27.3 实际问题与反比例函数&章末复习 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

(-1,0), .-m+2=0,.m=2; (2)如图，设M(a,2),N(b,2),将M(a,2), N(b,2)分别代入y=2x+2,y=6中，得2a+2 =2,8=2,解得a=0,6=3, ∴.M(0,2),N(3,2), .MN=3. 【规律与方法】(1)考查反比例函数的系数 的几何意义，根据反比例函数的系数的几何意义 求解；(2)考查反比例函数与一次函数的综合问 题，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合问题 是关键，用待定系数法求一次函数的解析式 即可. ★考点2：利用k求面积 【例2】如图，点A是反比例函数y=6(x >0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为 27.3实际问题 【基础导学】 1.函数是具有广泛应用的数学模型，对于某 些实际问题，如果其中两个变量之间具有反比例 关系，那么我们就可以利用 来研 究它.（当k>0时，在每一个象限内，y随x的增 大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x 的增大而增大) 注意：在实际问题中，k一般都取大于0 的值. 2.列实际问题的函数解析式，首先将实际问 ·29 点B,线段AB交反比例函数y=2(x>O)的图 象于点C,求△OAC的面积. 解：点A是反比例函数y=6(x>0)的图 象上一点，AB⊥x轴于点B, ∴S0m=7×6l=3, 又：线段AB交反比例函数y=2(x>0)的 图象于点C, ∴Sm=2×2=1, .S△a4c=S△40B-S△aoB=3-1=2. 【规律与方法】考查反比例函数的k的几 何意义，根据反比例函数的的几何意义求解， 反比例函数与原点的连线和坐标轴所围成的直 角三角形的面积等于号. 与反比例函数 题转化为数学问题，理解清楚各变量间关系，分 清自变量和函数，列出正确的函数解析式，并说 明自变量的取值范围，画函数图象时，一定要注 意自变量的取值范围是否与实际意义相符合. 3.反比例函数的性质在物理、化学等学科中 有广泛的应用，首先要弄清问题中的数量关系， 再充分利用数形结合来解决. 注意：(1)电压U一定时，电阻R与电流强 度1是反比例函数关系，解析式为R兴(U为 常数)；(2)气体质量m一定时，密度p与体积V 是反比例函数关系，解析式为p-晋(m为常数)； (3)压力F一定时，压强P与受力面积S是反比 例函数关系，解析式为P-号(F为常数)，(4杠 杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂 【典例探究】 ★考点1：列反比例函数解析式，并求值 【例1】在九三阅兵筹备阶段，某军工企业 需向阅兵训练基地运送一批高精度装备配件.运 输时，配件需用专用包装箱封装，已知每批运输 使用的包装箱数量y(单位：个，y>0)与每个包 装箱的实际装载重量x(单位：kg)成反比例关 系.当使用40个包装箱时，每个包装箱的实际装 载重量为30kg,且每个包装箱的最大安全装载 重量为40kg (1)求y与x之间的函数表达式，并写出自 变量x的取值范围； (2)该企业每次运输这批配件的总运输费用 由两部分组成：一是固定运输费800元，二是按 包装箱数量计算的耗材费，每个包装箱的耗材费 为15元.若某次运输的总费用不超过1550元， 求每个包装箱的最少装载重量. 解：(1)由题意知，y与x成反比例关系， 设)=皇（≠0， 将x=30,y=40代入得，40=0， 解得k=1200, 每个包装箱的最大安全装载重量为 40kg,且x>0, “y与x之间的函数表达式为y=1200,自 变量x的取值范围为0<x≤40. (2)根据题意，总运输费用满足不等式：800 +15y≤1550， 将y=1200代入不等式得：800+15X1200 ≤1550(x>0),解得x≥24， 即每个包装箱的最小装载重量为24kg: ·3 【规律与方法】(1)根据反比例函数的定义 设出解析式，代入已知条件求出系数，结合题干 给出的最大装载重量确定自变量的取值范围； (2)根据总费用的限制条件列出不等式，代入反 比例解析式求解。 ★考点2：根据数形结合解决反比例函数的 实际问题 【例2】植树造林是面对日益严重的土地沙 漠化问题的主要解决方案，已知当计划造林面积 一定时，造林天数y(天)与每天造林面积x(公 顷)之间的函数关系如图所示. 30 (1)求造林天数y(天)与每天造林面积x(公 顷)之间的函数解析式； (2)如果造林天数为60天，那么每天的造林 面积为多少公顷？ 解：(1)根据题意，造林天数y(天)与每天造 林面积x(公顷)之间是反比例函数关系，设函数 解析式为y-是k≠0，x>0. 由函数图象可知，当x=30时，y=50,将其 代入解析式得：50= 30 解得k=30×50=1500, 造林天数y与每天造林面积x之间的函 数解析式为y-1500(x>0): (2)当y=60时，代入y=150得：60=1500， 解得：x=25, 答：每天的造林面积为25公顷. 【规律与方法】正确的认识图象，找到关键 的点，运用好数形结合的思想. ★考点3：反比例函数与学科之间的联系 将P(80,75)代人得：75奇=600， 【例3】在项目化学习活动上，同学们研究 温度不变时，气缸内气体压强与体积的关系通过 .压强P与体积V的函数表达式为P 实验发现，加压后气体对气缸壁所产生的压强P =6000 (kpa)是气缸内气体的体积V(mL)的反比例函 (2)当气缸内气体的体积是80mL时，加压 数，图象如图所示 后气体对气缸壁所产生的压强是75kpa; p(kPa) (3)当P=40时，40-600，解得V=150L P(80,75) 当P=100时，100-600，解得V=60mL 150-60=90mL, V(mL) 答：气体体积压缩了90mL. (I)求出压强P(kpa)与体积V(mL)的反比 【规律与方法】要熟练掌握物理或化学学 例函数表达式； 科中的一些具有反比例函数关系的公式，同时体 (2)点P(80,75)的实际意义是 会数学中的转化思想.本题考查反比例函数与学 (3)若压强由40kpa加压到100kpa,则气体 科之间的联系，解题的关键在于理解体积和气压 体积压缩了多少mL? 的关系，气压越大体积越小 解：(1)设压强P与体积V的函数表达式为 章末复习 【体系构建】 反比例函数的定义：一般地，如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示为y=(≠0)的形式， 那么称y是x的反比例函数.自变量x的取值范围是x≠0 当k>0,函数图象的两支分别位于第一、第三象限；在每一个象限内， y随x的增大而减小 反 反比例函数的图象和性质 当k<0,函数图象的两支分别位于第二、第四象限；在每一个象限内， 例 y随x的增大而增大 数 轴对称：对称轴是直线y=x和y=一x 对称性 中心对称：对称中心是原点 与坐标轴所围成的矩形的面积等于k 反比例函数中系 过反比例函数y-点（≠0)图象 与向原点的连线和坐标轴所围成的直 数k的几何意义 上的任意一点向x轴，y轴引垂线 角三角形的面积等于|k ·31. 【知识梳理】 1.反比例函数的概念 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表 示为y= 的形式，那么 称y是x的反比例函数.自变量x的取值范围 是 2.反比例函数的图象： (1)当k>0,函数图象的两支分别位于 象限内 (2)当k<0,函数图象的两支分别位于 象限内. 3.反比例函数的性质 (1)增减性：当k>0时，在每一象限内，y随 x增大而 ;当<0时，在每一象限内，y 随x增大而 (2)对称性：反比例函数的图象是中心对称 图形，对称中心是 ,也是轴对称图 形，对称轴分别是第一、第三象限和第二、第四象 限的 (直线y=x和y=一x). 4.反比例函数中系数的几何意义： 过反比例函数y=(k≠0)图象上的任意一 点向x轴，y轴引垂线， (1)与坐标轴所围成的矩形的面积等于k· (2)与向原点的连线和坐标轴所围成的直角 三角形的面积等于。 5.实际问题与反比例函数 解反比例函数的实际问题时，先确定函数解 析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要 特别注意自变量的取值范围要使实际问题有 意义， 【典例精讲】 类型一：反比例函数的图象与性质 【例1】如图，在平面直角坐标系中，将坐标 原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A, 3 过点A作y轴的平行线交反比例函数y=的 图象于点B,AB- (1)求反比例函数的解析式： (2)若P(x1,y1),Q(x2,y2)是该反比例函数 图象上的两点，且x1<x2时，y1>y2,求点P,Q 分别位于哪个象限，并简要说明理由， 解：(1)由题意，得B （-2)=-3, 反比例函数的解析 式为y=一3 (2)结论：点P在第二 象限，点Q在第四象限 理由：k=一3<0， 函数图象在每一个象限内，y随x的增大 而增大， ,当<x2时，y1>y2, 点P,Q在不同的象限， 点P在第二象限，点Q在第四象限 类型二：一次函数与反比例函数综合运用 【例2】如图，已知反比例函数)y-四的图 象与一次函数y=ax+b的图象相交于点A(1,4) 和点B(n,-2). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)当一次函数的值小于反比例函数的值 时，直接写出x的取值范围. 解：(1)，反比例函数 y=的图象过点A(1,4), ∴4=，即m=4, 反比例函数的解析式 为y=4 ℃ ·-2=身，解得1=-2B(-2,-2) 2 .一次函数y=ax+b的图象过点A(1,4) 和点B(-2,-2), 「a+b=4, a=2, 解得 -2a+b=-2, b=2. ∴.一次函数的解析式为y=2x十2. (2)由图象可知：当x<-2或0<x<1时， 一次函数的值小于反比例函数的值. 类型三：反比例函数的应用 【例3】如图，一次函数y=kx-2k(k≠0) 的图象与反比例函数y=m二1(m-1≠0)的图 象交于点C,与x轴交于点A,过点C作CB⊥y 轴，垂足为B,若S△ABc=3. (1)求点A的坐标及m的值； (2)若AB=2√2，求一次函数的解析式. 解：(1)令y=0, 则kx一2=0， ∴.x=2,.A(2,0). 设C(a,b), .CB⊥y轴， .B(0,b),.BC=-a. :Sae=3,2(-a)Xb=3, .ab=-6,∴.m-1=ab=-6,∴.m=-5, 即A(2,0),m=-5. (2)在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2, .AB=2W2,∴.b2+4=8, .b=4,∴.b=±2. .b>0,.b=2.∴.a=-3,.C(-3,2). 将C(-3,2)代入y=kx-2k,得k=-2 “一次画数的解折式为y一号+ 2 ·3 【例4】一辆客车从甲地出发前往乙地，平 均速度（单位：千米/时）与所用时间t(单位：小 时)的函数关系如图所示，其中60≤v≤120. (1)直接写出v关于t的函数解析式； (2)若一辆货车同时从乙地出发前往甲地， 客车比货车平均每小时多行驶20千米，3小时后 两车相遇， ①分别求出两车的平均速度； ②甲、乙两地间有两个加油站A、B,它们相 距200千米，当客车进入B加油站时，货车恰好 进入A加油站（两车加油的时间忽略不计），求甲 地与B加油站的距离. Av(千米/时) 120 10/小时 解：(1)0关于t的函数解析式为 0=600(5≤1≤10). (2)①依题意，得3(v+v-20)=600, 解得v=110,经检验，v=110符合题意. 当0=110时，v-20=90, 答：客车和货车的平均速度分别为110千 米/时和90千米/时. ②当A加油站在甲地和B加油站之间时， 110t-(600-90t)=200, 解得t=4,此时110t=110×4=440; 当B加油站在甲地和A加油站之间时， 110t+200+90t=600, 解得t=2,此时110t=110×2=220. 答：甲地与B加油站的距离为220千米或 440千米.27.3实际问题与反比例函数 1.反比例函数 章末复习 知识梳理 1.(k为常数，k≠0)不等于零的一切实数 2.(1)第一、第三(2)第二、第四 3.(1)减小增大(2)坐标原点角平分线 第二十八章 旋 转 28.1图形的旋转 第1课时旋转 1.转动一个角度旋转中心旋转角对应点 2.(1)相等(2)旋转角(3)相等相等(4)全等 3.中心方向角度 第2课时作图 1.(1)中心方向角度(3)对应(4)对应 28.2中心对称 28.2.1中心对称及其性质 28.2.2中心对称图形 1.(1)180°对称中心(2)180°对称中心 2.(1)对称中心对称中心(2)相等相等 3.(2)对应点连线平分 28.2.3关于原点对称的点的坐标 相反（一x,一y) 章末复习 知识梳理 1.旋转中心旋转方向 旋转角度 2.(1)相等(2)旋转角 (3)相等相等(4)全等 4.全等形 5.对称中心 平分 7.平分 第二十九章 圆 29.1圆的有关概念 29.1.1圆的有关概念 1.(1)一周 圆圆心半径(2)距离定长圆心 半径 (3)圆心 半径位置大小 2.(1)线段 直径 (2)圆弧弧优弧劣弧AD AC AC、CD 3.等圆等弧 29.1.2过三点的圆 1.d>r d=r d<r 2.无数无数连接这两点的线段的垂直平分线 3.外接圆三边垂直平分线三个顶点内接三角形 4.反面矛盾 29.2圆的有关性质 29.2.1垂直于弦的直径 1.直径2.平分弧 3.(1)垂直弧(2)圆心弧(3)垂直平分4.相等 29.2.2圆心角 1.圆心2.(2)圆心角圆心角3.相等 29.2.3圆周角 2.一半3.(1)同弧或等弧相等(2)直角直径 4.(2)内对角 29.3弧长和扇形面积 第1课时弧长和扇形的面积 1.2πr 2元 nπ12 180 2.2 360 3s=2r 第2课时圆锥的侧面积和全面积 1.直角三角形直角边侧面母线相等圆心 2.πrl π2+πrl 3.扇形底面圆的周长母线长 章末复习 1.(1)圆圆心半径(2)直径 (3)弧 2.(2)外接圆外心 3.(1)对称轴(2)弦两条弧 3.(1)圆心角 (2)也相等 4.(1)圆周角 (2)圆心角 (3)直角直径 5.(1)π迟 180 (2)元R2 R(3)πrlπlx2 1 360 第三十章 直线与圆的位置关系 30.1直线与圆 30.1.1直线与圆相离、相切、相交 1.相离相切相交 2.(1)相离相切相交(2)d>rd=rd<r (3)切线切点割线 30.1.2圆的切线 第1课时切线的判定和性质 1.(1)一个(2)等于(3)半径的外端垂直于这条 半径 2.(1)一个(2)圆的半径(3)垂直 (4)垂直于切点(5)垂直于圆心 第2课时切线长定理 1.一两线段的长2.切线长两条切线的夹角 30.2三角形的内切圆 2.各边都相切内心 30.3正多边形与圆 1.相等内接正多边形 2.圆心半径中心角边心距 章末复习 知识梳理 1.(1)两个相切相离没有(2)垂直过切点切 线长相等夹角 2.内切圆交点内心 3.(1)圆心半径中心角边心距(2)互补(3)a 360】 n os180° n 57·