江苏省常州市2025-2026学年下学期期末高二数学自编模拟卷（三）

**基本信息** 这份高二数学期末模拟卷覆盖苏教版必修1-8章、必修2第10章及选择性必修1第5章，通过集合运算、圆的弧长计算、导数应用等题，融合数学抽象与几何直观，梯度设计合理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|集合、函数单调性、圆的位置关系|第4题两圆相切求弧长，考查空间观念| |多选题|3题|函数图像、极值点、不等式|第10题结合图像分析对称性，培养推理意识| |填空题|3题|函数性质、导数几何意义|第13题直线与曲线相切求最值，体现应用意识| |解答题|5题|二次函数、导数应用、三角函数|第19题函数对称性与求和，发展逻辑推理|

2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（三） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，，则=（    ） A． B．{1} C． D． 2．已知，则函数在下列区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 5．定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 7．在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．若，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．集合，若，则实数的取值集合为 C．的最小值为2 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 10．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的解集为 C．对任意，，，都有 D．若，则 三、填空题 12．已知定义域为R的函数满足以下三个条件：①；②无最值；③在区间，上均不单调，则的解析式可以为________．（只需写出满足条件的的一个解析式即可） 13．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 14．已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为______. 四、解答题 15．已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 16．已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 17．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求函数的对称中心 (3)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 18．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 19．已知函数． (1)若，试求的值； (2)当时，求函数的值域； (3)定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，．设，记，试求中所有元素之和的值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（三） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，，则=（    ） A． B．{1} C． D． 【答案】C 【分析】化简两个集合，根据交集运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， ， . 2．已知，则函数在下列区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】令，，则，， 则的单调递减区间为，. 当时，区间为，而，故B正确. 3．若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 4．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 5．定义在区间上的函数的导函数为，则“在上恒成立”是“在上严格单调增”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 6．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得. 【详解】由可得，即，①． 由，可得，② 联立①，②，解得，， 则， 故. 故选：D． 7．在锐角中，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 8．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件结合关系及利用两角和正弦公式化简可求，再根据二倍角正切公式及齐次化方法求结论. 【详解】， 又 ， ，即， 当时，，矛盾， ，， . 二、多选题 9．下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．集合，若，则实数的取值集合为 C．的最小值为2 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABC 【分析】选项A，可根据不等式的性质判断；选项B，根据 得出 ，再分情况讨论集合B的情况；选项C，利用基本不等式成立的条件判断；选项D，根据一元二次方程根的判别式和韦达定理判断. 【详解】选项A：已知 ，因 ，则 得 ； 又因为 ，则得 ，所以 ，故A错误； 选项B：因为 ，所以 ， 当 时，方程 无解，此时 ，满足 ， 当 时，， 若 ，则 ；若 ，则 ， 所以实数的取值集合为，故B错误； 选项C：当时，，则，故该函数的最小值不可能是2，故C错误； 选项D：由，可得， 若方程有一正一负根，则，即，解得; 反之，当时，，，方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 10．函数的图象如图所示，则下列说法中正确的是（   ） A． B．函数的图象关于对称 C．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 D．若方程在上有1个实数根，则m的取值范围是 【答案】BC 【分析】由图象可知，又图象经过点列方程求，判断A；结合余弦函数性质验证B；根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C；令，可得在上有1个实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察函数的图象可知，又因为过点， 所以，所以，， 所以，，又，所以，A错误； 所以， 因为时，， 所以函数的图象关于对称，B正确； 函数向左平移个单位长度， 可得函数的图象，所以C正确； 因为，由可得，， 令，由已知可得在上有个实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以或，D错误. 11．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．有两个极值点 B．的解集为 C．对任意，，，都有 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据导数与极值的关系判断A；对不等式进行化简，结合各因式的正负判断B；根据单调性判断C；代入函数解析式整理可判断D. 【详解】对于A：，令， 则，所以. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在在处取极值，即有两个极值点，A正确. 对于B：. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 所以的解集为，B正确. 对于C：由A知，当时，在上单调递减，在单调递增， 所以当时，若，则，此时，C错误. 对于D：因为，则. ， 满足，D正确. 三、填空题 12．已知定义域为R的函数满足以下三个条件：①；②无最值；③在区间，上均不单调，则的解析式可以为________．（只需写出满足条件的的一个解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】用分段函数形式，在时，找一个不单调且无最大值的函数，再关于原点对称，然后加上即得，答案不唯一. 【详解】由题可得的解析式可以为. 13．已知为正实数，且直线与曲线相切，则的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 14．已知函数（）在区间上是增函数，若函数在上有且仅有一个最大值，则的范围为______. 【答案】 【分析】利用正弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，利用正弦函数的图象和性质结合条件可得不等式，进而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间（）上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得； 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到（）， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上，，即. 四、解答题 15．已知二次函数． (1)若，求的解集； (2)若方程在上有解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将已知条件代入，解一元二次不等式 （2）利用换元法和二次函数的性质求参数范围 【详解】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令， 为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 16．已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 所以由题意可得； （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 17．已知函数，. (1)求的单调递增区间； (2)求函数的对称中心 (3)直线与曲线、分别交于点、，求的最大值． 【答案】(1)最小正周期为，递增区间为 (2). (3) 【分析】（1）利用余弦函数单调增区间列不等式求解即可； （2）函数化简后利用正弦函数对称中心求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）因为，余弦函数单调增区间为， 所以， 所以的单调增区间为 （2）化简，则，正弦函数的对称中心为， 所以令，即函数的对称中心为. （3）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为. 18．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 19．已知函数． (1)若，试求的值； (2)当时，求函数的值域； (3)定义在上的函数的图象关于直线对称，且当时，．设，记，试求中所有元素之和的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算可得结果； （2）利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的最值可得结果； （3）求出函数的解析式，通过函数图象，将问题转化为直线与曲线的交点横坐标的和，结合图象的对称性可得结果. 【详解】（1）， . （2）， 当时，， 所以，， 即的值域为. （3）当时，， 因为的图象关于直线对称， 所以当时，， ， 由第2小问可知，当时，的值域为， 根据对称性可得的图象如下图所示： 记中所有元素之和为， 当时，直线与函数的图象有四个交点， 此时有两对关于直线对称的点，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（三） 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C B B D B C ABC BC 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】化简两个集合，根据交集运算可得答案. 【详解】因为，所以，解得或， ， . 2．B 【分析】根据正弦型三角函数的性质求解即可. 【详解】令，，则，， 则的单调递减区间为，. 当时，区间为，而，故B正确. 3．C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 4．B 【分析】先确定两圆圆心距，结合垂直条件推导两个扇形的圆心角的大小，再代入公式计算弧长. 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 5．B 【详解】若在上恒成立，则函数在上严格单调增， 反之，函数在上严格单调增，则有， 如函数在上严格单调增，而且， 所以“在上恒成立”是“在上严格单调增”的充分不必要条件. 6．D 【分析】由正切化弦得到①，利用和角公式展开，得到②，联立解得，，再利用差角公式和二倍角公式即可求得. 【详解】由可得，即，①． 由，可得，② 联立①，②，解得，， 则， 故. 故选：D． 7．B 【分析】根据正弦定理结合三角形的性质可判断A；结合和差化积公式判断BCD. 【详解】在锐角中，，则， 即，. 对于A，由，根据正弦定理可得，故A错误； 对于B，，故B正确， 对于C， ， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故C错误； 对于D，， 其中，由于的大小关系不定，的符号不定，从而导致不等式不恒成立，故D错误. 8．C 【分析】由条件结合关系及利用两角和正弦公式化简可求，再根据二倍角正切公式及齐次化方法求结论. 【详解】， 又 ， ，即， 当时，，矛盾， ，， . 9．ABC 【分析】选项A，可根据不等式的性质判断；选项B，根据 得出 ，再分情况讨论集合B的情况；选项C，利用基本不等式成立的条件判断；选项D，根据一元二次方程根的判别式和韦达定理判断. 【详解】选项A：已知 ，因 ，则 得 ； 又因为 ，则得 ，所以 ，故A错误； 选项B：因为 ，所以 ， 当 时，方程 无解，此时 ，满足 ， 当 时，， 若 ，则 ；若 ，则 ， 所以实数的取值集合为，故B错误； 选项C：当时，，则，故该函数的最小值不可能是2，故C错误； 选项D：由，可得， 若方程有一正一负根，则，即，解得; 反之，当时，，，方程有一正一负根， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确. 10．BC 【分析】由图象可知，又图象经过点列方程求，判断A；结合余弦函数性质验证B；根据函数图象变换法则，结合诱导公式判断C；令，可得在上有1个实数根，结合正弦函数性质判断D. 【详解】观察函数的图象可知，又因为过点， 所以，所以，， 所以，，又，所以，A错误； 所以， 因为时，， 所以函数的图象关于对称，B正确； 函数向左平移个单位长度， 可得函数的图象，所以C正确； 因为，由可得，， 令，由已知可得在上有个实数根， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 所以或，D错误. 11．ABD 【分析】根据导数与极值的关系判断A；对不等式进行化简，结合各因式的正负判断B；根据单调性判断C；代入函数解析式整理可判断D. 【详解】对于A：，令， 则，所以. 当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以在在处取极值，即有两个极值点，A正确. 对于B：. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 当时，，，，所以. 所以的解集为，B正确. 对于C：由A知，当时，在上单调递减，在单调递增， 所以当时，若，则，此时，C错误. 对于D：因为，则. ， 满足，D正确. 12．（答案不唯一） 【分析】用分段函数形式，在时，找一个不单调且无最大值的函数，再关于原点对称，然后加上即得，答案不唯一. 【详解】由题可得的解析式可以为. 13．/0.5 【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可. 【详解】由直线与曲线相切， 设切点为，由，且切线的斜率为， 所以， 代入曲线方程中得：， 所以切点为，代入直线方程中得：， 因为，所以. 当时取等号，所以的最大值为.则的最大值为. 14． 【分析】利用正弦函数的单调性得到不等式组，解出的范围，利用正弦函数的图象和性质结合条件可得不等式，进而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间（）上单调递增， 所以，，而令，解得， 结合，可得； 由正弦函数的性质得的最大值为2， 令，得到（）， 则在上取得的第一个最大值的横坐标为， 而取得的第二个最大值的横坐标为， 可得，解得， 综上，，即. 15．(1) (2) 【分析】（1）将已知条件代入，解一元二次不等式 （2）利用换元法和二次函数的性质求参数范围 【详解】（1）当时，，解得或， 故解集为 （2）解法一：令， 为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 因此，解得，或（舍去）， 所以，即. 解法二：令，为增函数，因为，所以， 由于，即在上有解， 即在上有解，且.               所以 即. 16．(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合代入法进行求解即可； （2）根据导数的性质进行求解即可； （3）根据函数最值的性质，结合（2）的结论进行求解即可. 【详解】（1）， 所以由题意可得； （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为， 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，； 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，； （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增， 因为， 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为. 17．(1)最小正周期为，递增区间为 (2). (3) 【分析】（1）利用余弦函数单调增区间列不等式求解即可； （2）函数化简后利用正弦函数对称中心求解； （3）利用题意把线段长度表示为三角函数，利用三角函数的性质求解最值即可. 【详解】（1）因为，余弦函数单调增区间为， 所以， 所以的单调增区间为 （2）化简，则，正弦函数的对称中心为， 所以令，即函数的对称中心为. （3）由题意可知，、两点的坐标为、， 则，即， 故 ， 因为，所以，所以， 所以在时的最大值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用二倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算可得结果； （2）利用辅助角公式化简函数解析式，结合正弦函数的最值可得结果； （3）求出函数的解析式，通过函数图象，将问题转化为直线与曲线的交点横坐标的和，结合图象的对称性可得结果. 【详解】（1）， . （2）， 当时，， 所以，， 即的值域为. （3）当时，， 因为的图象关于直线对称， 所以当时，， ， 由第2小问可知，当时，的值域为， 根据对称性可得的图象如下图所示： 记中所有元素之和为， 当时，直线与函数的图象有四个交点， 此时有两对关于直线对称的点，所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $