数列考前专项练习-2026届高三数学二轮专题复习

**基本信息** 聚焦数列核心考点，通过基础运算、性质应用及综合问题构建知识网络，强化运算能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|单选1-4、填空12-13|等差等比基本量计算、通项公式求解|从定义出发，通过基本量关系推导公式，形成概念到应用的逻辑链| |性质应用|单选7-8、多选9|前n项和性质、单调性与最值分析|结合函数思想，深化数列与函数的内在联系，培养数学思维| |递推与通项|单选5-6、填空14、解答19|递推关系转化、新定义数列|通过构造法实现递推到通项的转化，发展创新意识| |数列求和|解答15-18|错位相减、裂项相消等方法应用|整合等差等比知识，训练数学语言表达与问题解决能力|

2026届高三数学数列模块考前专练 一、单选题 1．记等差数列的前项和为，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 3．已知递增等比数列的前项和为，则（    ） A． B．15 C． D． 4．若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 5．已知数列满足.若，则（    ） A． B． C． D． 6．在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 8．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 二、多选题 9．记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．对于任意正整数， 10．已知数列的首项，且满足，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列是递增数列 D．若，则n的最小值为12 11．如图，有一列曲线，，，…，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线的边数，为曲线所围成图形的面积，则（   ） A． B． C．D． 三、填空题 12．已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项． 13．已知等比数列的前项和为，若，则__________. 14．数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 四、解答题 15．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和. 16．已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 17．已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 18．已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 19．设数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三数学数列模块考前专练 一、单选题 1．记等差数列的前项和为，若，则（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由，得，所以，所以， 又，所以. 2．已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求解，并检验的情况即可求得答案. 【详解】因为数列的前项和， 所以，当时，; 当时，，， 故， 当时，不满足， 所以. 3．已知递增等比数列的前项和为，则（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比及首项，再利用前项和公式计算得解. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得或， 而数列是递增数列，且，则，即， 所以. 故选：C 4．若数列的前n项和为，则（    ） A． B．3n C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得， 则，化简得， 则，即， 因为，解得， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，即. 5．已知数列满足.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐项计算找到数列的周期即可. 【详解】由题意，，，，， 故数列周期为4，则. 6．在数列中，，则（    ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】B 【详解】法一：由，得.由，得.由，得. 依此类推，. 法二：当时，，又，得. 当时，由， 得，所以， 当时，有， 所以是以为首项，2为公差的等差数列，， 所以. 7．已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且. 所以可设. 所以，所以. 8．设公比为q的等比数列的前n项和为，前n项积为，且，，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列无最大值 C．是数列中的最大值 D． 【答案】D 【分析】分析得到，当时，，当时，，从而得到有最大值，最大值为，，，得到D正确，ABC错误. 【详解】A选项，，若，则对任意的，都有，则，不合要求，A错误； BC选项，若，则，与矛盾，不合要求， 当时，，又， 所以，即， 又，故满足要求， 故当时，，当时，， 故有最大值，最大值为，BC错误； D选项，当时，，当时，， 故，， 所以，D正确. 故选：D 二、多选题 9．记是公差为的等差数列的前项和，已知，，是数列的前项和，则（    ） A． B． C． D．对于任意正整数， 【答案】ACD 【分析】根据条件，求出等差数列通项公式的基本量，然后求出通项以及前项和，判断选项AB，根据性质即可得到是等差数列，即可判断选项C，进而结合裂项相消法，即可判断选项D. 【详解】由题知，，可得， 即，， 又，令，得，， 解得，所以， 所以，， 所以，，数列是为首项，为公差的等差数列， 所以，， 所以， 因为，所以.故ACD正确. 故选：ACD 10．已知数列的首项，且满足，则（    ） A．数列为等比数列 B． C．数列是递增数列 D．若，则n的最小值为12 【答案】ACD 【详解】由，得，即， 因为，所以，可得， 所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，所以A正确； 可得，所以，解得， 所以，选项B错误； 由，可知增大时，增大，增大， 所以数列是递增数列，所以C正确； 可知，，所以D正确； 11．如图，有一列曲线，，，…，已知所围成的图形是面积为1的等边三角形，是对进行如下操作得到的：将的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉，记为曲线的边数，为曲线所围成图形的面积，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】使用等比数列通项公式，前项和公式求解. 【详解】解：依题意，令图形的边长为a，，边数是3； 根据图形规律，图形边长为，边数为边数的4倍，即； 图形边长为，边数为；依此类推，图形边长为，边数为，选项B正确，选项A错误； 由图形知曲线所围图形的面积等于曲线所围面积加上每一条边增加的小等边三角形的面积，而每一个边增加的小等边三角形面积为， 则，整理得， 数列是以为首项，以为公比的等比数列，又图形的面积， ，选项C正确，选项D错误； 三、填空题 12．已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项． 【答案】406 【分析】确定数列通项公式，进而可求解. 【详解】由数列是首项为1，公差为5的等差数列，通项公式为， 故数列：1，，，4，，…，通项公式为， 由，∴． 即是这个数列的第406项. 13．已知等比数列的前项和为，若，则__________. 【答案】150 【详解】由等比数列前n项和的性质可知，仍然成等比数列， 所以可看作是这个数列的前4项的和， 由，可知. 14．数列满足，，则________；若对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】由数列满足，，得到数列是等比数列，从而解得，再根据对于任意的，恒成立，转化为对于任意的，恒成立，由求解. 【详解】因为数列满足，， 所以，又， 所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列， 所以，则， 因为对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 所以对于任意的，恒成立， 令， ， 所以数列 是递增数列，则 ， 所以 ，解得 ， 故答案为：，. 四、解答题 15．已知数列为等差数列，数列为等比数列，满足. (1)求和的通项公式； (2)记，求的前项和. 【答案】(1)， (2)，的最小值为 【分析】（1）根据等差数列和等比数列定义由已知条件列方程，解得公差、公比及首项即可写出数列和的通项公式； （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得， 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由题知，解得，则， 所以； 由题知，解得，则， 所以. （2）由（1）知， . 16．已知等差数列中的前项和为，且，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)若数列为递增数列，记，求数列的前100项的和. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意列出关于和的方程组求解出和，然后写出的通项公式. （2）先根据题目条件求出，然后写出数列的通项公式，再利用并项求和法求出. 【详解】（1）记等差数列的公差为， 成等比数列， ，即， 整理得. 又，即，联立解得或. 当，此时；当，此时. （2）由（1）以及数列为递增数列可得. ，. . 17．已知等差数列中，其前项和为，且，数列满足 (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式求解数列的首项、公差，利用作差法求数列的通项公式； （2）利用错位相减法求数列的前项和． 【详解】（1）已知为等差数列，且， ，解得： ， 当时，有， 两式相减得：， 当时，，满足， ． （2）由（1）知， 两式相减得： ， . 18．已知正项数列的前n项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与的关系，利用作差法得到，结合等差数列的定义求解即可. （2）求出，采用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，. 因为是正项数列，所以， 所以，即，. 由，解得或（舍去）， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列，则. 满足上式，因此. （2）由（1）得， 所以 . 19．设数列满足，且． (1)证明：数列是等差数列，并求其通项公式； (2)若，求正整数m的值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）对递推式两边平方，利用三角恒等式转化，证明数列是公差为1的等差数列，结合首项求通项； （2）由求，将连乘积转化为可累乘的形式，解方程可得m的值. 【详解】（1）已知，两边平方得：. 由三角恒等式，代入得：. 因此是公差为的等差数列，首项， 由等差数列通项公式得： . （2）由，，得：，​​ 因此乘积， 由题设​，两边平方得，解得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $