江苏省常州市2025-2026学年下学期期末高二数学自编模拟卷（一）

**基本信息** 2025-2026学年常州高二数学期末模拟卷，覆盖苏教版必修1-8章、必修2第10章及选择性必修1第5章核心内容，通过函数、导数、不等式等知识的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与创新应用能力，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/40分|集合、导数运算、充要条件|基础概念辨析，如第4题结合不等式考查充分必要条件| |多选题|3题/15分|函数性质、三角恒等变换|多维度辨析，如第11题新定义“较大者函数”考查创新思维| |填空题|3题/15分|函数求值、基本不等式|情境化应用，如第14题含参数存在性问题考查模型意识| |解答题|5题/80分|二次函数综合、三角函数性质、导数应用、新定义证明|分层设计，第19题“系超越函数”新定义题突出创新探究，第18题导数单调性讨论体现逻辑推理|

2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（一） 高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C C C B A ACD BC 题号 11 答案 BD 1．A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 2．A 【详解】，A正确． ，B错误． ，C错误． ，D错误． 3．B 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由，，得， 所以. 4．C 【详解】设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出； 当，，此时不一定为0，所以不能推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 6．C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 7．B 【分析】根据给定条件，结合正弦型函数性质求出，再利用诱导公式及二倍角公式化简，并结合二次型函数求出最小值. 【详解】由函数的最小正周期为，得，解得，， 由，得，而 ，则， 因此 ，又，则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 8．A 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 9．ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 10．BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则，即，C正确； 对于D， ，D错误. 11．BD 【分析】对A、B，作差发现存在使，由此可判断A、B；对C，令，即，解得，求出的值域，判断C；对D，由题得关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，得，解不等式求的范围判断D. 【详解】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 12．1 【详解】由题意得，则，解得． 13． 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 14． 【分析】对，使得 ，求出的所有最大值中的最小值，计算即可. 【详解】作出 的图像如图所示： 因为正弦函数的周期为，所以的周期为， 区间的长度为，恰好等于 的半个周期. 成立， 即所有长度为的区间内，的最大值中的最小值，要大于等于. 当区间关于 对称时， 取得最大值中的最小值为 . 要使 成立，需， 又，在单调递减，故：. 15．(1) (2) (3)当时，有唯一零点； 当时，，时，有唯一零点， ，或时，有唯一零点； 若，时，有两个零点； 当时，当或时， 有两个零点； 当时，有两个零点． 【分析】（1）根据不等式的解集为得到、为方程的实根，结合韦达定理确定、、之间的等量关系以及这一条件，然后利用有两个相等的实根得到，从而求出、、的值，最终得到函数的解析式；（2）在的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值，然后利用已知条件列有关参数的不等式，进而求解实数； （3）先求出函数的解析式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将代入函数解析式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出，对的符号进行三中情况讨论，从而确定函数的零点个数，并求出相应的零点． 【详解】（1）已知不等式的解集为，即不等式的解集为， 故、为方程的两根，且， 由韦达定理得：，即； ，即， 由于方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根， 则， 由于，解得， ，， ． （2），二次函数，开口向上，最小值为： ， 由题意知，， 由于，则有，故，解得， ， ，即实数的取值范围是． （3）， ①当时，方程为，方程有唯一实根， 即函数有唯一零点； ②当时，， 令，则， 开口向上，， 当时， ， ，即或， ， 此时对所有恒成立，故， 若，方程必有两个实根，； 时，或， ，即或， 或， 有两个不同实根：，， 当时，，， 的范围为， 当时，，，方程有唯一重根，； 当时，，，方程有两个不同零点： ； 当时，，， 的范围为或， 当或时，，， 方程有唯一重根，； 当或， ，，方程有两个不同零点： ． 16．(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间． （2）利用整体思想求出函数的最大和最小值． 【详解】（1） . 所以函数的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以的最大值为2，最小值为. 17．(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可； （2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性. 【详解】（1）因为角的终边过点，且， 则，， 所以. （2）因为， 又因为，则， 若，则； 若，则. 18．(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值，根据题意解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则，得． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，所以由，得，所以． 当时，的极大值为，则， 解得，因为，所以，则满足题意． 综上，的取值范围是． 19．(1)是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数新定义，证明即可； （2）利用函数新定义，根据函数的单调性证明即可； （3）根据函数的新定义，构造新函数，证明存在唯一的，使得即可. 【详解】（1），则与的定义域都为， 则， 所以是“2系超越函数”． （2）解法一：， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证，即证， 即证． 设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，则，所以． 设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以， 所以，得证． 解法二：， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证，即证，即证． 设，则，易得在上单调递增， 当时，． 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证． （3）要证明当时，存在唯一的实数， 使得， 即证明， 设，则， 若，则，所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以存在唯一的，使得， 即存在唯一的， 因为为“1系超越函数”，所以的定义域为，且对任意，恒成立， 设，则，所以在上单调递增， 即存在唯一的，使得， 因此存在唯一的，使得，即存在唯一的实数， 使得， 即． 【点睛】本题考查新定义与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 2．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，A正确． ，B错误． ，C错误． ，D错误． 3．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同角三角函数的关系，可得的值，根据两角和的正弦公式，整理计算，即可得答案. 【详解】由，，得， 所以. 4．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】设条件：“”，条件：“”，当，，所以能推出； 当，，此时不一定为0，所以不能推出. 所以“”是“”的充分不必要条件. 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】因关于的不等式的解集为， 则，即， 则，即， 所以，解得或． 6．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，，， ， 当且仅当，时，等号成立， 的最小值为． 7．已知函数的最小正周期为，且，则函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合正弦型函数性质求出，再利用诱导公式及二倍角公式化简，并结合二次型函数求出最小值. 【详解】由函数的最小正周期为，得，解得，， 由，得，而 ，则， 因此 ，又，则当时，取得最小值， 所以的最小值为. 8．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，可得，结合的单调性可得，令，利用导数判断的单调性和图象，结合图象分析求解即可. 【详解】由题意可知：函数的定义域为， 令，可得， 令，则， 因为在定义域内单调递增，则， 且，可得， 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 且当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 可得的图象，如图所示： 由题意可知：与只有个交点， 则，解得， 所以a的取值范围是. 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，因， 则，即，C正确； 对于D， ，D错误. 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 【答案】BD 【分析】对A、B，作差发现存在使，由此可判断A、B；对C，令，即，解得，求出的值域，判断C；对D，由题得关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为，得，解不等式求的范围判断D. 【详解】对于A和B，由，故总存在使得， 又，所以不可能始终等于， 即的图象不可能是一条直线，故A错误，B正确； 对于C，当时，，令，即，解得， 当或时，，此时，有， 当时，，此时，有， 综上，的值域为，故C错误； 对于D，由，当时，， 当或时，，， 当时，，， 又当时 ，，所以关于的不等式的解集中有且仅有1个整数，即为， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 三、填空题 12．已知函数，则______． 【答案】1 【详解】由题意得，则，解得． 13．已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【详解】由题意得，， 所以， 当且仅当，，即时，等号成立． 14．已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________． 【答案】 【分析】对，使得 ，求出的所有最大值中的最小值，计算即可. 【详解】作出 的图像如图所示： 因为正弦函数的周期为，所以的周期为， 区间的长度为，恰好等于 的半个周期. 成立， 即所有长度为的区间内，的最大值中的最小值，要大于等于. 当区间关于 对称时， 取得最大值中的最小值为 . 要使 成立，需， 又，在单调递减，故：. 四、解答题 15．已知二次函数，且不等式的解集为． (1)方程有两个相等的实根，求的解析式； (2)的最小值不大于，求实数的取值范围； (3)如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 【答案】(1) (2) (3)当时，有唯一零点； 当时，，时，有唯一零点， ，或时，有唯一零点； 若，时，有两个零点； 当时，当或时， 有两个零点； 当时，有两个零点． 【分析】（1）根据不等式的解集为得到、为方程的实根，结合韦达定理确定、、之间的等量关系以及这一条件，然后利用有两个相等的实根得到，从而求出、、的值，最终得到函数的解析式；（2）在的条件下，利用二次函数的最值公式求二次函数的最小值，然后利用已知条件列有关参数的不等式，进而求解实数； （3）先求出函数的解析式，对首项系数为零与不为零进行两种情况的分类讨论，在首项系数为零的前提下，直接将代入函数解析式，求处对应的零点；在首项系数不为零的前提下，求出，对的符号进行三中情况讨论，从而确定函数的零点个数，并求出相应的零点． 【详解】（1）已知不等式的解集为，即不等式的解集为， 故、为方程的两根，且， 由韦达定理得：，即； ，即， 由于方程有两个相等的实根，即方程有两个相等的实根， 则， 由于，解得， ，， ． （2），二次函数，开口向上，最小值为： ， 由题意知，， 由于，则有，故，解得， ， ，即实数的取值范围是． （3）， ①当时，方程为，方程有唯一实根， 即函数有唯一零点； ②当时，， 令，则， 开口向上，， 当时， ， ，即或， ， 此时对所有恒成立，故， 若，方程必有两个实根，； 时，或， ，即或， 或， 有两个不同实根：，， 当时，，， 的范围为， 当时，，，方程有唯一重根，； 当时，，，方程有两个不同零点： ； 当时，，， 的范围为或， 当或时，，， 方程有唯一重根，； 当或， ，，方程有两个不同零点： ． 16．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为 (2)最大值为2，最小值为 【分析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的周期和单调区间． （2）利用整体思想求出函数的最大和最小值． 【详解】（1） . 所以函数的最小正周期为， 由，得， 所以的单调递增区间为. （2）因为，所以， 所以，所以， 所以的最大值为2，最小值为. 17．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意结合三角函数值的定义分析求解即可； （2）分析可知，根据两角和差公式运算求解，注意讨论的符号性. 【详解】（1）因为角的终边过点，且， 则，， 所以. （2）因为， 又因为，则， 若，则； 若，则. 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若的极大值大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值，根据题意解不等式即可. 【详解】（1）当时，， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则，得． 设，则， 所以在上单调递增． 因为，所以由，得，所以． 当时，的极大值为，则， 解得，因为，所以，则满足题意． 综上，的取值范围是． 19．若函数及其导函数的定义域都为，对任意恒成立，则称为“系超越函数”． (1)试判断函数是否为“系超越函数”． (2)证明：函数为“系超越函数”． (3)若为“系超越函数”，证明：当时，存在唯一的实数，使得． 【答案】(1)是 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用函数新定义，证明即可； （2）利用函数新定义，根据函数的单调性证明即可； （3）根据函数的新定义，构造新函数，证明存在唯一的，使得即可. 【详解】（1），则与的定义域都为， 则， 所以是“2系超越函数”． （2）解法一：， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证，即证， 即证． 设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，则，所以． 设，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以， 所以，得证． 解法二：， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证，即证，即证． 设，则，易得在上单调递增， 当时，． 因为，所以，所以， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证． （3）要证明当时，存在唯一的实数， 使得， 即证明， 设，则， 若，则，所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以存在唯一的，使得， 即存在唯一的， 因为为“1系超越函数”，所以的定义域为，且对任意，恒成立， 设，则，所以在上单调递增， 即存在唯一的，使得， 因此存在唯一的，使得，即存在唯一的实数， 使得， 即． 【点睛】本题考查新定义与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省常州市下学期期末自编模拟卷（一） 高二数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：苏教版（2019）必修1第1章至第8章，必修2第10章，选择性必修1第5章 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题 1．已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若，且，则等于（ ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 6．已知正数a，b满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知函数的最小正周期为，且，则函数的最小值为（   ） A． B． C．0 D．1 8．已知只有2个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．函数与是相同的函数 B．函数的最小值为6 C．若，则 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10．下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 11．给定函数，用表示中的较大者，记为，则（   ） A．的图象可能是一条直线 B． 的图象不可能是一条直线 C．当时，的值域为 D．若关于的不等式的解集中有且仅有个整数，则实数的取值范围是 三、填空题 12．已知函数，则______． 13．已知，，且，则的最小值为________． 14．已知．对，使得成立，则y的最小值为_____________． 四、解答题 15．已知二次函数，且不等式的解集为． (1)方程有两个相等的实根，求的解析式； (2)的最小值不大于，求实数的取值范围； (3)如何取值时，函数存在零点，并求出零点． 16．已知函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)当时，求的最大值和最小值. 17．在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点. (1)求的值； (2)若角满足，求的值. 18．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若的极大值大于，求的取值范围． 19．若函数及其导函数的定义域都为，对任意恒成立，则称为“系超越函数”． (1)试判断函数是否为“系超越函数”． (2)证明：函数为“系超越函数”． (3)若为“系超越函数”，证明：当时，存在唯一的实数，使得． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $