专题03 概率（期末真题汇编，江苏专用）高二数学下学期

**基本信息** 江苏高二下期末概率专题试题汇编，覆盖条件概率、离散型随机变量等5大高频考点，精选多地期末真题，注重情境应用与能力梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|多样|条件概率（如色盲症概率）、正态分布（如成绩分布）|结合生活情境（购物抽奖、体育比赛），真题改编| |填空|多样|超几何分布（如产品抽样）、二项分布（如硬币抛掷）|基础计算与实际应用结合| |解答|多样|离散型随机变量分布列与期望（如保险保费、魔术取球）|综合考查数据处理与模型构建，贴近高考命题趋势|

专题03 概率 5大高频考点概览 考点01 条件概率 考点02 离散型随机变量的分布列、均值与方差 考点03 二项分布 考点04 超几何分布 考点05 正态分布 ( 地 城 考点01 条件概率 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】C 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】BCD 9．【答案】C 10．【答案】BCD 11．【答案】ACD 12．【答案】AC 13．【答案】/ 14．【答案】 15．【答案】 ( 地 城 考点02 离散型随机变量的反比例、均值与方差 ) 1．【答案】C 2．【答案】D 3．【答案】576 4．【答案】4 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】/0.1875 8．【答案】 9．【答案】（1）的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. （2）至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 10． 【答案】(1)(2)分布列见解析， 11． 【答案】(1)①均值为，方差为；②(2)2 12． 【答案】(1)1944(2) 13． 【答案】(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7．(2)．(3) ( 地 城 考点0 3 二项分布 ) 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】 5．【答案】 2 1 6．【答案】 7．【答案】 4 /0.75 8．【答案】 6 /0.25 9．【答案】 或 10．【答案】(1)(2)分布列见解析， 11.【答案】(1)分布列见解析，(2)分布列见解析， 12．【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3).. 13．【答案】(1)25元.(2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 14．【答案】(1)该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率(2)①p的最大值为；②该同学没有希望进入决赛 ( 地 城 考点0 4 超几何分布 ) 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】B 5．【答案】B 6．【答案】3 7．【答案】 8．【答案】/ 9．【答案】/ 10．【答案】 11．【答案】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 12．【答案】(1)的分布列见解析，，(2)（i）；（ii）证明见解析 ( 地 城 考点0 5 正态分布 ) 1．【答案】C 2．【答案】A 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】C 7．【答案】C 8．【答案】D 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】AD 12．【答案】BD 13．【答案】/0.15625 14．【答案】(1)74(2)分布列见解析， 15．【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析；(2). 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率 5大高频考点概览 考点01 条件概率 考点02 离散型随机变量的分布列、均值与方差 考点03 二项分布 考点04 超几何分布 考点05 正态分布 ( 地 城 考点01 条件概率 ) 1．．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【详解】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 【答案】B 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【详解】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 4．（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出事件，根据全概率公式得到，，再利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】设第一次取出红球的事件为，第二次取出的球是白球的事件为， 取到甲袋，乙袋的事件分别为，， 则， ， 则. 故选：C． 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球，利用全概率公式可求得的值. 【详解】记事件、、分别为球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置， 记事件乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球， 由题意可知，，， ，，， 由全概率公式可得 . 故选：A. 6．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件这两名学生在所选课程中有相同课程，事件这两名学生恰好选择了门相同课程， 则，， 由条件概率公式可得. 故选：B. 7．（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题知接收到0有两种情况，发射0或发射1，再利用全概率公式求解即可. 【详解】根据题意接收到0有两种情况，发射0或发射1， 所以接收到0的概率为. 故选：C. 8．（24-25高二下·江苏·期末）（多选）设事件，满足，则（    ） A．与可能独立 B．与可能互斥 C． D． 【答案】BCD 【分析】结合根据根据独立事件概率的性质判断A；举例判断B；结合已知根据条件概率公式和对立事件概率公式判断C；结合选项C，根据全概率公式及条件概率公式、对立事件概率公式判断D. 【详解】若独立，则也相互独立，则与题设矛盾，所以A错误； 当与对立（必互斥）时，满足，成立，所以B正确； 因为，所以，所以， 所以，则，所以C正确； 所以，所以， 所以，D正确． 故选：BCD 9．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分布列的性质进行计算即可. 【详解】根据分布列的性质，因为随机变量的取值为1，2，3， 所以， 因此. 故选：C. 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）（多选）若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用条件概率的计算公式，概率的加法公式，以及对立事件的概率关系，逐项求解，即可得到答案. 【详解】因为，可得，所以， 又因为，可得，所以， 由，代入可得，所以B正确； 又由，可得，所以A错误； 由概率的加法公式，可得，所以C正确； 又由，所以D正确. 故选：BCD. 11．（24-25高二下·江苏南通·期末）（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用古典概型概率公式可判断AC；利用条件概率定义可判断BD. 【详解】设三台车床加工的零件的总数为， 则第1，2，3台车床加工的零件数的分别为， 对于A，，故A正确；     对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 【答案】/ 【分析】根据条件概率的公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 所以. 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 【答案】 【分析】考虑从甲袋中取出的球是白球还是红球，根据全概率公式，即可求得答案. 【详解】设A表示事件“从甲袋取出又放入乙袋中的球是白球”， 则表示事件“从甲袋中取出放入乙袋中的球是红球”， B表示事件“最后从乙袋中取出的球是红球”， 所以，， 故，， 故 ， 故答案为： 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． 【答案】 【分析】记次后落在处概率为与的递推关系，进一步计算得出与的关系进行判断，最后根据等比数列前项和公式得出结果即可； 【详解】记次后落在处概率为，得出 ，， 则， ，， 所以， 所以，即， 所以，数列是等比数列， ， 所以， 故答案为：. ( 地 城 考点02 离散型随机变量的反比例、均值与方差 ) 1．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由概率之和为1可求. 【详解】由分布列可知，解得. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质及期望公式列方程求参数值，即可得. 【详解】离散随机变量可能取的值为1，2，3， （）， 故的数学期望①， 而且② ①②联立方程组，，解得： 则. 故选：D 3．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为________． 【答案】576 【分析】求出的可能取值及各个值对应的概率，再根据均值和方差的计算公式进行计算即可. 【详解】依题意，的可能取值为190，150，110， 且，，， 则的期望， 所以方差. 故答案为：576 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知随机变量，，若，且，则_______. 【答案】4 【分析】利用方差的线性关系公式来求解即可. 【详解】由. 故答案为：4 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 【答案】 【分析】分析可知X所有可能取值为1，2，3，根据题意求相应概率，进而可得期望，再结合方差计算公式即可求解 【详解】由题意可知：的所有可能取值为1，2，3， 可得，， ， 所以. 所以， 所以 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 【答案】 【分析】由题可知，取球次数为可能为，，7，计算出不同取值下的概率，即可得出随机变量的期望值. 【详解】， ， ， . 故答案为： 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 【答案】/0.1875 【分析】首先列出随机变量，再求解分布列，最后求数学期望和方差. 【详解】由条可知，，，， 则， . 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 【答案】 【分析】由已知结合全概率公式即可求解第2天选择套餐的概率；先求出第天选择套餐的概率，再由得解. 【详解】设“第天选择套餐”，则“第天选择套餐”， 根据题意，，，， 由全概率公式，得； 设“第天选择套餐”， 则，，，， 由全概率公式，得， 即， 则， 则. 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】(1)分布列见解析，. (2) 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【详解】（1）的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. （2）至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）先计算出左右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率，根据独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求出答案； （2）计算出左右手所取两球颜色相同的概率，得到的可能取值和对应的概率，得到分布列和数学期望. 【详解】（1）左手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 右手分别取出红色球、黑色球、白色球的概率为， 故两只手中所取的球颜色不同的概率为； （2）的可能取值为0,1,2， 左手所取两球颜色相同的概率为， 右手所取两球颜色相同的概率为， 故， ， ， 分布列如下： 0 1 2 期望为. 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 【答案】(1)①均值为，方差为；② (2)2 【分析】（1）①由题可得抽得的面值可能为15元，10元，5元，分别计算其概率，据此可得期望与相应方差；②分别计算抽取的数的情况下，抽得15元的概率，相加可得答案； （2）设5张代金券面值为1元，2元，3元，4元，5元，由题可得，，分别计算，1，2，3，4情况下，抽得5元的概率，比较后可得答案. 【详解】（1）①设最后抽得代金券的面值为，则可能取值为5,10,15. 先抽取的代金券面值为5的概率为，此种情况下最后抽得10元或15元的概率均为； 先抽取的代金券面值为10的概率为，此种情况下最后抽得15元的概率为； 先抽取的代金券面值为15的概率为，此种情况下最后抽得10元或5元的概率均为. 综上可得，，，. 则抽得代金券的面值的均值为. 方差. ②抽取的数的概率为，此种情况下抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此种情况下由①分析可得抽得15元概率为； 抽取的数的概率为，此时先抽取的两张代金券面值为的概率为，此种情况下抽得15的概率为； 先抽取的两张代金券面值中含有15的概率为，此种情况下抽得15的概率为0. 综上可得：抽得15元代金券的概率为. （2）不妨设张代金券面值为元，元，元，元，元， 由题可得， 当抽取的数，则抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中元，概率为， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中元， 对应的概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有5在4前面时，才能抽中元， 总情况有种，5在4前面和5在4后面的情况相同，均为12种，对应概率为； 参考面值为时，概率为， 此时因剩余代金券中只有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时抽到的概率为； 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，剩余张代金券的全排列数为， 第张抽到的情况有种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为或第张为，第张为时，才能抽中， 第张抽到的情况有种，第张为，第张为的情况有种， 又总情况种，则对应概率为； 参考面值中有，但是没有时，情况有种， 又总情况有种，则概率为， 此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有时，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为 当抽取的数，参考面值有种情况， 参考面值为时，概率为，此时逐个随机抽取剩余代金券， 只有第张为时，才能抽中，因剩余张代金券排列方式有种，则对应概率为； 参考面值中有，但没有，有种情况， 又总情况有种，概率为，此时剩余代金券仅有大于，则总能抽到，对应概率为； 参考面值中有，有种情况，在剩余代金券中抽到的概率为， 综上，当抽取的数，抽到的概率为； 当抽取的数，参考面值有种情况， 当且仅当参考面值为时，可抽到，对应概率为； 综上，抽得最高面值的代金券的最大概率为， 则当时，抽得最高面值的代金券的概率最大. 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 【答案】(1)1944 (2) 【分析】(1)由题意知X的可能取值，分别计算对应的概率值，求出数学期望． (2)计算甲2026年参保的保费大于2000元的概率和甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的，求比值即可． 【详解】（1）X的可能取值为1900，2200，2400，2600，2800； ，， ， 即X的分布列为 X 1900 2200 2400 2800 P 数学期望为： 元 （2）甲2026年参保的保费大于2000元的概率为 甲2026年参保的保费大于2000元，且2027年参保的保费少于2400元的情况包括： 2026年参保的保费为2200元，且2026年的赔偿次数为0； 2026年参保的保费为2400元，且2026年的赔偿次数为 其概率， 故所求的概率为 13．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． 【答案】(1)数组不是“数组”；数组是“数组”，它的“核”为7． (2)． (3) 【分析】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得. （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件，分类讨论求出事件的个数及事件N的个数，利用条件概率公式求解即可. （3）求出随机变量取值，求出对应的概率，利用数学期望公式求出期望表达式，最后利用“倒序相加”. 【详解】（1）根据“β数组”的定义，逐行、逐列进行验证，易得： 数组中不存在这样的数，所以数组不是“数组”； 数组中有且仅有7满足题意，数组是“数组”，它的“核”为7． （2）设数组是“数组”为事件，数组的“核”是4为事件． 若数组是“数组”时，可设它的“核”为，因为的每行有2个元素， 每列有3个元素，且，则． 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 假设一个“数组”中同时存在两不同个“核”和． 若和处于同一行或处于同一列时，根据定义则必有，这与和不同矛盾； 若和不同行也不同列时，不妨设， 根据定义可得：， 所以，同样产生矛盾，所以“数组”的“核”是唯一的． 所以． 答：是“数组”的概率为． （3）根据题意的可能取值为（共个取值）， 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： …… 当时，此时“数组”的个数为： 当时，此时“数组”的个数为： 由这些计数无重复，故的元素个数为 注意到以上计数具有对称性，即： …… 所以利用“倒序相加”法我们有： ，，所以． ( 地 城 考点0 3 二项分布 ) 1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】直接由二项分布的期望公式计算即可. 【详解】若随机变量，则. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】首先根据题意求出的值，然后根据二项分布的方差公式求出方差即可. 【详解】因为2次试验中恰好发生1次的概率为， 所以，化简得. 解得或. 因为随机变量，所以. 当时，； 当时，. 综上，. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定的可能取值，再求随机变量取各值的概率, 根据期望公式方差公式求 ，判断随机变量服从二项分布，根据二项分布的均值、方差公式计算，由此可得结论. 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 所以，， ， 所以， . 乙每次抽到选择题的概率为，由条件可得 根据二项分布的均值方差公式得：， ， 所以，. 故选：D. 4．（24-25高二下·江苏·期末）已知，，，则______. 【答案】 【分析】先根据二项分布的期望公式求出n，然后利用二项分布的方差公式求出，进而利用方差的性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以，所以， 又，所以. 故答案为： 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 【答案】 2 1 【分析】利用二项分布的数学期望与方差公式计算即得. 【详解】一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为，且每次是否正面朝上相互独立，所以， 所以，. 故答案为：2；1. 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知随机变量，随机变量，则________. 【答案】 【分析】利用二项分布的方差公式求出，再由方差的性质计算. 【详解】因为，所以， 故. 故答案为：. 7．（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 4 /0.75 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 【答案】 6 /0.25 【分析】第一个空，假设为向右的次数，因为服从二项分布，易得，根据和的关系，可得； 第二个空，假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，根据题干可得，由条件概率可得. 【详解】假设为向右的次数，则服从二项分布，故； 此时质点对应的数，所以. 假设“有且仅有一次经过1”为事件，“质点仅在第1秒位于1”为事件，“质点仅在第3秒位于1”为事件，“质点仅在第5秒位于1”为事件，则两两互斥，则， “质点仅在第1秒位于1”则质点的走法为（第六步不受影响），（第五六步不受影响），（第六步不受影响），（第五六步不受影响），； “质点仅在第3秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； “质点仅在第5秒位于1” 则质点的走法为（第六步不受影响），（第六步不受影响），； 则. 因为，所以，所以三种情况下, 事件“”的情况有：，，，，，则， 则. 故答案为：6；. 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 【答案】 或 【分析】分析抛一次骰子得1分以及得3分的概率，从而计算最终得分的概率，计算期望值；设得1分的次数为，计算得1分次数为次时总得分为分的概率，列不等式组计算概率最大时的值，从而求出的值. 【详解】抛一次骰子得1分的概率为，得3分的概率为， 的可能取值为，，， ， 则随机变量的期望是； 记得1分的次数为，则得3分的次数为， 因此抛掷50次骰子，所得总分为， 则得1分的次数为次时总分得n分的概率为，，若取最大，则 ，可得， 因为，所以，或， 当时，， 当时，， 故答案为：①；②或. 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据超几何分布的概率计算公式，可得答案； （2）根据二项分布的概率计算公式以及均值公式，可得答案. 【详解】（1）记“这三箱中恰有两箱是一等品”为事件， 则． （2）由题意，任取一个，取到一等品的概率为， 因为可能的取值为0，1，2，3，且服从二项分布 所以，， ，， 所以随机变量的分布列如下： 数学期望． 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 【答案】(1)分布列见解析， (2)分布列见解析， 【分析】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求出每次都中奖的概率为，可知，由二项分布可得出随机变量的分布列，利用二项分布的方差公式可求得的值； （2）分析可知，中奖次数的可能取值为、、，求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值. 【详解】（1）第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为，因为两次中奖相互独立，所以中奖次数，的可能取值为、、， 则，，， 则的分布列为 因为，所以的方差为. （2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为、、， 则，， ， 所以，随机变量的分布列为 所以的期望为. 12．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 【答案】(1)； (2)分布列见解析； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式列式计算. （2）求出的可能值，结合（1）中概率，利用二项分布求出概率分布列. （3）由（1）的信息，利用条件概率公式求解. 【详解】（1）设事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒为型包装，事件表示盲盒含限量版商品， 则，， 所以每个盲盒含限量版商品的概率. （2）由（1）知，1个盲盒含限量版商品的概率为，随机变量的可能值为，， ，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 5 （3）抽中的某个盲盒含限量版商品，该盲盒外层包装为A型的概率为. 13．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 【答案】(1)25元. (2)3号球槽中落入19或20个小球的概率最大 【分析】（1）首先求的分布列，再根据的分布列求的分布列，并计算均值，从而比较成本，确定定价； （2）首先由（1）得，小球落入3号球槽的个数为，判断的单调性，从而确定概率的最大值. 【详解】（1）的取值可能为. ， . 因为，所以的取值可能为. ， . 的分布列为 0 5 10 15 ， 则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为4.7元，又该商品成本价是20元， 所以该商品的最低定价约为25元. （2）由（1）得. 进行63次试验，设小球落入3号球槽的个数为，则. . 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即. 所以当时，，此时这两项概率均为最大1. 故3号球槽中落入19或20个小球的概率最大. 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行6轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．6轮比赛中，至少获得5次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准． (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了， ①设该同学赛前强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为p，请写出p关于，的表达式，并求p的最大值； ②以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ 【答案】(1)该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率 (2)①p的最大值为；②该同学没有希望进入决赛 【分析】（1）根据题意，分类讨论所有情况，再求其概率之和即可; （2）①由题可得，根据题意可得，进而计算强化训练后该同学某一轮可获得巧手奖的概率的最大值；②再根据6轮比赛中获得巧手奖的次数服从二项分布，求得数学期望，结合题意可判断结论. 【详解】（1）由题可知，所有可能的情况有： ①规定作品入选1幅，创意作品入选2幅的概率， ②规定作品入选2幅，创意作品入选1幅的概率， ③规定作品入选2幅，创意作品入选2幅的概率， 故该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率. （2）①强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为， 则， 由已知可得，强化训练后该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为： ， 因为且， 也即，即， 故可得：， ， 所以， 令，则， 当时，p取得最大值，最大值为； ②该同学在6轮比赛中获得“巧手奖”的次数， 所以，故该同学没有希望进入决赛． ( 地 城 考点0 4 超几何分布 ) 1．（24-25高二下·江苏·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由超几何分布的均值公式即可求解. 【详解】由题可得服从超几何分布，且， 所以. 故选：D 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合超几何分布分析求解即可 【详解】根据题意，恰有1个不合格品的概率为. 故选：B. 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】方法一：求出的可能取值和对应的概率，利用期望公式进行求解； 方法二：服从超几何分布，运用超几何分布的期望公式计算即可. 【详解】方法一：显然的可能取值为0,1,2,3， 其中，，， ， 故； 方法二：服从超几何分布，由超几何分布的期望公式可得. 故选：B. 4．（24-25高二下·江苏·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用超几何分布求出，再利用最大值情况列出不等式求解. 【详解】依题意，服从超几何分布，则， 当取得最大值时，，即， 解得，，所以. 故选：B 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】由题意可得随机变量服从二项分布，随机变量服从超几何分布，进而根据二项分布求，根据超几何分布求，即可得结果. 【详解】由题意可知：，则，， Y的可能取值为0，1，2， 则，，， 可得， ， 所以. 故选：B. 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）设随机变量，则X的均值为______． 【答案】3 【分析】根据超几何分布期望公式得解. 【详解】由超几何分布的期望公式， ， 故答案为：3. 7．（24-25高二下·江苏南通·期末）一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 【答案】 【分析】根据超几何分布求概率公式计算即可求解. 【详解】由题意根据超几何分布的概率公式，可知. 故答案为： 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 【答案】/ 【分析】由题意知X的可能取值，计算所求的概率值，写出X的概率分布，求出数学期望值. 【详解】从袋中1次随机摸出2个球，记白球的个数为X，则X的可能取值是0，1，2； 则， ， ， 随机变量X的概率分布为； X 0 1 2 P 所以数学期望. 故答案为：. 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【分析】依题意可知日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110，根据超几何分布的概率公式求出对应的概率； 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 10．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则______，______． 【答案】 【分析】根据题意，随机变量服从超几何分布，求出分布列，再由期望公式求解即可；又，即可得解. 【详解】根据题意，随机变量服从超几何分布， ，， ，， ，， X的概率分布如下表所示， X 0 1 2 3 4 5 P 由表可知，随机变量X的均值为 ； . 故答案为：； 11．（24-25高二下·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由条件判断服从二项分布，运用概率计算公式计算即得分布列 ； （2）先由条件判断服从超几何分布，由概率计算公式计算即得分布列. 【详解】（1）若有放回摸球，每次摸到红球的概率为，且各次试验之间的结果是独立的， 因此. 所以. 即， ，. 则的分布列为： 0 1 2 （2）若不放回摸球，则服从超几何分布， 故， ， ，. 则的分布列： 0 1 2 12．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． 【答案】(1)的分布列见解析，， (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据超几何分布和二项分布，分别求出甲、乙的分布列，计算期望. （2）（i）根据条件概率公式，由（1）中各事件概率，求出条件概率. （ii）根据甲乙通过项目数的分布列，分别求出甲乙两人合格和优秀时的概率，根据其单调性，列出不等式，证明结果. 【详解】（1）甲可能通过项目数，服从超几何分布， 则X的概率分布： ， ， X的数学期望． 乙通过项目数符合二项分布，即，， 则Y的概率分布： ，， ，， Y的数学期望． （2）（i）因为， 所以运动员甲考核“达标”时，运动员甲考核“优秀”的概率是． （ii）甲考核“达标”概率，记乙考核“达标”概率为， 则， 可知， 当时，，在上单调递增， 又，所以． 甲考核“优秀”概率，记乙考核“优秀”概率为， 则在上单调递增， 又，所以． 综上，． ( 地 城 考点0 5 正态分布 ) 1．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分布均值的含义，利用正态曲线的对称性求解即可． 【详解】由随机变量，且， 则，求得，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性可求概率. 【详解】因为，故， 故， 故选：A. 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性，即可求解. 【详解】由正态分布曲线的性质可知，正态分布密度曲线关于对称， 所以，得. 故选：C 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如果随机变量，且，那么的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性和性质求出某区间的概率. 【详解】因为随机变量，， 所以. 根据正态分布的对称性可得. 所以. 故选：A. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量服从正态分布，若，则c的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正态分布的对称性即可计算求解. 【详解】随机变量服从正态分布，且， 由正态分布的对称性可得，即得. 故选：A. 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用正态分布的对称性求出概率. 【详解】随机变量，由，得， 所以. 故选：C 8．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A．－2 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 9．（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 【答案】D 【分析】应用正态分布的性质判断A，B，应用概率值及对称性计算对应概率值判断C，D. 【详解】某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布． 该地小麦的平均株高约为cm，A选项错误； 该地小麦株高的方差约为，B选项错误； 因为，该地株高超过110cm的小麦约占，C选项错误； 因为，该地株高超过130cm的小麦约占， 则该地株高低于130cm的小麦约占，D选项正确. 故选：D. 10．（24-25高二下·江苏扬州·期末）某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（    ） 参考数据：若，则，． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正态分布的性质结合条件即得. 【详解】由随机变量服从正态分布，，， 所以 同理； 由随机变量服从正态分布，， 所以 . 故选：A. 11．（24-25高二下·江苏泰州·期末）（多选）设随机变量，则（   ） （若随机变量，则） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】明确正态分布关键参数，利用正态分布的对称性和特殊区间求概率值即可. 【详解】选项A，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，由正态分布的对称性，，，所以，选项A正确； 选项B，对于随机变量，可知，，根据正态分布性质，则，可得，故，选项B错误； 选项C，根据正态分布的对称性，，，所以，选项C错误； 选项D，由知，由知，因此，选项D正确. 故选：AD. 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）设随机变量，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 【答案】BD 【分析】由正态分布的性质判断ABC，结合函数单调性的定义判断D. 【详解】对于A，随机变量，则随机变量的方差为1，均值为0， 所以正态分布曲线关于轴对称，则，错误； 对于B，， ， 所以，即，正确； 对于C，， ，错误； 对于D，，且随机变量， 则函数在上是单调增函数，正确． 故选：BD 13．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 【答案】/0.15625 【分析】首先利用正态分布的性质求出考生成绩高于90的概率，然后可求出至少2名考生成绩高于90的概率. 【详解】因为，服从正态分布， 所以，所以. 所以从3名考生中，至少有2名考生的成绩高于90的概率为： . 故答案为：. 14．（24-25高二下·江苏·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 【答案】(1)74 (2)分布列见解析， 【分析】（1）依据，利用正态分布的对称性计算即可； （2）先由题意得到随机变量的取值，并分别计算相应的概率，然后列出分布列，并按期望公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，则， 所以； （2）由于和的频率之比为：， 故抽取的10人中，和分别为：2人，4人，4人， 随机变量的取值可以为， ， 的分布列为： 0 1 2 3 15．（24-25高二下·江苏连云港·期末）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 【答案】(1)（i）；（ii）理由见解析； (2). 【分析】（1）（i）根据已知，应用特殊区间的概率及正态分布的对称性求；（ii）根据（i）结果及已知小概率事件的定义得结论； （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，且，应用特殊区间的概率求得，进而有并应用二项分布的方差公式求方差. 【详解】（1）（i）依题意得，，所以. 设，因为， 则； （ii）由（i）得. 因为小张计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克，且， 所以，则小张购买的这25箱苹果质量的平均值为4938.77克属于小概率事件， 小概率事件基本不会发生，这就是小张举报该超市的理由. （2）设该大型超市所出售的每箱苹果的质量为，则. 设，由， 得 ， 根据题意，得随机变量，故. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率 5大高频考点概览 考点01 条件概率 考点02 离散型随机变量的分布列、均值与方差 考点03 二项分布 考点04 超几何分布 考点05 正态分布 ( 地 城 考点01 条件概率 ) 1．．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机事件、，，，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏南通·期末）某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（   ） A．0.30 B．0.26 C．0.24 D．0.20 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球，先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球，则第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某足球队球员乙能够胜任前锋、中锋和后卫三个位置，且出场率分别为、、，当乙球员担当前锋、中锋以及后卫时，球队输球的概率依次为、、．当乙球员参加比赛时，该球队这场比赛输球的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某高校两名学生准备从、、、、、这门选修课程中任选门，则这两名学生在所选课程中有相同课程的条件下，恰好选择了门相同课程的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏苏州·期末）在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．由于随机因素的干扰，发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．假设发送信号0和1是等可能的，则接收到0的概率为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江苏·期末）（多选）设事件，满足，则（    ） A．与可能独立 B．与可能互斥 C． D． 9．（24-25高二下·江苏泰州·期末）已知随机变量的取值为1，2，3，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高二下·江苏盐城·期末）（多选）若随机事件A，B满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·江苏南通·期末）（多选）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（   ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）（多选）有3台车床加工同一型号的零件，第1，2，3台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工”，事件“零件为次品”，则（   ） A． B． C． D． 13．（24-25高二下·江苏南京·期末）设，是一个随机试验中的两个随机事件，且，，，则______． 14．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球、先从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中随机取1个球，则该球是红球的概率为_____. 15．（24-25高二下·江苏南京·期末）有一只青蛙在正方形池塘的顶点ABCD之间跳跃，假设青蛙它跳向相邻顶点的概率为，跳向不相邻顶点的概率为，若青蛙一开始位于顶点A处，记青蛙跳跃n次后仍位于顶点A上的概率为，则______． ( 地 城 考点02 离散型随机变量的反比例、均值与方差 )1．（24-25高二下·江苏扬州·期末）已知随机变量X的概率分布如下 X 0 P a 则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏·期末）设离散型随机变量可能取的值为，且，又的数学期望，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏·期末）某果园有单棵产量为95千克的“高产果树”3棵，有单棵产量为55千克的“低产果树”2棵，从这5棵果树中任意抽取2棵，则2棵果树的产量之和的方差为________． 4．（24-25高二下·江苏连云港·期末）已知随机变量，，若，且，则_______. 5．（24-25高二下·江苏徐州·期末）甲乙两个袋子，甲袋有1白2黑3个球，乙袋有2个白球.现从两袋各取1球，交换放入甲乙两袋.如此交换两次后，甲袋中的白球个数记作，则______. 6．（24-25高二下·江苏盐城·期末）一个不透明的袋子有除颜色不同外，大小质地完全相同的球，其中有个红球、个白球和个黑球，逐个不放回地随机取球，直至剩下只有一种颜色的球时游戏结束，记游戏结束时取球次数为，则________________． 7．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量，则________． 8．（24-25高二下·江苏淮安·期末）学校食堂为了减少排队时间，从开学第1天起，每餐只推出即点即取的套餐和套餐．某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，则第2天选择套餐的概率为_____，设开学4天后，他累计选套餐的天数为，则_____． 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. (1)若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； (2)若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）2025年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现．魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术《守岁共此时》，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4．乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球． (1)若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率； (2)若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手完成各取两球为两次取球）的成功取法次数的随机变量，求的分布列及． 11．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）某超市为吸引顾客，组织购物抽奖活动，抽奖机中有种不同面值的代金券可抽，抽得的代金券可在本超市消费，抽奖规则如下： 顾客先在抽奖机上随机抽取一个数（）． （Ⅰ）当时，随机抽得一张代金券； （Ⅱ）当时，随机抽取张面值不同的代金券，但这些代金券都不能用于消费．仅供参考，随后从剩下的（）张代金券中逐个随机抽取，一旦出现比这张代金券的面值都高的，即抽得该张代金券；若后面没有比这种的面值都高的，则抽得最后一张代金券． 某位顾客购物后参加抽奖活动． (1)当，且三张代金券的面值分别为元，元，元时. ①若其抽取的数，求其抽得代金券的面值的均值和方差； ②求其抽得元代金券的概率. (2)当，顾客抽取（）为何值时，抽得最高面值的代金券的概率最大？ 12．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知某险种首次参保的保费为2000元，保险期为1年.在总体中抽取1000单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表 赔偿次数 0 1 2 3 4 单数 900 60 20 10 10 表1 用频率估计概率，解答下列问题. 已知下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为a元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表2所示. 上一个保险期的赔偿次数 0 1 2 3 4 下一个保险期的保费 表2 已知甲2025年首次参保，此后计划每年都参保. (1)估计甲2026年参保第二个保险期的保费为X元，求X的数学期望； (2)求在甲2026年参保的保费大于2000元的前提下，甲2027年参保第三个保险期的保费少于2400元的概率. 13．（24-25高二下·江苏淮安·期末）在Python编程语言中，数组可以看作是行、列的数表，第行、第列的数记为，例如表示第2行、第3列的数．如果数组中存在，对任意的，都有，且成立，则称该数组为“数组”，满足条件的记为“数组”的“核”． (1)若数组与数组以数表形式表示如下： 判断数组与数组是否为“数组”，如果是，求出它的“核”； (2)已知数组是一个元素互不相同的数组，元素，，在数组是“数组”的条件下，求它的“核”是4的概率； (3)现将这个元素全部填入数组中，满足是“数组”的全体构成一个集合，从集合中任取一个元素，记它的“核”为，求随机变量的数学期望． ( 地 城 考点0 3 二项分布 )1．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，则（   ） A． B． C． D．5 2．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）在重伯努利试验中，每次试验发生的概率均为，且2次试验中恰好发生1次的概率为，若随机变量，则的方差为（    ） A． B． C．1 D．2 3．（24-25高二下·江苏镇江·期末）已知条试题中有条选择题，甲无放回地依次从中抽取条题，乙有放回地依次从中抽取条题，甲､乙每次均抽取一条试题，抽出的条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·江苏·期末）已知，，，则______. 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，表示“正面朝上”出现的次数，则___________，_____________. 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）已知随机变量，随机变量，则________. 7．（24-25高二下·江苏南通·期末）随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移动一个单位，移动6次后质点对应的数为，则______，在有且仅有一次经过1的条件下，事件“”的概率是______． 9．（24-25高二下·江苏常州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，并制定如下规则：当点数为时得1分，当点数为1，6时得3分.多次抛掷这枚骰子，将每次得分相加的结果作为最终得分.若抛掷2次骰子，最终得分为，则随机变量的期望是__________；若抛掷50次骰子，记得分恰为分的概率为，则当取最大值时的值为__________. 10．（24-25高二下·江苏南京·期末）某公司生产一种电子产品，每批产品进入市场之前，需要对其进行检测，现从某批产品中随机抽取10箱进行检测，其中有6箱为一等品． (1)现从这10箱产品中随机抽取3箱，求这三箱中恰有两箱是一等品的概率； (2)用频率估计概率，在这批产品中随机抽取3箱，用表示抽到一等品的箱数，求的分布列和数学期望． 11．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放个大小相同的小球，其中个为红色，个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖． (1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和方差； (2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望． 12．（24-25高二下·江苏盐城·期末）某电商平台促销盲盒商品，盲盒的外层包装分A、B两种类型．外层包装为A型的概率为，每个A型盲盒中含限量版商品的概率为；外层包装为B型的概率为，每个B型盲盒中含限量版商品的概率为．小王一次性随机购买5个盲盒（假设各盲盒包装类型及所含商品相互独立） (1)求每个盲盒含限量版商品的概率； (2)设随机变量X为小王抽中含限量版商品的盲盒数量，求X的概率分布； (3)若抽中的某个盲盒含限量版商品，求该盲盒外层包装为A型的概率． 13．（24-25高二下·江苏镇江·期末）高尔顿板又称豆机､梅花机等，是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型.如图所示的高尔顿板为一块木板自上而下钉着6层圆柱形小木块，最顶层有2个小木块，以下各层小木块的个数依次递增，各层小木块互相平行但相互错开，小木块之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块透明玻璃.让小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落过程中与层层小木块碰撞，且等可能向左或者向右滚下，最后落入高尔顿板下方从左至右编号为的球槽内.    (1)某商店将该高尔顿板改良成游戏机，针对某商品推出促销活动.凡是入店购买该商品一件，就可以获得一次游戏机会.若小球落入号球槽，该商品可立减元，其中.若该商品的成本价是20元，从期望的角度考虑，为保证该商品总体能盈利，求该商品的最低定价.（结果取整数） (2)将63个小球依次从高尔顿板上方的通道口落下，试问3号球槽中落入多少个小球的概率最大？ 0 5 10 15 14．（24-25高二下·江苏南京·期末）为了弘扬中国优秀的传统文化，某校将举办一次剪纸比赛，共进行6轮比赛，每轮比赛结果互不影响．比赛规则如下：每一轮比赛中，参赛者在30分钟内完成规定作品和创意作品各2幅，若有不少于3幅作品入选，将获得“巧手奖”．6轮比赛中，至少获得5次“巧手奖”的同学将进入决赛．某同学经历多次模拟训练，指导老师从训练作品中随机抽取规定作品和创意作品各4幅，其中有3幅规定作品和2幅创意作品符合入选标准． (1)从这8幅训练作品中，随机抽取规定作品和创意作品各2幅，试预测该同学在一轮比赛中获“巧手奖”的概率； (2)以上述两类作品各自入选的频率作为该同学参赛时每幅作品入选的概率．经指导老师对该同学进行赛前强化训练，规定作品和创意作品入选的概率共提高了， ①设该同学赛前强化训练后，规定作品入选的概率为，创意作品入选的概率为，该同学某一轮可获得“巧手奖”的概率为p，请写出p关于，的表达式，并求p的最大值； ②以获得“巧手奖”的次数均值为参考，试预测该同学能否进入决赛？ ( 地 城 考点0 4 超几何分布 )1．（24-25高二下·江苏·期末）一包装箱内有12件产品，其中有10件合格品.现从中随机取出4件，设取出的4件产品中有件合格品，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一批零件共有10个，其中有2个不合格品，从这批零件中随机抽取2个进行检测，则恰有1个不合格品的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·江苏徐州·期末）一个盒子中装有4个白色乒乓球和5个橘黄色乒乓球.现从盒子中任取3个乒乓球，记取出的3个乒乓球中颜色为橘黄色的个数为，则（   ） A．1 B． C． D．2 4．（24-25高二下·江苏·期末）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有3个，三等品有1个．现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（24-25高二下·江苏泰州·期末）盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（ ） A．， B．， C．， D．， 6．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）设随机变量，则X的均值为______． 7．（24-25高二下·江苏南通·期末）一批产品共有件，其中件正品，件次品，现从件产品中一次性抽取件，设抽取出的件产品中次品数为，则 ___________ 8．（24-25高二下·江苏苏州·期末）口袋中装有两个红球和三个白球，从中任取两个球，用X表示取出的两个球中白球的个数，则X的数学期望______. 9．（24-25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 10．（24-25高二下·江苏泰州·期末）一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，用随机变量表示取到的红球数，则______，______． 11．（24-25高二下·江苏连云港·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出2个球作为样本，用X表示样本中红球的个数． (1)若有放回摸球，求X的分布列； (2)若不放回摸球，求X的分布列． 12．（24-25高二下·江苏扬州·期末）甲、乙两名运动员将参加体育考核．考核规则为：从6个不同体育项目中随机抽取3个，甲、乙将在这3个项目中分别进行测试．已知6个项目中，有4个是甲擅长的，必定通过测试，另有2个是甲不擅长的，必定无法通过测试；6个项目中，乙每个项目通过测试的概率均为p，且各次测试相互独立．在本次测试的3个项目中，记甲、乙通过测试的项目个数分别为X、Y． (1)若，分别写出随机变量X和Y的概率分布，并求它们的数学期望； (2)规定：若3个项目中至少有2个项目通过测试，则考核“达标”，若3个项目全部通过测试，则考核“优秀”． （i）当运动员甲考核“达标”时，求运动员甲考核“优秀”的概率； （ii）已知时，两位运动员考核“达标”的概率相等，时，两位运动员考核“优秀”的概率相等．求证：． ( 地 城 考点0 5 正态分布 )1．（24-25高二下·江苏南通·期末）已知随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高二下·江苏徐州·期末）若随机变量，且，则（   ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 3．（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（24-25高二下·江苏宿迁·期末）如果随机变量，且，那么的值为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.8 5．（24-25高二下·江苏南京·期末）设随机变量服从正态分布，若，则c的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（24-25高二下·江苏连云港·期末）如果随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知随机变量，若，则（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 8．（24-25高二下·江苏常州·期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数（    ） A．－2 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高二下·江苏·期末）某小麦种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高(单位：cm)近似服从正态分布．已知时，有，则下列说法正确的是（   ） A．该地小麦的平均株高约为10cm B．该地小麦株高的方差约为10 C．该地株高超过110cm的小麦约占 D．该地株高低于130cm的小麦约占 10．（24-25高二下·江苏扬州·期末）某所高中高一、高二、高三学生人数占全校总人数的比分别为，和．在某次期中考试中，各年级数学成绩均近似服从正态分布：高一成绩，高二成绩，高三成绩，现从全校学生中随机抽取一名学生，记其成绩为X，则最接近的值是（    ） 参考数据：若，则，． A． B． C． D． 11．（24-25高二下·江苏泰州·期末）（多选）设随机变量，则（   ） （若随机变量，则） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·江苏苏州·期末）（多选）设随机变量，则（   ） A． B． C． D．在上单调递增 13．（24-25高二下·江苏镇江·期末）某次调研测试中考生成绩X服从正态分布若，则从参加这次考试的考生中任意选取3名考生，至少有2名考生的成绩高于90的概率为_________． 14．（24-25高二下·江苏·期末）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日，某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.    (1)若年轻人每天阅读时间近似地服从正态分布，求； (2)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数的分布列和数学期望. 附参考数据：若，则①；②；③ 15．（24-25高二下·江苏连云港·期末）小张每周都去同一家商店购买一箱苹果，该商店的售货员说出售的每箱苹果的平均质量是5000克，上下浮动不超过100克.根据售货员的表述转化为数学理想模型是该商店所出售的每箱苹果的质量服从期望为5000克，标准差为100克的正态分布. (1)若随机变量服从正态分布，从的所有取值中随机抽取个数据，记这个数据的平均值为，则随机变量服从正态分布. （i）若该售货员所说属实，则小张从该商店随机购买25箱苹果，记这25箱苹果的平均质量为，求. （ii）若小张每周都会将从该商店买来的苹果按箱进行称重并记录，25周后，得到的数据都在内，计算出这25箱苹果质量的平均值为4938.77克.小张举报了该商店，从概率的角度说明小张举报该商店的理由. (2)若该售货员所说属实，则现从该商店随机抽取100箱苹果，记这100箱苹果中质量在内的箱数为，求的方差.（结果保留两位小数） 附：①若随机变量服从正态分布，则，，； ②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件，小概率事件基本不会发生. ③参考数据：，，， ， 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $