的最小值为______. 【答案】 【分析】（1）用正弦定理边化角化简求解； （2）建立平面直角坐标系，使用数量积的坐标运算将的最小值转化为一元二次函数的最小值求解. 【详解】在中由正弦定理，， ，，代入上式得： 整理得：， ，两边同除以得， 所以，，， 因为，所以是等边三角形，， 所以， 以所在直线为轴，中垂线为轴建立平面直角坐标系如图： 则，，，设， ，，， ， 当时，取最小值， 所以的最小值为 四、解答题 15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)求角B的大小； (2)若， （i）求的值； （ii）求. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】(1)利用正弦定理将题目的角的条件化为边的条件，再结合余弦定理求解出角的余弦值即可求出角. (2)（i）利用余弦定理求解即可.（ii）利用余弦定理解出，再求出再利用二倍角公式求出再利用两角和与差的正弦求解出结果即可. 【详解】（1）由已知化简得： 由正弦定理边角互化可得： 再根据余弦定理，将代入可得： . 因为，所以. （2）（i）由题意得，， 由余弦定理得， 解得或（舍去）. （ii）由余弦定理得 ， 16．在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.已知中，角，，所对的边分别为，，，若_________. (1)求角； (2)若，且的面积为，求边，的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）选①：借助正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式与辅助角公式计算即可得解；选②：借助正弦定理将边化为角后结合同角三角函数基本关系计算即可得；选③：利用三角形内角和及正弦定理将角化为边后，利用余弦定理计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算可得、，再利用完全平方公式计算即可得解. 【详解】（1）若选①； 由正弦定理可得， 由， 故， 即，由，故， 即，则， 即，又，故，即； 若选②； 由正弦定理可得，即， 由，则，故，故； 若选③； 由，则得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理可得，又，故； （2），则， 由余弦定理可得，即，即， 则，， 故，，故. 17．已知的内角，，所对的边分别为，，，向量，且. (1)求角； (2)若，，求的面积； (3)若，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的共线结合正弦定理可得角的三角函数值，进而可得角的值； （2）先由余弦定理求得，再由面积公式可得； （3）先由余弦定理得，再由基本不等式可得最大值. 【详解】（1）因为向量，，且， 所以. 又由正弦定理得， 因为，所以 又因为，所以. （2）因为中，，，由（1）知， 由余弦定理， 即，所以， 解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由（1）知，且，由余弦定理， 得， 即，，当且仅当时等号成立. 所以的最大值为8. 又 的周长取值范围为 18．如图，某广场中间有一块扇形绿地，其中为扇形所在的圆心，，扇形绿地的半径为，广场管理部欲在绿地上修建观光小路，修建标准为在弧上选一点，过修建与平行的小路，与平行的小路． (1)当时，求小路到的距离； (2)设，求与（用表示）； (3)试求小路与的长度和关于的函数，并求出的最大值及此时的值． 【答案】(1) (2)， (3)，， 【详解】（1）已知，，故四边形OECD为平行四边形， 当时，则点到OA的距离为． （2）在平行四边形OECD中，可知，， 由正弦定理， 因，解得，， 所以． （3）， 又， 因此， 当时，取得最大值。此时， 解得，最大值为． 19．在中，角的对边分别是，满足，且. (1)求角的大小； (2)为边上的一点，，且__________，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. ①是角的平分线； ②为线段的中点. (3)若为锐角三角形，求边上高的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到表达式，由锐角三角形，求出，由三角形面积公式求出. 【详解】（1）由可得， ， 故，即， 得，由于，故， . （2）若选①：由平分得：， 又，， ，即． 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得，解得， ； 若选②：为线段的中点，则， 则， 由（1）知， 所以， 在中，由余弦定理得， 又，则， 联立，得， ． （3）由（1）知，已知， 由正弦定理得， 故， ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 则， 故三角形的面积为， 故边上的高为，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $