专题5 解三角形专项训练-2026届高三数学二轮复习

2026年高考数学二模新题分类速递 专题5 解三角形 剩余考点 专题5 解三角形 剩余考点 1 一、三角形中线的计算与证明 1 （一）利用中线向量关系求边或角 1 （二）中线长与三角形面积、最值问题 2 二、三角形角平分线的计算 2 三、三角形高线与等分点综合问题 2 四、四边形中的解三角形问题 2 五、解三角形与向量交汇 3 （一）向量数量积与三角形边角关系 3 （二）向量条件转化为几何约束求最值 3 （三）建立坐标系求解向量与面积最值 3 六、解三角形背景下的费马点应用 4 参考答案 5 第一部分：答案速查表 5 第二部分：逐题答案与详解 5 第三部分：试题来源表 10 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 一、三角形中线的计算与证明 （一）利用中线向量关系求边或角 1.（2026·广东揭阳·二模） 如图，在 中，已知 ，点 在边 上且 ， 与 边上的中线 相交于点 . （1）求中线 的长； 2.（2026·湘豫联盟·联考） 在 中，内角 的对边分别为 ，，，设 为 的中点，且 ，求 的面积. 3.（2026·湖北孝感·二模） 已知函数 在区间 单调，其中 为正整数，，且图象关于点 对称. 在 中，，， 边上的中线长为 ，求 的面积. 4.（2026·长郡二十校联盟·二模） 在 中，已知 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ， 为 中点，且 ，求 的面积. 5.（2026·四川眉山·二模） 在 中，已知内角 满足 . （1）求 ； （2）设 边上的中线为 ，若 ，求 面积的最大值. （二）中线长与三角形面积、最值问题 6.（2026·河南许昌·二模） 的内角 的对边分别为 .已知 ，，若 是 的中点，则 的最小值为（ 　　） A. B. 1 C. D. 2 二、三角形角平分线的计算 7.（2026·安徽铜陵·二模） 在 中，角 的对边分别是 ，已知 ，.已知 为 边上一点，，若 ，求 的值. 8.（2026·新疆·二模） 在 中，角 所对的边分别为 ，且 . （1）求 ； （2）若 ， 的平分线交 于点 ，，求 的面积. 三、三角形高线与等分点综合问题 9.（2026·福建宁德·二模） 在 中，，.点 在边 上，， 为 中点，且 ，求角 的大小. 四、四边形中的解三角形问题 10.（2026·广东惠州·二模） 在平面四边形 中，，，， 与 均是正整数且 ，则四边形 的面积的取值范围是 ____. 11.（2026·山东德州·二模） 在凸四边形 中，已知 ，，. （1）求 的值； （2）求 的值. 五、解三角形与向量交汇 （一）向量数量积与三角形边角关系 12.（2026·河南·二模） 在 中，，，则 的面积的最大值为（ 　　） A. B. C. D. 13.（2026·四川南充·二诊） 在 中， 分别是边 的中点，若 ，，，则 的长度为 ____. （二）向量条件转化为几何约束求最值 14.（2026·浙江温州·二模） 已知 的内角 所对的边分别为 ，且 . （1）求 ； （2）若 ，点 在 上，直线 上一点 满足 ，在点 和点 的变化过程中， （i）求 的最小值； （ii）当 最小时，求 的值. （三）建立坐标系求解向量与面积最值 15.（2026·福建福州·二模） 在平面凸四边形 中，，，， 的面积为 .当 最大时，四边形 的面积为 ____. 六、解三角形背景下的费马点应用 16.（2026·山西太原·二模） 费马点是指在三角形内（含边界）且到三角形三个顶点的距离之和最小的点.当 的三个内角均小于 时，则使得 的点 为 的费马点；当 有一个内角大于或等于 时，则最大内角的顶点为 的费马点.已知 中， 分别为内角 的对边，且 ，点 为 内（含边界）一动点，则 的最小值为 ____. 参考答案 第一部分：答案速查表 序号 1 2 3 4 5 答案 （1） ; （2） （1） ; （2） 序号 6 7 8 9 10 答案 B （1） ; （2） 序号 11 12 13 14 15 答案 （1） ; （2） B （1） ; （2）（i） ; （ii） 序号 16 答案 第二部分：逐题答案与详解 1. 答案： 详解：已知 ，因为点 是边 的中点，所以 .在 中，，由余弦定理，可得 ，所以 . 2. 答案： 详解：方法一：由（1）得 .因为 ，所以 .由余弦定理，得 ，将 代入，得 .化简，得 ，解得 （舍去）或 ，所以 .由余弦定理，得 ，所以 .所以 的面积 . 方法二：因为点 是 的中点，所以可延长 至点 ，构造平行四边形 .则由平行四边形的性质，得 ，即 ，所以 .所以 ，所以 .由余弦定理，得 ，所以 .所以 的面积 . 3. 答案： 详解：由 可得 ，又 ，，从而 ，故 .设 边上的中线为 ，，则 ，，，，解得 .所以 的面积 . 4. 答案：（1） ; （2） 1 详解：（1） 因为 ，所以 ，即 ，所以 .所以 或 .又因为 为三角形的内角且 ，所以 ，故 . （2） 在 中，由余弦定理，得 ①.在 中，因为 为 中点，所以 ，由余弦定理，得 ②.由 ②×2 − ①，得 ③.将 代入 ③ 式，解得 .将 代入 ② 式，解得 .所以 的面积 . 5. 答案：（1） ; （2） 详解：（1） 因为 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 .因为 ，所以 ，所以 ，所以 . （2） 因为 为 边上的中线，有 ，两边同时平方可得：，即 .由重要不等式：（当且仅当 时取得等号）得 .由三角形面积公式 （当且仅当 时取等），故 存在最大值，最大值为 . 6. 答案：B 详解：由 ，利用和差化积公式，左边 ，右边 .又 ，故左边为 .利用和差化积 ，得左边为 .因此原等式化为 .因为 为三角形内角，，两边约去得 ，即 ，故 ，，所以 . 由已知 ，得 .因为 是 的中点，由中线公式得 .在 中，由余弦定理及 得 .代入中线公式，.将 代入，得 .又由 且 ，得 ，故当 时， 取最小值 1，即 的最小值为 1. 7. 答案： 详解：因为 为 边上一点，且 ，则 ，所以 ，即 .将 代入得 ，即 ，得 ，故 . 8. 答案：（1） ; （2） 详解：（1） 原式 ，由正弦定理得 ，所以 ，故 . （2） 由余弦定理得 ，代入 可得：.在 中，由等面积法有 ，代入 可得 ，所以 ，解得 ，故 . 9. 答案： 详解：因为 ， 为 中点，所以 ，.在 中，由正弦定理，得 ，即 .所以 ，，所以 ，所以 .因为 ，所以 . 10. 答案： 详解：如图，因为 ，，由四边形内角和得 .因为 与 均是正整数且 ，则 或 3，可得 或 或 .① 当 时，，不合题意；② 当 时，，合题意；③ 当 时，，不合题意.所以 .延长 交于点 ，过点 作 于点 .向左平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 .在 中，，由正弦定理得 ，所以 .向右平移直线 ，当点 与点 重合时，不存在四边形 .因为 ，所以 ，所以 .所以四边形 的面积的取值范围是 . 11. 答案：（1） ; （2） 详解：（1） 过 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，易知 .因为 ，所以 ，所以 .在直角 中，. （2） 在直角 中，由勾股定理知 .在直角 中，因为 ，所以 .于是有 .在 中，由余弦定理可知 .所以 的值为 . 12. 答案：B 详解：由 ，利用正弦定理，，，代入得 .由余弦定理，，代入上式得 ，整理得 .已知 ，所以 . 的面积 ，由余弦定理得 ，故 .从而 .由基本不等式，，即 ，得 ，当且仅当 时取等.又由余弦定理，此时 ，，且 ，三角形存在.所以 ，故 ，，即 面积的最大值为 . 13. 答案： 详解：设 ，由中线长公式得：，即 ①；，即 ②；，即 ③.三式相加得 ，故 .由①得 ，将 代入得 ，整理得 ，解得 ，故 ，即 . 14. 答案：（1） ; （2）（i） ; （ii） 详解：（1） 在 中，因为 ，所以 ，代入得到 .由正弦定理得 .由余弦定理得 ，化简得 ，所以 ，故 . （2） （i） 因为 ，所以 ，所以 .如图，建立平面直角坐标系，，设 .因为 ，所以 .设 ，代入得 ，整理得 ，解得 ，当且仅当 时取得等号.又因为 ，当且仅当 时取得等号，所以 的最小值为 . （ii） 此时 ，所以直线 ，，所以直线 .联立 解得 ，所以 . 15. 答案： 详解：在 中，，，.由余弦定理可得 ，即 ，整理可得 ，解得 或 （舍去），所以 ，故 .以点 为坐标原点，、 所在直线分别为 、 轴建立平面直角坐标系，则 、、，则点 在第一象限，设点 ，则 ，解得 ，则 .因为 ，而 ，，则 ，当且仅当 时，即当 时，等号成立，此时 取最大值 ，则点 .故 . 16. 答案： 详解：由 及正弦定理得 ，整理得 ，因 ，故 ，.又 ，由余弦定理得 ，即 .再求 ，得 ，从而 ，三个内角均小于 ，故费马点 满足 .以 为原点建立直角坐标系，则 ，设 ，利用向量夹角公式结合费马点条件解得 ，计算得 ，故 ，即最小值为 . 第三部分：试题来源表 序号 来源 题号 1 2026·广东揭阳·二模 第16（1）题 2 2026·湘豫联盟·联考 第16（2）题 3 2026·湖北孝感·二模 第16（2）题 4 2026·长郡二十校联盟·二模 第16题 5 2026·四川眉山·二模 第15题 6 2026·河南许昌·二模 第8题 7 2026·安徽铜陵·二模 第15（1）题 8 2026·新疆·二模 第15题 9 2026·福建宁德·二模 第15（2）题 10 2026·广东惠州·二模 第14题 11 2026·山东德州·二模 第15题 12 2026·河南·二模 第8题 13 2026·四川南充·二诊 第13题 14 2026·浙江温州·二模 第18题 15 2026·福建福州·二模 第14题 16 2026·山西太原·二模 第14题 $