江苏常州市2025-2026学年下学期期末高二数学自编模拟卷（二）

**基本信息** 2025-2026学年常州高二数学期末模拟卷，覆盖苏教版必修1-2及选择性必修1核心内容，通过函数、导数、不等式等知识考查数学思维与运算能力，解答题注重综合应用与逻辑推理。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合运算、导数几何意义（第2题）、不等式恒成立（第4题）|基础巩固，梯度合理| |多选题|3题/15分|导函数图象分析（第9题）、三角函数性质（第10题）|多维度辨析，考查推理意识| |填空题|3题/15分|函数单调性（第12题）、三角函数交点（第13题）|情境简洁，聚焦关键能力| |解答题|5题/80分|函数切线与值域（第15题）、函数零点求参（第17题）、三角函数综合（第18题）|分层设计，综合导数应用与函数性质，适配期末测评需求|

2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（二） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 4．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 5．的值为（    ） A．1 B． C． D．2 6．关于x的方程在区间有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 二、多选题 9．如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．在时，函数取得极值 B．在时，函数取得极值 C．函数在区间上单调递增 D．的图象在处切线的斜率小于零 10．函数的最大值为4，则（    ） A． B．图象关于对称 C．的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 11．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 13．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 14．已知，，且，，则的值为_______． 四、解答题 15．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 16．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 17．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 18．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 19．已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（二） 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B C C D B AC ABD 题号 11 答案 BC 1．C 【分析】分别求解集合的具体范围，再利用集合交集的定义得出结果. 【详解】集合， 由，解得，故； 因此. 2．D 【详解】因为， 所以. 3．C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 4．B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 5．C 【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决. 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 6．C 【分析】令，可得，令，结合函数，，和，的图象分析求解即可. 【详解】因为，令， 可得，即， 令，， 作出函数，，和，的图象，如图所示： 若，则方程只有一个根， 且方程有2个不同的根，符合题意； 若，则方程有2个根，， 且方程和均有2个不同的根，不合题意； 若，则方程有2个根，， 且方程和均有1个根，符合题意； 若，则方程只有一个根， 且方程有2个不同的根，符合题意； 若，则方程只有一个根， 且方程有1个根，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 7．D 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 8．B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 9．AC 【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可. 【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，. 所以在时，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递增，. 所以在时，函数没有极值，所以B错误； 对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误. 10．ABD 【详解】， 选项A：，所以， 因为的最大值为4，所以； 选项B：因为，所以，， 当时，， 取到最小值，所以是的对称轴； 选项C：，C错误； 选项D：当时，， ，即， 所以. 11．BC 【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立, 则,故A错误； 对于B,，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D,由，得，即， 当时，可得，即， 整理得，故D错误． 12． 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得，即，解得， 所以的取值范围是． 13． 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 14．24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 15．(1) (2) 【分析】（1）求导，根据求值； （2）求导，根据导数得到函数的单调性，求其在上的最值，得到值域. 【详解】（1）由，得． 因为在处的瞬时变化率为0，所以， 解得． （2）由（1）得． 当时，，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在上的值域为． 16．(1) (2) 【分析】（1）利用，两边平方，即可求出的值，再根据同角三角函数的平方关系可求； （2）求出的范围，得出的值，利用，结合两角差的余弦公式可求的值. 【详解】（1）∵， ∴， 解得：，又，所以， ∴. （2）由题意及（1）得， ，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ . 17．(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出和的值，进而得到函数的解析式； （2）先求出函数的单调递增区间，再结合给定区间确定的最大值； （3）令，将问题转化为关于的不等式恒成立问题，再借助二次函数性质求解的取值范围. 【详解】（1）由，且，得，相邻对称轴距离为，故周期. 由，得. 因此，函数解析式为：. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 已知函数在区间上单调递增，令，可得单调递增区间为， 所以，即实数的最大值为. （3）当时，，故. 令，则不等式对所有恒成立. 设，这是开口向上的二次函数，只需端点满足不等式： 当时： 当时： 综上，的取值范围为. 19．(1)，； (2)或或 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（二） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求解集合的具体范围，再利用集合交集的定义得出结果. 【详解】集合， 由，解得，故； 因此. 2．已知函数在处可导，且，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为， 所以. 3．已知、为非零实数，则使不等式成立的一个充分不必要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则， ，此时不可能满足. 若，则，令，则 ，所以 当且仅当（即）时取等号. 因此，不等式成立的充要条件是 A.：此时式子，与题目矛盾，排除. B.：这是不等式成立的充要条件，不是“充分不必要条件”，排除. C.：若，则，一定能推出不等式成立（充分性成立）； 但不等式成立只要求，也可以是，不一定是（必要性不成立），所以这是充分不必要条件 D.：此时，式子，与题目矛盾，排除 4．不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 5．的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】运用和差化积公式进行化简分子部分变为，再使用诱导公式、二倍角公式化简分母，从而让问题得到解决. 【详解】运用和差化积公式进行化简，得 . 6．关于x的方程在区间有两个不相等的解，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，可得，令，结合函数，，和，的图象分析求解即可. 【详解】因为，令， 可得，即， 令，， 作出函数，，和，的图象，如图所示： 若，则方程只有一个根， 且方程有2个不同的根，符合题意； 若，则方程有2个根，， 且方程和均有2个不同的根，不合题意； 若，则方程有2个根，， 且方程和均有1个根，符合题意； 若，则方程只有一个根， 且方程有2个不同的根，符合题意； 若，则方程只有一个根， 且方程有1个根，不合题意； 综上所述：实数a的取值范围为. 7．已知函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系，将不等式进行转化求解即可得到结论. 【详解】构造函数，， 当时，，所以，所以在上单调递减， 因为，函数是定义在区间上， 所以，即， 不等式化为，即， 所以，即， 所以不等式解集为. 8．若函数有奇数个零点，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．16 D．18 【答案】B 【分析】借助偶函数定义可得为偶函数，则由函数有奇数个零点可得，代入计算可得，再借助基本不等式计算即可得. 【详解】， 又定义域为，则函数为偶函数， 由函数有奇数个零点，则，即， 所以，当且仅当，即，时等号成立， 即的最小值是. 二、多选题 9．如图是函数的导函数的图象，则（   ） A．在时，函数取得极值 B．在时，函数取得极值 C．函数在区间上单调递增 D．的图象在处切线的斜率小于零 【答案】AC 【分析】根据导数图象和极值进行辨析即可. 【详解】对于A，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增，. 所以在时，函数取得极小值，所以A正确； 对于B，根据图象可知，当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递增，. 所以在时，函数没有极值，所以B错误； 对于C，根据图象可知，在上大于等于0，所以函数在区间上单调递增，所以C正确； 对于D，因为，所以它的图象在处切线的斜率大于零，D错误. 10．函数的最大值为4，则（    ） A． B．图象关于对称 C．的图象向右平移个单位长度得到函数的图象 D．在上的值域为 【答案】ABD 【详解】， 选项A：，所以， 因为的最大值为4，所以； 选项B：因为，所以，， 当时，， 取到最小值，所以是的对称轴； 选项C：，C错误； 选项D：当时，， ，即， 所以. 11．已知均为正实数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式,对数的运算性质以及和角的正切公式,结合正切函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A,因，，即,当且仅当时等号成立, 则,故A错误； 对于B,，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C,由A项得,则，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D,由，得，即， 当时，可得，即， 整理得，故D错误． 三、填空题 12．已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得，即，解得， 所以的取值范围是． 13．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 14．已知，，且，，则的值为_______． 【答案】24或 【分析】先由范围确定、的区间并判断三角函数符号,求出与,再把通分化简为,利用积化和差公式算出,最后代入数值计算得出结果. 【详解】 由角范围得：,. 由,所以 得,. 由,,得. 若,则 . 代入目标式：. 若 . 代入目标式：. 综上所述, 或 四、解答题 15．已知函数，且在处的瞬时变化率为0． (1)求的值； (2)求在上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据求值； （2）求导，根据导数得到函数的单调性，求其在上的最值，得到值域. 【详解】（1）由，得． 因为在处的瞬时变化率为0，所以， 解得． （2）由（1）得． 当时，，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在上的值域为． 16．已知，． (1)求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用，两边平方，即可求出的值，再根据同角三角函数的平方关系可求； （2）求出的范围，得出的值，利用，结合两角差的余弦公式可求的值. 【详解】（1）∵， ∴， 解得：，又，所以， ∴. （2）由题意及（1）得， ，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴ . 17．已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类确定函数的单调区间，进而由两个零点建立不等式求解. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，最多一个零点，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 函数有两个零点，当且仅当， 则，解得，所以实数a的取值范围是. 18．已知函数，，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的最大值； (3)若，，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件求出和的值，进而得到函数的解析式； （2）先求出函数的单调递增区间，再结合给定区间确定的最大值； （3）令，将问题转化为关于的不等式恒成立问题，再借助二次函数性质求解的取值范围. 【详解】（1）由，且，得，相邻对称轴距离为，故周期. 由，得. 因此，函数解析式为：. （2）令，解得， 所以函数的单调递增区间为. 已知函数在区间上单调递增，令，可得单调递增区间为， 所以，即实数的最大值为. （3）当时，，故. 令，则不等式对所有恒成立. 设，这是开口向上的二次函数，只需端点满足不等式： 当时： 当时： 综上，的取值范围为. 19．已知函数，其中且. (1)设，写出函数的定义域，并判断是否存在正数，使得函数为奇函数，说明理由； (2)设.若关于的方程的解集为单元素集合，求正数的值. 【答案】(1)，； (2)或或 【分析】（1）由分母不等于解出定义域，由奇函数的定义域关于原点对称求出的值，再利用奇函数的定义检验即可； （2）令，则原命题可等价于方程的解集为单元素集合，分一元二次方程有两相等实根且不等于与一元二次方程有两不相等实根且有一个根等于，分别求出的值即可. 【详解】（1）由题意知：， 分母不等于得：， 解得：， 所以函数的定义域为， 要使函数为奇函数，则定义域关于原点对称， 则，解得， 当时，，定义域为， 此时，满足奇函数的定义， 所以存在正数，使得函数为奇函数. （2）由题意知：， 则等价于，其中且， 化简得：， 令，， 原命题等价于：的解集为单元素集合， ①方程有两相等实根，且不等于， 所以， 化简得：， 解得：， 验证根是否等于， 当时，根，满足题意， 当时，根，满足题意， ②方程有两不等实根，且其中一个根为， 则将代入方程：， 当时，此时方程为， 解得：（舍）或，满足题意. 综上所述：正数的取值为或或. 学科网（北京）股份有限公司 $