专题05 导数及其应用（期末真题汇编，江苏专用）高二数学下学期

**基本信息** 导数及其应用专题期末试题汇编，涵盖8大高频考点，精选江苏多地高二期末真题，注重基础巩固与能力提升，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约20题|导数概念与运算、切线问题、单调性等|基础题（如导数运算）、能力题（如切线方程）梯度分布，贴合江苏期末命题趋势| |填空|约15题|极值最值、零点问题|结合瞬时变化率等实际情境，考查导数几何意义| |解答|约10题|恒成立、不等式证明、新定义|综合题（如含参数单调性讨论、零点个数求参）突出逻辑推理，新定义题（如“对称函数”）体现创新应用|

专题05 导数及其应用 8大高频考点概览 考点01 导数的概念与运算 考点02 利用导数解决函数中的切线问题 考点03 利用导数研究函数的单调性 考点04 利用导数解决函数的极值与最值问题 考点05 利用导数研究函数的零点问题 考点06 利用导数解决函数中的恒成立问题 考点07 利用导数解决函数中的不等式证明问题 考点08 导数与函数的新定义 ( 地 城 考点01 导数的概念与运算 )1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】A 6．【答案】A 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】3 10．【答案】/-0.5 ( 地 城 考点0 2 利用导数解决函数中的切线问题 ) 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】C 6．【答案】A 7．【答案】 8．【答案】 9．【答案】1 10．【答案】 11．【答案】或 12．【答案】（答案不唯一） ( 地 城 考点0 3 利用导数研究函数的单调性 ) 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】ABD 7．【答案】C 8．【答案】C 9．【答案】D 10．【答案】B 11．【答案】 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 ( 地 城 考点0 4 利用导数解决函数的极值与最值问题 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】AD 4．【答案】ABD 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】(1)(2)最大值为19 8．【答案】(1)极大值是，极小值是；(2) 9．【答案】(1) （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 10．【答案】(1)(2)存在；(3) 11．【答案】(1)(2)(3) ( 地 城 考点0 5 利用导数研究函数的零点问题 ) 1．【答案】B 2．【答案】BCD 3．【答案】ACD 4．【答案】ABD 5．【答案】2 6．【答案】(1) 在 和 上单调递增.(2)实数 的取值范围为 . 7．【答案】(1)(2)极小值为，无极大值(3) ( 地 城 考点0 6 利用导数解决函数中的恒成立问题 ) 1． 【答案】BCD 2． 【答案】 3． 【答案】2 4． 【答案】. 5． 【答案】 6．【答案】 7．【答案】(1)(2) （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 8．【答案】(1)(2). 9．【答案】(1)(2)(3)2 10．【答案】（1）当时， ，其定义域为，且， 由可得，由可得， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，函数的定义域为， 且， 因，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 即当时，，则，故有. （3）不等式恒成立等价于恒成立， 则，即，又因是整数，则. 当时，设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故， 即在上恒成立， 下证当时，. 证明：设，则，故函数在上单调递增， 则，即. 故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意. 故整数a的最小值为1. 11．【答案】(1)(2)(3) ( 地 城 考点0 7 利用导数解决函数中的不等式证明问题 ) 1．【答案】（1）因为，定义域为，所以，. 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减： 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减： 当时，，则在上单调递增： 综上：当时，在上单调递减： 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，， 要证，即证， 即证恒成立， 令，则， 令，则：令，则： 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，恒成立，证毕 2．【答案】(1)；(2)①； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 3．【答案】(1) （2）因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无增区间． ②若，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）若，由（2）知在单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以． 法1．由题意知，所以，且． 要证，只要证，只要证， 只要证，只要证． 令，，， 所以在单调增，， 因为，所以，即， 所以得证． 法2．由（2）得在单调递减，在单调递增， 所以，所以． 因为，所以， 要证，只要证，只要证， 只要证． 而， 令，，， 所以在单调增，， 所以时，恒成立，令得， 所以． 所以得证． 4．【答案】(1) （2），定义域为， ，        当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； （3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为；             当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，；        当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 5．【答案】(1)(2) （3）法1：当时，，所以， 由可得， 即， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 记，则， 因此 ， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以 当时，， 则，即． 法2：当时，，所以， 令，则，故在上单调递增． 又，， 根据零点存在性定理，存在唯一的，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 又，且， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由于，且， 则，从而． 要证，只要证，只要证，即证． 因为，，所以即证，即证． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以． 所以，即．故． ( 地 城 考点0 8 导数与函数的新定义 ) 1．【答案】D 2．【答案】(1)不存在F点(2)(3)． 3．【答案】（1）的定义域为，． ①当时，，在上单调递增； ②当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ③当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）①证明：依题意，， 则，所以， ，所以， 所以，所以函数图象关于对称； ②设，则，， 所以，的值为0． 4．【答案】（1）函数，求导得， 对，， 所以是 “反比函数”. （2）设，则，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，因此， 依题意，，由，得， 于是 即对，， 所以函数是“反比函数”. （3）设，则， 函数在上单调递增， 当时，有，即对任意，； 假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得， 由，知，矛盾， 因此对任意，； 假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得， 从而对任意，有， 当时，，矛盾， 即对任意，有， 因此对任意的，都有成立， 所以对任意，关于的方程一定无解. 5．【答案】（1）记，， 则，， 当时，又，有， 故不是“级函数”； 记，则， 有，故是“级函数”． （2）①设，则， 易得在上单调递增，在上单调递减， 其图象为 若，，使得， 欲证，即证， 由图不妨设，所以， 又在上单调递减，所以只需证明， 又，即证明， 构造函数，， 则等价于证明在上恒成立， ，因为， 所以，所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以得证. ②由题意，， 则，，即，即， 因为恒成立，所以， 又时不等式恒成立，有，解得， 故. 此时，． 由①可知在上是增函数，在是减函数， （Ⅰ）当时，即时，得，即， 令，则，可得， 所以，在上单调递减，在上单调递增． 所以， 所以． （Ⅱ）当时，即，时， ，又，有， 且由①可知存在，使得，， 即， 此时恒有． 综上，的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数及其应用 8大高频考点概览 考点01 导数的概念与运算 考点02 利用导数解决函数中的切线问题 考点03 利用导数研究函数的单调性 考点04 利用导数解决函数的极值与最值问题 考点05 利用导数研究函数的零点问题 考点06 利用导数解决函数中的恒成立问题 考点07 利用导数解决函数中的不等式证明问题 考点08 导数与函数的新定义 ( 地 城 考点01 导数的概念与运算 )1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．1 2．（24-25高二下·江苏无锡·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）函数在处的瞬时变化率是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 6．（24-25高二下·江苏南通·期末）若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D．2 8．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 9．（25-26高二上·江苏徐州·期末）函数在区间上的平均变化率为_____. 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知，则______. ( 地 城 考点0 2 利用导数解决函数中的切线问题 ) 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 4．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，直线与曲线相切，则实数（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若直线是曲线的一条切线，则__________. 8．（25-26高二上·江苏南京·期末）曲线在处的切线方程是______. 9．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则该函数在处的切线斜率为_____． 10．（24-25高二下·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是________． 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程_______． ( 地 城 考点0 3 利用导数研究函数的单调性 )1．（24-25高二下·江苏·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得最大值 C．在处取极小值 D．在上至少有一个零点 5．（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）设函数，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，若（其中），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，定义集合．若，则（   ） A．在上单调递减 B．是在上的最小值 C．存在，使得0是的极大值点 D．存在，存在使得 10．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极大值 D．在时，函数取得极值 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． R 12．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 13．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） ( 地 城 考点0 4 利用导数解决函数的极值与最值问题 )1．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．5 2．（24-25高二下·江苏·期末）已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同的直线与相切 D．函数有5个零点 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为_______ 6．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为____________． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值： (2)求函数在上的最大值． 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 10．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 11．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数． (1)若在处取极值，求实数a的值； (2)若，求曲线过原点的切线方程； (3)记，已知存在最小值，求的最大值． ( 地 城 考点0 5 利用导数研究函数的零点问题 )1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏无锡·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．共有3个零点 B．既存在极大值，也存在极小值 C．若时，，则的最大值为2 D．若函数有2个零点，则 3．（24-25高二下·江苏·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．只有2个极小值点 B．曲线在点处的切线斜率为3 C．当有3个零点时，的取值范围为 D．当只有1个零点时，的取值范围为 4．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B． C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为______． 6．（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． ( 地 城 考点0 6 利用导数解决函数中的恒成立问题 )1．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若实数满足，则______． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则正实数的取值范围是_______. 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 9．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求实数的最大值． 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若是的极大值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围. ( 地 城 考点0 7 利用导数解决函数中的不等式证明问题 )1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数）， (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； (3)当时，若，且，求证：． ( 地 城 考点0 8 导数与函数的新定义 )1．（24-25高二下·江苏南京·期末）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段的中点，则称，是关于的“对称函数”.已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”.若，，成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 3．（24-25高二下·江苏·期末）函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知． (1)讨论的单调性； (2)当时， ①证明：函数图象关于对称； ②求的值． 4．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”． (1)设，判断是否为“反比函数”，并说明理由； (2)若，求证：函数是“反比函数”； (3)已知“反比函数”满足对任意的，都有，且，求证：对任意的，关于的方程无解． 5．（24-25高二下·江苏·期末）设，对任意，成立，则该函数称为“级函数”，其中为函数的导数． (1)判断函数和，是否为“级函数”，并说明理由； (2)记（1）中的“级函数”为． ①若，，使得，证明：； ②若，，求实数的取值范围． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 导数及其应用 8大高频考点概览 考点01 导数的概念与运算 考点02 利用导数解决函数中的切线问题 考点03 利用导数研究函数的单调性 考点04 利用导数解决函数的极值与最值问题 考点05 利用导数研究函数的零点问题 考点06 利用导数解决函数中的恒成立问题 考点07 利用导数解决函数中的不等式证明问题 考点08 导数与函数的新定义 ( 地 城 考点01 导数的概念与运算 )1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，则（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据导数的定义，函数在处的导数等于，求出，将代入得解. 【详解】，，， ，故选项C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏无锡·期末）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为函数在处可导， 所以 . 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏扬州·期末）函数在处的瞬时变化率是（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】求导后将代入即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 故在处的瞬时变化率是， 故选：D 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对函数进行求导，将代入导函数中即可求出答案. 【详解】因为，所以， 当时，， 则质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数在处可导，且，则（    ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据导数的定义，对式子变形，求出答案. 【详解】由题意知：，即， 故选：A． 6．（24-25高二下·江苏南通·期末）若一质点的位移（单位：m）关于时间（单位：s）的函数关系为，则该质点在时的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，借助导数计算即可. 【详解】求导可得， 因为， 所以该质点在时的瞬时速度为. 故选：A 7．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】利用导数列方程，化简求得. 【详解】依题意，， 所以， 所以. 故选：C 8．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上可导，且满足，则函数在点处切线的斜率为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】由导数的概念即可求，最后由导数的几何意义即可求解. 【详解】由有， 所以. 故选：A． 9．（25-26高二上·江苏徐州·期末）函数在区间上的平均变化率为_____. 【答案】3 【分析】根据平均变化率定义直接计算可得结果. 【详解】由题意可知函数在区间上的平均变化率为, 故答案为：3. 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知，则______. 【答案】/-0.5 【分析】由解析式求出，代入即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以. 故答案为：. ( 地 城 考点0 2 利用导数解决函数中的切线问题 ) 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若直线是曲线的一条切线，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【详解】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 2．（25-26高二上·江苏南通·期末）曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而得到倾斜角即可. 【详解】设，则， 设在处的切线的倾斜角为， 由导数的几何意义得， 而，可得，故C正确. 故选：C 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】C 【分析】求出曲线在点处的切线后结合判别式可求的值. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为， 故对应的切线方程为， 因为该切线也是曲线的切线，故有两个等根， 即有两个等根，故，故， 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，直线与曲线相切，则实数（    ） A．－3 B．－1 C．1 D．3 【答案】A 【分析】设直线与曲线的切点横坐标为，根据导数的几何意义及两函数在切点处的函数值相等，列式即可求解. 【详解】， 设直线与曲线的切点横坐标为， 所以，且， 解得，. 故选：. 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 6．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 7．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若直线是曲线的一条切线，则__________. 【答案】 【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率列出方程即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于，则； 所以，解得，所以； 又，所以，解得. 故答案为：. 8．（25-26高二上·江苏南京·期末）曲线在处的切线方程是______. 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，进而写出切线方程即可. 【详解】当时，可得，则切点为， 而，当时，得到， 则切线方程为，即. 故答案为： 9．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知函数，则该函数在处的切线斜率为_____． 【答案】1 【分析】求出即可得解. 【详解】已知函数， ，则， 所以函数在处的切线斜率为. 故答案为： 10．（24-25高二下·江苏镇江·期末）曲线上的点到直线的最短距离是________． 【答案】 【分析】求出和平行的直线和相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论. 【详解】与平行的直线和相切，则斜率为， 因为，所以， 令，解方程得，代入直线方程得切点， 则点到直线的距离就是曲线的点到直线的最短距离， 由点到直线的距离公式知， 故答案为：. 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）若曲线只有一条过原点的切线，则的值为______________． 【答案】或 【分析】设切点为，再根据导数的几何意义求得切线方程，并结合题意得方程有且只有一个实数根，再结合判别式求解即可. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, ∴切线方程为：, ∵切线过原点， ∴,整理得：, ∵曲线只有一条过坐标原点的切线切， ∴,解得或, ∴或, 故答案为：或 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程_______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） ( 地 城 考点0 3 利用导数研究函数的单调性 ) 1．（24-25高二下·江苏·期末）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的图象，分类讨论，求得的符号，得到函数的递增区间，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得： 当时，可得，所以，单调递减； 当时，可得，所以，单调递增； 当时，可得，所以，单调递减， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，根据导函数可得为R上的增函数，利用单调性比较大小即可. 【详解】由，得， ，当且仅当，即时等号成立， 而，，即在R上单调递增， ，，即. 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数图像上任一点处的切线方程为，那么函数的单调递增区间是（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【分析】由切线方程，可知任一点的导数为，然后由，可求单调递增区间. 【详解】因为函数的图像上任一点的切线方程为， 即函数图像在点的切线斜率，所以， 由，解得或， 即函数的单调递增区间是，. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得最大值 C．在处取极小值 D．在上至少有一个零点 【答案】C 【分析】根据图像得的单调性，逐项验证即可求解. 【详解】由图可知：当时，，当时，，当时，，当时，， 所以的减区间为，增区间为，故A错误， 和为极大值点，不能确定的大小，为极小值点，故B错误，C正确；由于与0的大小不确定，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高二下·江苏·期末）已知在上对任意满足，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性的性质，列出不等式组，求出参数范围. 【详解】由题意，在R上单调递减， 当时，，即， 当时，，， 可知在恒成立，可得，解得， 且当时，，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：D． 6．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）设函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D. 【详解】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 因为，所以，故A正确； 因为，所以，又， 且，所以，所以，故B正确； 当时，，故选项C错误； ，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，，故D正确. 故选：ABD 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知定义在上的函数的导函数为，且满足， ，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性可得函数的图像关于直线成轴对称，结合已知可确定函数的单调性，从而可判断和的大小，从而得结论. 【详解】由题设可知函数的图像关于直线成轴对称， 且当时，函数是增函数，当时，函数是减函数， 则，故D不正确； 因为，且，所以， 该不等式说明 到对称轴 的距离比到对称轴的距离远，即 ， 又函数的函数值随自变量与对称轴距离的增大而减小， 所以，故C正确． 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，若（其中），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合题意先确定的范围，再得到，将目标式变换为一元函数，进而构造函数，利用导数判断其单调性，最后求解值域即可. 【详解】如图，作出的图象，且令， 则，分别是和的三个交点， 结合图象可得，令，解得，故， 令，解得，故， 则，且恒成立， 而和有三个交点，则令， 解得，得到 令，解得，故， 由题意得，故， 则，可得， 令，且， 而，当时，， 则在上单调递减，，， 所以，故C正确. 故选：C 9．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数的定义域为，定义集合．若，则（   ） A．在上单调递减 B．是在上的最小值 C．存在，使得0是的极大值点 D．存在，存在使得 【答案】D 【分析】对于ABD：举特例，结合题意分析判断即可；对于C：根据题意利用反证法结合极值点的定义分析判断. 【详解】对于选项ABD：例如，其图象如图所示： 当时，对任意，，均有，即； 当时，对任意，，均有，即； 当时，因为在内单调递减， 则存在，对，均有，即； 当，对任意，均存在，使得，即； 综上所述：符合题意. 显然在上不是单调递减，故A错误； 不是在上的最小值，故B错误； 若，则，故D正确； 对于选项C：因为，则存在，对任意，均有， 假设0是的极大值点，则存在，对任意，均有， 两者相矛盾，假设不成立，故C错误； 故选：D. 10．（24-25高二下·江苏徐州·期末）如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（    ） A．函数的图象在处切线的斜率小于零 B．函数在区间上单调递增 C．在时，函数取得极大值 D．在时，函数取得极值 【答案】B 【分析】对于选项A，根据导数的意义和正负判断斜率的正负；对于选项B，根据导数的符号与函数的单调性的性质进行判断；对于选项C，根据函数的极大值的定义进行判断；对于选项D，根据函数能取到极值的条件进行判断. 【详解】对于选项A： 题干中的图是导函数的图象，当导数小于0时，斜率小于0， 由图可知，在处的值是大于0的，所以图象在该点的切线的斜率是大于0，所以A错误. 对于选项B： 由图可知，导数在内都是大于等于0的， 所以说明函数在该区间内是单调递增的，所以B正确. 对于选项C： 由图可知，导数在的左侧是小于0，在右侧是大于0， 这说明函数在的左侧单调递减，在右侧单调递增，因而函数在此处取极小值，C错误. 对于选项D： 由图可知，导数在的左侧是大于0，在右侧也是大于0，符号无变化， 这说明不是极值点，函数在此处没有极值，所以D错误. 故选：B. 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用导数结合单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】函数在定义域为R，求导得， 依题意，，即恒成立，而，则， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 12．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数在上单调递减，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用求导，将原函数在给定区间上的单调性问题转化成导函数不等式恒成立问题，通过参变分离，进一步化成求对应函数的最小值解决. 【详解】由求导得：， 因为函数在上单调递减， 所以 在上恒成立， 即在上恒成立． 设，因在上单调递增， 则在上单调递增，所以， 故得，即实数a的取值范围是． 故答案为：. 13．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】对求导并化简，由单调递减得，换元转化不等式，用均值不等式求最值，确定实数的取值范围. 【详解】， ， 因为函数在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 令，当时，， 则在上恒成立可转化为： 在上恒成立， 在上恒成立，即， 根据均值不等式，，当且仅当时等号成立， 因此在上的最小值是4，所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知实数，，均小于1，且满足，，，其中为自然对数的底数．则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【分析】构建函数，利用导数分析的单调性，再确定的大小关系，结合单调性即可得解.. 【详解】由，得， 由，得， 由，得， 设，其定义域为，求导得， 当时，；当时，则，函数在上递增，在上递减， ， ， 则， 于是，即，而都小于1， 所以. 故答案为： ( 地 城 考点0 4 利用导数解决函数的极值与最值问题 ) 1．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．5 【答案】C 【分析】通过条件将双变量转化为单变量，结合导函数来求解最小值即可． 【详解】， ，则， ， 设，其中， ， 令，解得：， 当时，；当时，； 当时，取到极小值，也是最小值为：， 故选：C． 2．（24-25高二下·江苏·期末）已知奇函数在上满足，其中的导函数为，则的极大值点为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先求导，即可求得，利用导数研究单调性即可得极小值，又利用奇偶性即可求解. 【详解】，则，所以， 所以， 令有，由有，有， 所以在上单调递减，在单调递增， 所以3是极小值点，又是奇函数，所以的极大值点为， 故选：B． 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．点是函数图象的对称中心 B．是函数的极小值点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】对函数求导，得出函数的单调性并结合图象即可判断出B选项，利用中心对称的定义计算可判断A，对于C选项，由，求得的范围，结合函数最值的性质即可求解；D选项，根据已知自变量的范围判断函数值的范围，进而比较大小. 【详解】由题意，，求导可得，令，得， 当或时，；当时，. 所以在和上单调递增，在上单调递减，且， 可作出大致图象如图所示． 对于A，，所以函数的图象关于点成中心对称，故A正确； 对于B，由图象可知，是函数的极大值点，故B错误； 对于C，当时，，因为，结合函数图象和单调性可得，故C错误； 对于D，当时，，此时，，则，所以，故D正确． 故选：AD. 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）（多选）已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（    ） A． B．函数在区间上单调递减 C．过点能作两条不同的直线与相切 D．函数有5个零点 【答案】ABD 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数，则的最大值为_______ 【答案】 【分析】利用导数求出函数的最大值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 6．（24-25高二下·江苏南通·期末）函数在区间上的最大值为____________． 【答案】 【分析】由导函数的正负研究函数单调性，进而得到极值，比较极值和端点函数值的大小确定函数的最大值. 【详解】由题意，， 所以，时，，单调递增；时，，单调减；时，，单调递增. 又，， 所以，函数在区间上的最大值为. 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数a，b的值： (2)求函数在上的最大值． 【答案】(1) (2)最大值为19 【分析】（1）利用导数的几何意义可得，同时点在切线上，即，联立方程即可求解. （2）利用导数判断在上的单调性，先求出极大值，再求出端点值，比较后得到最大值即可. 【详解】（1）， 且，解得. （2）由（1）得，， 令，解得， 当或时，，当时，， 所以在和单调递增，在单调递减； 所以时，取到极大值，极大值为， 又， 所以函数在上的最大值为19. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值. (1)求函数的极值； (2)若存在，使得不等式成立，求的取值范围. 【答案】(1)极大值是，极小值是； (2) 【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值； （2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围. 【详解】（1），由导数的几何意义可知，， 且，得， 所以，，得或， ，得或，，得， 所以的增区间是和，减区间是， 所以的极大值是，极小值是； （2）由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，， 所以在区间的最大值为，， 若存在，使得不等式成立，则， 所以. 9．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知，函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，求函数在区间上的最小值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义，点斜式求切线方程； （2）求导可得，分和两种情况，利用导数分析的单调性； （3）分类讨论与区间的关系，根据单调性求函数最小值即可. 【详解】（1）当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以在处的切线方程为：． 即切线方程为. （2）由题意可得：， 注意到， ①若，，则在上单调递减， ②若，令时，解得， 当，；当，； 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减． （3）由（2）知时，在上单调递增，在上单调递减， ①当时，即时，函数在区间上单调递增， 所以； ②当时，即时，函数在区间上单调递减， 在上单调递增，所以； ③当，即时，函数在区间上单调递减， 所以. 综上，时，，时，， 时，. 10．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数. (1)若在其定义域内单调递减，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使得函数为偶函数？若存在，求的值，若不存在，说明理由； (3)函数在区间上有且仅有一个极值点，求正数的取值范围. 【答案】(1) (2)存在； (3) 【分析】（1）由导数小于零恒成立结合二次函数的性质可得； （2）由偶函数的性质比较系数可得； （3）换元令，求导后转化为在有且仅有一个变号零点，结合端点效应分析. 【详解】（1），则， 因为在其定义域内单调递减，所以恒成立， 结合二次函数的性质，开口向下，令可得. （2）设存在， 则，即， 代入展开可得， 比较的系数可得，即， 验证其它项也满足，故. （3） ， 令，因为，所以， 则原函数可变为，则， 因为函数在区间上有且仅有一个极值点， 所以在上有且仅有一个极值点，即在有且仅有一个变号零点， ，， 所以， 所以正数的取值范围为. 11．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知函数． (1)若在处取极值，求实数a的值； (2)若，求曲线过原点的切线方程； (3)记，已知存在最小值，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）依题意，可由求得，再代入检验即得； （2）时，设切点为，求导得到切线方程，依题将原点代入得到，分类讨论该方程的解，即可确定，回代入切线方程化简即得； （3）记，可得，故有；又由（1）可得时，，由条件得到，故得当时，. 【详解】（1）定义域为，， 因为在处取极值，所以，解得． 而当时，在上单调递增，又， 所以时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以在处取极小值．综上，． （2）时，，， 设切点为，则切线斜率， 所以切线方程为：， 将代入：， 整理得，时，方程成立； 且当时，，而； 当时，，，均不满足； 故方程有唯一解， 所以切线方程：，整理得： （3）记， 一方面，注意到， 所以，① 另一方面，由（1）知，时，， 又，所以， 所以， 结合①可知，时，．② 综合①②，的最大值是． ( 地 城 考点0 5 利用导数研究函数的零点问题 ) 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可通过将函数在区间上有三个零点转化为与在上有三个交点，再分区间讨论并结合导数研究函数单调性来求解a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于函数与在上有三个交点， 当时，在上单调递减，是过原点的直线，要使两函数图象有交点，需； 当时，，令，得， 令，， 令，解得， 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取得最大值， 又，. 要使函数与在上有三个交点，则与在上需有一个交点、在上需有两个交点， 则需满足，所以. 综上，实数a的取值范围为. 故选：B 2．（24-25高二下·江苏无锡·期末）（多选）已知函数，则下列结论正确的有（   ） A．共有3个零点 B．既存在极大值，也存在极小值 C．若时，，则的最大值为2 D．若函数有2个零点，则 【答案】BCD 【分析】对于函数的零点，可令函数值为求解；对于极值，通过求导判断导数的正负来确定函数的单调性，进而得到极值点；对于最值，结合函数单调性来分析；对于函数的零点问题，可转化为与的交点问题．逐项判断即可. 【详解】令，因为恒成立，所以只需． 可得，即有个零点，所以选项错误． 对求导，可得． 令，即，因为恒成立，所以，解得或． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以是极小值点，是极大值点，既存在极大值，也存在极小值，选项正确． 由前面分析可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，． 当时，，若时，，则的最大值为，选项正确． 函数有个零点，即与的图象有个交点． ，结合函数单调性和极限情况可知， 当时，与的图象有个交点，选项正确． 故选：BCD. 3．（24-25高二下·江苏·期末）（多选）已知函数，则（   ） A．只有2个极小值点 B．曲线在点处的切线斜率为3 C．当有3个零点时，的取值范围为 D．当只有1个零点时，的取值范围为 【答案】ACD 【分析】分或、两种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值点，即可判断A、B，根据零点的个数数形结合得到参数范围，即可判断C、D. 【详解】因为， 当或时，则， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当时，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 则在、处取得极小值，故有个极小值点，故A正确； 因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故B错误； ，则的图象如下所示： 有3个零点时，零点个数问题转化为函数的图象与直线的交点个数问题. 因为，，，， 要使有3个零点， 可得的取值范围为，故C正确； 要使只有1个零点，则的取值范围为，故D正确. 故选：ACD 4．（24-25高二下·江苏徐州·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．是奇函数 B． C．的极大值为4 D．若函数有三个零点，则 【答案】ABD 【分析】利用奇函数的定义可判断A的正误，求出函数的导数后代入计算可判断B的正误，根据导数的符号可判断函数何时取何极大值，故可判断C的正误，根据函数的单调性结合与的图象有3个不同的交点可求的范围，故可判断D的正误. 【详解】对于A，的定义域为，它关于原点对称， 而，故为奇函数，故A正确； 对于B，，故且， 故，故B正确； 对于C，由已知得， 故当时，，时，， 故的极大值点为，此时极大值为，故C错误； 对于D，由C的分析可得在上为增函数，在为减函数， 又，且当时，，时，， 故当函数有三个零点时即与的图象有3个不同的交点时， 必有，故D正确. 故选：ABD. 5．（24-25高二下·江苏苏州·期末）函数的零点个数为______． 【答案】2 【分析】当时，利用导数研究其单调性得，即函数只有一个零点1，当时，利用导数法得函数在上单调递增，由零点存在性定理可知有一个零点，即可得解. 【详解】， 当时，，则， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 又，所以函数只有一个零点1， 当时，，则， 故函数在上单调递增，又，，所以由零点存在性定理可知，函数在上有一个零点， 所以函数的零点个数为2. 故答案为：2 6．（24-25高二下·江苏·期末）已知． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) 在 和 上单调递增. (2)实数 的取值范围为 . 【分析】（1）利用导数进行研究即可； （2）分离参数后，构造函数，利用导数研究单调性和极限值进而即得. 【详解】（1）因为，该函数在 处未定义，因此定义域为 . 设 ，则 ，故 . . 分母（当 )，分子中 恒正. 令 ，则，当 时 ，当 时 ； ，且 ( ). 因此，分子 （ )，故 （ ). 从而 （). 综上， 在 和 上均单调递增. （2）由可得, 因 （)，两边除以 ：, 整理为：，即. 设，则方程为 ，需求 在 时有两个不同的根. 求导：，分母 （). 分子中：（当 )；当 ， ，当 ， . 所以，当，；当，；当，. 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增， 在 处取极小值，. 又， ； ， . 综上， 的值域为 ，且在 上由 递减至 ，在 上由 递增至 . 要使 有两个不同的实根，需 ，此时，在 和 上各有一根，且两根不同. 当 时，仅一根 ；当 时，无实根. 故实数 的取值范围为 . 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知. (1)当在处切线的斜率为，求此切线的方程； (2)在（1）的前提下，求的极值； (3)若有个不同零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 (3) 【分析】（1）由可求出的值，可得出函数的解析式，求出的值，再利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性，结合函数极值的定义可得结果； （3）求得，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可得出函数的零点个数，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则，所以，解得， 所以，所以， 故所求切线方程为，即. （2）当时，，令，解得，列表得： ＋ 单调递减 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （3）因为，则， ①当时，由得，此时函数只有一个零点，不合乎题意； ②当时，， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 函数的极小值为，且， 当时，由零点存在定理可知，使得， 当时，，，所以， 所以， 取，所以，则， 由零点存在定理可知，存在，使得， 此时函数有两个零点； ③当时，，令得或. （i）当时，即时，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时，函数的极大值为， 故当时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （ii）当时，即当时，对任意的，恒成立， 此时函数在上至多一个零点，不合乎题意； （iii）当时，即当时，列表如下 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当且时，， 由于函数在上单调递增，故函数在上至多一个零点， 所以函数在上至多一个零点. 综上所述，实数的取值范围是. ( 地 城 考点0 6 利用导数解决函数中的恒成立问题 ) 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若恒成立，则的取值范围是 B．当时，的零点只有1个 C．若函数有两个不同的零点，则 D．当时，若不等式恒成立，则正数m的取值范围是 【答案】BCD 【分析】本题考查了利用导数研究不等式恒成立与零点问题.根据条件，通过构造函数并利用导数研究其单调性、最值等问题解决问题 【详解】对于选项 因为函数定义域为，所以恒成立等价于：对恒成立. 设，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 因此函数在处取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以.故选项错误. 对于选项. 当时，在定义域上恒成立.故在上递增. 且，，故在存在唯一的零点，故正确. 对于选项. 因函数的定义域为，所以两个零点. 因为，，所以，. 因此，即. 要证，只要证，即证. 令，要证，即要证. 令，. 因为， 所以函数是增函数，因此对，有. 则，即，即. 所以，故正确. 对于选项. 当时，不等式恒成立，即不等式恒成立. 即不等式恒成立，即恒成立. 设函数，则，故函数在定义域上单调递增. 因，即，所以. 设函数，. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 所以在时取最大值，. 故若要使在上恒成立， 即正数m的取值范围是，故正确. 故选： 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若实数满足，则______． 【答案】 【分析】利用导数可证，当且仅当时等号成立，从而可得. 【详解】即为， 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故即，当且仅当时等号成立， 故，故且， 故答案为：. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数的导函数为，且函数的图象经过点.若对任意一个负数，不等式恒成立，则整数的最小值为___________ 【答案】2 【分析】根据题意，设函数，代入点即可求出，进而求出函数的解析式.将问题转化为，，构造函数，，利用导数求出函数的最值，从而得出答案. 【详解】由函数的导函数为，所以设函数， 又函数的图象经过点，代入，得，解得， 所以， 因为对任意一个负数，不等式恒成立，即， 得，， 构造函数，，则， 令，则，令，解得， 所以当时，恒成立，即在上单调递减， 当时，恒成立，即在上单调递增， 且，，，， 所以存在使，且， 所以当时，恒成立， 在上单调递增， 当时，恒成立， 在上单调递减， 所以在时取得最大值，为， 由，得到， 代入得到，， 从而得函数， 由于且取整数，所以的最小值为 故答案为： 4．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数），若在上恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】. 【分析】根据题意得，令，求导求最值即可. 【详解】由已知在上恒成立， 所以在上恒成立， 故，其中， 令，则， 令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 故.所以的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】由题设化简可得，设，则，利用导数分析函数的单调性，进而将问题转化为恒成立，设，，进而利用导数分析函数的单调性，进而求解即可. 【详解】由，，， 则，则， 则，则， 设，则， 因为， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，， 则时，，即恒成立， 设，，则， 所以函数在上单调递减， 则，即，所以， 则实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数是定义在上的偶函数，是的导函数，，若在上恒成立，则正实数的取值范围是_______. 【答案】 【分析】因为函数为偶函数所以对其求导，得出，再利用奇偶性构造关于和的方程组，进而求出的解析式，化简题中式子再构造函数，通过求导求其最小值即可. 【详解】已知①，所以②， 又因为是定义在上的偶函数，所以， 对其求导有：，带入②中有③， 由①+③可得：，即. 若在上恒成立，则在上恒成立， 设，， 因为，令，即，解得， 令，解得，此时在区间上单调递减； 令，解得，此时在区间上单调递增； 所以，在处取得最小值， 所以即，，故， 所以正实数的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在，使得.证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】(1)根据导函数几何意义，利用函数导数求切线方程. (2)根据任意恒成立的解题思路，求构造函数最值，根据最值范围求参数范围. (3)根据题干条件，列出两个函数之间的等式方程，化简求得两个参数之间的关系，列出不等式，对不等式进行放缩，证明题目问题. 【详解】（1）当时，，所以. 又因为，所以切线方程为. （2）设，只需在时恒成立即可， 又，且，所以，即. 下面证明的充分性： ①当时，由， 令，所以， 记，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，所以恒成立. 综上所述，实数的取值范围是. （3）由函数.可得， 设，由，可得，则， 由（2）知，当时，，则时，， 所以，则，所以， 代入可得：， 则，所以. 8．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数． (1)若函数在区间上单调递增，求实数a的最小值； (2)若函数，对，，使成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据在区间上单调递增得出恒成立，再结合二次函数单调性计算求参； （2）把不等式关系转化为，求出导函数得出，再分类讨论得出，最后列式计算求解. 【详解】（1）因为，所以， 又因为函数在区间上单调递增，所以， 所以恒成立， 单调递增，所以，所以； （2）函数，对，，使成立， 所以， 函数， 当单调递减，所以， 因为，所以， 因为单调递增，所以， 当时，所以，所以单调递减，所以，所以，，所以； 当时，， ，所以单调递减，，所以单调递增， ，所以最大值是中较大的，所以且， 所以， 当时，所以，所以单调递增，所以，所以，，所以无解； 综上得：. 9．（24-25高二下·江苏苏州·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若是的极小值点，求实数的取值范围； (3)当时，若，求实数的最大值． 【答案】(1) (2) (3)2 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. （3）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用单调性求出函数值域即可求解. 【详解】（1）当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． （2）因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． （3）当时，， 当时，因为（当且仅当时等号成立），所以， 所以在上单调递增，故，符合题意. 当时，令，解得， 因为，，所以，故， 所以当时，，故在上单调递减， 所以，不符合题意． 综上，实数的最大值为2． 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：； (3)若关于x的不等式恒成立，求整数a的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)1 【分析】（1）通过对函数求导，根据导函数的符号即可判断函数的单调性； （2）设函数，利用求导判断得到，设，求导判断函数单调性得到，故可得，从而得证； （3）先就恒成立，取，结合条件推出，在时，设，通过求导推得，即得在上恒成立，再证当时，，可得不等式恒成立，从而确定整数a的最小值. 【详解】（1）当时， ，其定义域为，且， 由可得，由可得， 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）设，函数的定义域为， 且， 因，由可得，由可得， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故， 设，则， 由可得，由可得， 则在上单调递减，在上单调递增，故， 即当时，，则，故有. （3）不等式恒成立等价于恒成立， 则，即，又因是整数，则. 当时，设，则， 由可得，由可得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，故， 即在上恒成立， 下证当时，. 证明：设，则，故函数在上单调递增， 则，即. 故当时，在上恒成立，即不等式恒成立，符合题意. 故整数a的最小值为1. 11．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，若是的极大值点，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性，分类讨论由函数的极值求解参数的取值范围即可； （3）函数不等式恒成立，分离参数求最值，构造函数利用导数分析单调性求解参数的取值范围即可. 【详解】（1）若，则，所以， 所以曲线在点处的切线斜率为. 又，故切点为（1,1）. 故曲线在点处的切线方程为. （2）由题意，得. 的定义域为， ，，所以， 所以. 当时，在区间上，，单调递减， 在区间和上，，单调递增， 所以是的极大值点，满足条件. 当时，，在区间上单调递增，没有极值，不满足条件. 当时，在区间上，，单调递减， 在区间和上，，单调递增， 是的极小值点，不满足条件. 当时，在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以是的极小值点，不满足条件. 综上，的取值范围是. （3）由（2）知，，，且时，， 所以在上，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 设，则. 令，则，当时，， 所以即在区间上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减. 又，所以的取值范围是. ( 地 城 考点0 7 利用导数解决函数中的不等式证明问题 ) 1．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知函数（为自然对数的底数）， (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求函数的导函数，证明 时，当求的零点，分区间判断的正负，由此判断函数的单调性， （2）求的最小值，设，利用导数求函数的最小值，由此证明结论. 【详解】（1）因为，定义域为，所以，. 当时，由于，则，故恒成立， 所以在上单调递减： 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减： 当时，，则在上单调递增： 综上：当时，在上单调递减： 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，， 要证，即证， 即证恒成立， 令，则， 令，则：令，则： 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以当时，恒成立，证毕 2．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数， (1)若恒成立，求实数t的值； (2)当时，方程有两个不同的根，分别为， ①求实数m的取值范围； ②求证：. 【答案】(1)； (2)①；②证明见解析. 【分析】（1）由可判断，解得值并验证； （2）①令，利用，结合的单调性和零点存在性定理，判断取值范围；②构造函数，证得，再将问题转化为证明，由不等式性质可得. 【详解】（1），因为，若，即. 由于不是定义域区间的端点，且在定义域上连续， 故不仅是函数的最小值，同时也是极小值， 所以，解得. 检验：当时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； 所以的最小值为，即成立， 综上，. （2）①当时，令， ， 令，解得，，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增，则的最小值为； 当时，无解，当时，一解，都不符合题意； 当时，，， 因为，在上单调递减，所以在上唯一解； 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以当时，取得最小值，即，所以， 所以 ，又， 因为，在上单调递增； 所以在上有唯一解； 综上所述，方程有两个不同的根时，； ②由题可知：，即且， 构造函数：， 则， 所以在上单调递减，故，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 因为在上单调递增，，， 所以，得 要证， 即证， 即，即， 即证， 因为，故只须证明：， 因为成立. 所以原不等式成立. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知． (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若方程有两个不相等的实数根，，且，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数解析式求导，从而求出切线斜率与切点坐标，可得答案； （2）由导数与函数单调性的关系，分情况讨论，可得答案； （3）由题意明确参数的取值范围，法1：整理方程，构造函数，利用导数研究新函数的性质，可得答案；法2：由函数的单调性求得函数最值，结合题意进一步明确参数的取值范围，整理所证的不等式，利用函数的单调性构造函数，根据导数求得最值，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，又因为， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为， ①若，则恒成立，所以在单调递减，无增区间． ②若，令得，令得， 所以在单调递减，在单调递增． 综上所述，当时，在单调递减，无增区间； 当时，在单调递减，在单调递增. （3）若，由（2）知在单调递减，方程至多有一个实根，不符题意， 所以． 法1．由题意知，所以，且． 要证，只要证，只要证， 只要证，只要证． 令，，， 所以在单调增，， 因为，所以，即， 所以得证． 法2．由（2）得在单调递减，在单调递增， 所以，所以． 因为，所以， 要证，只要证，只要证， 只要证． 而， 令，，， 所以在单调增，， 所以时，恒成立，令得， 所以． 所以得证． 4．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知函数，． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调增区间； (3)若存在极大值点，求证：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而可求出切线的方程；       （2）求导，分情况讨论函数的单调递增区间； （3）利用函数的单调性求出函数的极大值，根据的取值范围进而可证明. 【详解】（1）若，则，，， 曲线在处切线的斜率， 曲线在处的切线方程为； （2），定义域为， ，        当时，令，得或， 函数的单调增区间为和； 当时，，函数的单调增区间为； 当时，令，得或， 函数的单调增区间为和． 综上，当时，函数的单调增区间为和； 当时，函数的单调增区间为； 当时，函数的单调增区间为和； （3）当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为；             当时，函数在和上单调递增，在上单调递减， 的极大值为， ，，，；        当时，在单调递增，此时无极值，不合题意； 综上，若存在极大值点，则． 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上有且仅有一个极值点，求的取值范围； (3)当时，若，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义可求切线方程； （2），则在上有且仅有1变号零点，就、、分类讨论后可得的取值范围； （3）记，由结合三角变换公式可得，利用导数可证，从而得到 ，或者可以利用极值点偏移的方法来证明 . 【详解】（1）当时，，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2），令，则， ①若，当时，，单调递减， 所以，单调递减，不符合； ②若，当时，，单调递增， 所以，单调递增，不符合； ③若，则在有两个解，不妨设为，（）． 列表如下： － 0 ＋ 0 － 极小值 极大值 当时，，则在上没有零点． 要使在上有且仅有1个极值点， 则在上有且仅有一个变号零点， 则需要，即，解得． 又因为，所以． 当时，，， 由零点存在性定理知，存在唯一零点，使得， 当时，，为减函数； 当时，，为增函数，所以为的极小值点． 综上所述，的取值范围为． （3）法1：当时，，所以， 由可得， 即， 又，两边同时除以，得， 因此， 所以， 记，则， 因此 ， 令，，则， 所以在上为减函数，故，即时，． 因为，， 所以，所以 当时，， 则，即． 法2：当时，，所以， 令，则，故在上单调递增． 又，， 根据零点存在性定理，存在唯一的，使得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以， 又，且， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 由于，且， 则，从而． 要证，只要证，只要证，即证． 因为，，所以即证，即证． 令，， 则， 所以在上单调递增，所以． 所以，即．故． ( 地 城 考点0 8 导数与函数的新定义 ) 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段的中点，则称，是关于的“对称函数”.已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”.若，，成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到的值域；判断在递增，可得其值域，再由题意可得的值域包含在的值域内，可得的不等式组，解不等式可得所求范围． 【详解】由函数，，是关于的“对称函数”， 可得，，，， 可得的解为， 由， ， 且在单调递减，单调递增，可得的最小值为，最大值为， 可得的值域为， 而在递增，可得的值域为， 由题意可得， 即有，即为， 则的范围是， 故选：D． 2．（24-25高二下·江苏镇江·期末）设函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”． (1)判断函数是否存在F点； (2)设函数，当存在F点，求k的值； (3)设函数，存在两个不相等的“F点”，，且，求a取值范围． 【答案】(1)不存在F点 (2) (3)． 【分析】（1）利用导数得函数无极值点，即可判断； （2）先求函数极值点，再根据题意，得，构造函数，利用单调性求解； （3）根据题意，是的两根，且，，由韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得. 【详解】（1）恒成立，故函数单调递增， 函数无极值，所以不存在F点； （2）解设是函数的一个F点，； 当时，，函数无极值； 当时，令，得：． 由，得：． 设，则在单调递增， 且，得，所以． 当时，是极小值点，所以是函数的一个F点， 综上，． （3），则，是的两根． 所以：，，． 由，，则， 所以化简得：． 则：，得：． 所以，得． 3．（24-25高二下·江苏·期末）函数的定义域为，如果，都有恒成立，那么的图象关于对称．已知． (1)讨论的单调性； (2)当时， ①证明：函数图象关于对称； ②求的值． 【答案】(1)答案见解析. (2)①证明见解析；②0. 【分析】（1）求导函数，按照、和分类讨论，研究函数的单调性. （2）①求出，即可证明； ②利用倒序相加法求和即可得解. 【详解】（1）的定义域为，． ①当时，，在上单调递增； ②当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增； ③当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）①证明：依题意，， 则，所以， ，所以， 所以，所以函数图象关于对称； ②设，则，， 所以，的值为0． 4．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，若其定义域为，且满足对一切恒成立，则称为一个“反比函数”． (1)设，判断是否为“反比函数”，并说明理由； (2)若，求证：函数是“反比函数”； (3)已知“反比函数”满足对任意的，都有，且，求证：对任意的，关于的方程无解． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用定义直接判断. （2）构造函数，并证明，再结合不等式性质证明即可. （3）分情况讨论，并证明对任意的都有，即可推出相应的结论. 【详解】（1）函数，求导得， 对，， 所以是 “反比函数”. （2）设，则，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，因此， 依题意，，由，得， 于是 即对，， 所以函数是“反比函数”. （3）设，则， 函数在上单调递增， 当时，有，即对任意，； 假设存在，使，由及零点存在定理，存在使得， 由，知，矛盾， 因此对任意，； 假设存在，使得，由及零点存在定理，存在使得， 从而对任意，有， 当时，，矛盾， 即对任意，有， 因此对任意的，都有成立， 所以对任意，关于的方程一定无解. 5．（24-25高二下·江苏·期末）设，对任意，成立，则该函数称为“级函数”，其中为函数的导数． (1)判断函数和，是否为“级函数”，并说明理由； (2)记（1）中的“级函数”为． ①若，，使得，证明：； ②若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是“级函数”，是“级函数”，理由见解析． (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）由函数新定义判断可得； （2）①由导数得到的单调性，再用分析证明法构造函数，利用导数证明极值点偏移可得； ②结合题意由分析证明法得到，再分类讨论时，构造函数求导分析单调性和最值；时，利用抽象函数的单调性分析可得. 【详解】（1）记，， 则，， 当时，又，有， 故不是“级函数”； 记，则， 有，故是“级函数”． （2）①设，则， 易得在上单调递增，在上单调递减， 其图象为 若，，使得， 欲证，即证， 由图不妨设，所以， 又在上单调递减，所以只需证明， 又，即证明， 构造函数，， 则等价于证明在上恒成立， ，因为， 所以，所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 所以得证. ②由题意，， 则，，即，即， 因为恒成立，所以， 又时不等式恒成立，有，解得， 故. 此时，． 由①可知在上是增函数，在是减函数， （Ⅰ）当时，即时，得，即， 令，则，可得， 所以，在上单调递减，在上单调递增． 所以， 所以． （Ⅱ）当时，即，时， ，又，有， 且由①可知存在，使得，， 即， 此时恒有． 综上，的取值范围为． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $