27.1 反比例函数的概念&27.2 反比例函数的图象和性质 （知识全解）-【指南针·课堂优化】2026-2027学年九年级上册数学同步练（人教版·新教材）

第二十七章 反比例函数 27.1反比例函数的概念 【基础导学】 (k=2≠0)的形式，.是反比例函数； 1.反比例函数的概念 (8)“y=竖-多，是形知y=x≠0)的 如果两个变量x,y之间的对应关系可以表 正比例函数，不符合反比例函数的定义，不是 示为 (k为常数，k≠0)的形式，那么称y 反比例函数； 是x的反比例函数 注意：(1)反比例函数也可写成xy=k(k卡 (4):y=一4符合反比例函数y=飞的标 0)或y=kx-1(k≠0)；(2)自变量x的取值范围 准形式，是反比例函数； 是 (5),该函数的分母是2x-1,不是单独的 2.求反比例函数的关系式 自变量x,不符合反比例函数的定义，不是反 (1)方法：待定系数法 比例函数； (2)步骤：首先根据题意设出反比例函数关 (60:y=是-5是与常数-5的和，不是 系式，再从实际出发，分析找出一对对应值或图 象上的一个点的坐标，用待定系数法，求出的 纯粹的y=飞（≠0）的形式，不符合反比例函数 值，确定关系式 的定义，.不是反比例函数 注意：求反比例函数的关系式，只需x,y的 【规律与方法】考查反比例函数的定义， 组对应值或x,y的积， 【典例探究】 关候是牢记反比例西数的三种等价形式y冬 ★考点1：反比例函数的概念 (k为常数，k≠0，x≠0)，y=x1(k≠0)，xy= 【例1】下列函数是否是反比例函数？为 k(≠0).判断函数是否为反比例函数，需看其 什么？ 能否化为上述形式，且满足≠0、自变量x的次 (1y=3:(2)y=2x,8)y= 2(4)y= 数为一1（或分母为单独的x). ★考点2：根据反比例函数定义求参数 -15y2z66-2-5 【例2】若函数y=(k-3)x-10是反比例 函数，则的值为 解：(1)反比例函数要求自变量x的次数 解：函数y=(k一3)x10是反比例函数， 为-1，而y-号=5x3中x的次数-3，不特合 k2-10=-1 ,解得k=-3. 反比例函数的定义，不是反比例函数； k-3≠0 【规律与方法】根据反比例函数的定义，一 (2):y=2x1=2,符合反比例函数y= 般地，形如y=kx1(其中为常数，且k≠0)的 ·26· 函数叫做反比例函数，据此求解即可. (2)由(1)得y=18 ★考点3：确定反比例函数的关系式 【例3】已知y与x成反比例，且其函数图 将y=9代入，得：9=18 象经过点(-6，-3). 解得x=2. (1)求y与x的函数关系式： 【规律与方法】用待定系数法确定反比例 (2)当y=9时，求x的值， 函数解析式：①设所求的反比例函数解析式为y 解：(1)设y与x的画数关系式为，y- -飞(k≠0)；②根据已知条件列出关于的方 x 将(-6，-3)代入，得：-3=冬 程；③求出系数k的值；④把代入所设函数解 解得k=(-3)×(-6)=18, 折式)2中。 y与x的函数关系式为y=18 27.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 【典例探究】 【基础导学】 ★考点1：反比例函数的图象和性质 1.图象名称： 【例1)已知反比例函数y-二1，（为常 2.图象和性质 数，k≠1). k>0 k<0 (1)若在这个函数图象的每一分支上，y随x 的增大而增大，求的取值范围； (2)若点A(3,4)在这个函数的图象上，试判 图象 断点B(2,5)是否在这个函数的图象上，并说明 理由。 (1)函数图象的两 解：(1)，这个函数图象的每一分支上，y随 支分别位于第一、 (1)函数图象的两支分别 x的增大而增大， 第三象限； 位于第二、第四象限； 性质 .k-1<0,解得<1； (2)在每一个象限 (2)在每一个象限内，y随 (2)不在这个函数的图象 内，y随x的增大而 x的增大而增大 理由：，点A(3,4)在这个函数的图象上， 减小 .k=3×4=12, 注意：(1)反比例函数的增减性是指在同一 象限内的增减性； 一反比例函数的解析式为y1卫， (2)反比例函数的图象是中心对称图形，对 当x=2时，y=6≠5， 称中心是坐标原点，也是轴对称图形，对称轴分 点C(2,5)是不在这个函数的图象上 别是第一、第三象限和第二、第四象限的角平 【规律与方法】考查反比例函数的图象和 分线 性质，了解函数图象的每一分支上反比例函数的 ·27· 增减性，y随x的增大而减小（或增大），以此求点P分别向x轴、y轴作垂线，如图. 出的取值范围；考查反比例函数图象上的点， 先求出反比例函数的解析式，再把点上x代入求 出y的值即可. ★考点2：反比例函数图象的对称性 【例2】如图，在平面直角坐标系中，Rt △ABO的边AO在x轴上，且AO=3,反比例函 数y=一6的图象经过点B,延长BO,与反比例 (I)与坐标轴所围成的矩形的面积S矩形OMPv 函数y=一6的图象交于点P,则点P的坐标为 等于 (2)与原点的连线和坐标轴所围成的直角三 角形的面积SRtAOPN(或SR△aPM)等于 2.直线y=kx十b(b≠0)与双曲线y=”(m ≠0)的交点坐标满足方程组 【典例探究】 ★考点1：利用面积求k 解：.Rt△ABO的边AO在x轴上，且AO 【例1】如图，在平面直角坐标系xOy中， =3,反比例函教y=-6的图象经过，点B, A是反比例函数y=(x>0)图象上一点，ABL .,点B的横坐标为一3， x轴，垂足为B,若S△AoB=3,一次函数y=mx+ 将x=-3代入y=-中，得y=2, 2的图象与x轴交于点C(一1,0). .点B坐标为(-3,2)， ”延长B0,与反比例函数y=-日的图象 交于点P, 点P与点B关于原点对称， .点P的坐标为(3，-2)， 故答案为：(3，一2). (1)求k,m的值. 【规律与方法】反比例函数图象的对称性 (2)过点P(1,2)作x轴的平行线，分别交y 是解答的关键，先求得点B坐标，再根据反比例 =mx+2和y=(x>0)的图象于点M,N,求 函数图象关于原点对称求解点P坐标即可. 第2课时反比例函数中的系数 MN的长， 【基础导学】 解：(1)S△0B= k-3,1=6 1.反比例函数中系数的几何意义 图象位于第一象限，k>0,.=6; 过反比例函数y=(k≠0)图形上的任意一 ,一次函数y=mx十2的图象经过点C ·28. (-1,0), 点B,线段AB交反比例函数y=2(x>0)的图 ∴.-m+2=0,.m=2; 象于点C,求△OAC的面积 (2)如图，设M(a,2),N(b,2),将M(a,2), N(b,2)分别代入y=2x+2,y=6中，得2a+2 -2,号-2，解得a=0,6=3, ∴.M(0,2),N(3,2), ∴.MN=3. 解：，点A是反比例函数y=6(x>0)的图 象上一点，AB⊥x轴于点B, S%s=2×61=3, 又：线段AB交反比例函数y=2(x>0)的 【规律与方法】(1)考查反比例函数的系数 的几何意义，根据反比例函数的系数的几何意义 图象于点C, 求解；(2)考查反比例函数与一次函数的综合问 ∴Sm=号×2l=1, 题，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合问题 ∴.S△0Ac=S△40B-S△aoB=3-1=2. 是关键，用待定系数法求一次函数的解析式 【规律与方法】考查反比例函数的k的几 即可 何意义，根据反比例函数的的几何意义求解， ★考点2：利用k求面积 反比例函数与原点的连线和坐标轴所围成的直 【例2】如图，点A是反比例函数y=6(z x 角三角形的面积等于， >0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为 27.3实际问题与反比例函数 【基础导学】 题转化为数学问题，理解清楚各变量间关系，分 1.函数是具有广泛应用的数学模型，对于某： 清自变量和函数，列出正确的函数解析式，并说 些实际问题，如果其中两个变量之间具有反比例： 明自变量的取值范围，画函数图象时，一定要注 关系，那么我们就可以利用 来研 意自变量的取值范围是否与实际意义相符合. 究它.（当>0时，在每一个象限内，y随x的增 3.反比例函数的性质在物理、化学等学科中 大而减小；当k<0时，在每一个象限内，y随x 有广泛的应用，首先要弄清问题中的数量关系， 的增大而增大) 再充分利用数形结合来解决. 注意：在实际问题中，k一般都取大于0 注意：(1)电压U一定时，电阻R与电流强 的值 2.列实际问题的函数解析式，首先将实际问 度I是反比例函数关系，解析式为R=兴（心为 常数)；(2)气体质量m一定时，密度p与体积V ·29…参考答案 a b 第二十五章一元二次方程 2.(4z=-b±店=4ac(B-4ac≥0) 2a 25.1一元二次方程的概念 直接开平方法→因式分解法→公式法 1.一整2 3.(1)有两个不相等的实数根 2.ax2+bx十c=0(a≠0，a,b,c为常数) (2)有两个相等的实数根(3)没有实数根 3.左右两边未知数 46 25.2降次一解一元二次方程 a a 25.2.1配方法 第二十六章二次函数 第1课时直接开平方法 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 26.1二次函数的概念 2.(1)Wa-√a(2)-a+b-a-√b 自变量二次项系数一次项系数常数项 (3)n-6=n-五 26.2二次函数的图象和性质 a 3.降次 26.2.1二次函数y=ax2的图象和性质 第2课时配方法 1.(1)抛物线y(0,0)a>0上方a<0下方 1.配方法 (2)大小 2.方程两边同时除以二次项系数，将二次项系数化为1 26.2.2 二次函数y=a(x-h)2+k 常数项右移 的图象和性质 方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 为(x十m)2=n的形式 1.(1)k|k>0k<0 开平方求解 第2课时二次函数y=a(x-h)的图象和性质 25.2.2 公式法 1.(1)|hlh>0h<0 1.62-4ac b2-4ac 章末复习 2.(1)两个不相等的实数根 知识梳理 (2)两个相等的实数根两个实数根(3)无实数根 1.a.x2+bx+ca≠0 3.x=-b±yB-4ac 求根公式公式法 Za 2.(1)抛物线 4.(1)化成一般形式(2)找出系数a,b,c的值 (2)①向上向下越窄②y轴左右 (3)计算b2一4ac的值 ③原点正半轴负半轴④两个一个没有 (4)当b一4ac≥0时，用公式求出原方程的根 3.y轴(0,0)y轴(0，k)x=h(h,k) 25.2.3因式分解法 1.一次式02.降次至少一个数为0 第二十七章 反比例函数 3.(2)因式分解(3)两个一元一次方程 (4)原方程的解 27.1反比例函数的概念 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 1.y=飞 不等于零的一切实数 1.-b a a ，≥ 27.2反比例函数的图象和性质 2.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥0 第1课时反比例函数的图象和性质 25.3实际问题与一元二次方程 1.双曲线 第1课时变化率问题 第2课时反比例函数中的系数 变化前的数变化后的数降低（或增长）的百分率 章未复习 1.(1)(2)21 知识梳理 「y=k.x+b 1.只含有一个未知数未知数的最高次数是2 2. 二次项系数不为0整式方程a.x2十bx十c=0(a≠0) 2- ·56·