微专题01 平行四边形的性质与判定（专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

微专题01 平行四边形的性质与判定 题型01 平行四边形性质的单一及综合运用 考向本质：考查“知形求量”——即已知四边形是平行四边形，求其未知的角、边、对角线长度或取值范围。 解题方法： 1. 边角关系转化： (1) 若已知角度，利用“邻角互补、对角相等”快速求解；若已知边长，利用“对边相等”直接转化。 (2) 隐藏考点：常结合三角形外角的性质、“8”字形或“A”字形模型求角度差。 2. 对角线互相平分的妙用： (1) 遇到中点（如OA=OC），立刻联想“AO+BO>AB”（三角形两边之和大于第三边），用于求线段和的取值范围。 (2) 涉及周长时，巧用“AB+BC=×周长”简化计算。 3. 答题模板：标记已知边/角/对角线信息 →调用对应性质（边等/角相等/对角线平分） →结合三角形三边关系或方程思想求解未知量 →验证结果是否符合几何意义。 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，中，对角线与交于点交于点E，的周长是，则的周长是（    ）cm． A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得O是的中点，结合可说明为线段的中垂线，则，然后求出的周长即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴O是的中点． 又∵， ∴为线段的中垂线， ∴， 又∵的周长， ∴的周长， 又∵▱ABCD 的周长为， ∴， ∴的周长． 2．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是（   ） A． B． C．14 D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质，证明，得出，从而将四边形的周长转化为；当时，最短，周长最小，利用直角三角形的性质求出的最小值即可解答． 【详解】解：四边形 是平行四边形， ， ， 在 和中， ， ， ， 四边形的周长为， ， 四边形的周长， 当取最小值时，四边形的周长最小， 当时，最短，此时等于平行线间的距离， 如图，过点作于点，则的最小值等于的长， 则， ∵， ∴， ∴， ， 的最小值为， 四边形周长的最小值为． 3．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，以及点的坐标的特征进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，． ，， ，轴． 又， 点的坐标为，即． 4．（2026·山西晋中·一模）如图，中，平分交边于点．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质、角平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到、，结合角平分线的性质得到，进而得到，根据等量代换得到，据此解答即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 、， ， 平分， ， ， ， ， 故选项B一定成立． 5．（2026·辽宁阜新·一模）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 6．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，设M是一边上的任意一点，，则的面积为_____________. 【答案】20 【分析】过点M作，交CD于点N，先根据平行四边形的判定可得四边形和四边形都是平行四边形，再根据平行四边形的性质即可得． 【详解】解：如图，过点M作，交于点N， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形和四边形都是平行四边形， ， ． 题型02 平行四边形判定定理的选用与证明 考向本质：考查“由量证形”——即通过证明边、角、对角线的特定关系，判定四边形为平行四边形。这是几何证明题的绝对主力。 解题方法： 1. 条件盘点，寻找“缺口”： 2. 读题时圈出已知条件（如一组对边平行、一条对角线被平分），对照五大判定定理，找出最易证明的“缺失条件”。 3. 判定优选原则（破题关键）： (1) 见“中点/中线”：首选“对角线互相平分”。 (2) 见“平行”：首选“一组对边平行且相等”。 (3) 见“等腰三角形底角”：首选“两组对角分别相等”。 4. 答题模板：梳理已知条件和图形隐含信息 →选定最简便的判定定理 →严谨书写证明过程（注明三边/两角/对角线关系） →下结论（∴四边形ABCD是平行四边形）。 1．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）如图，在中，点E是边的中点，连接并延长，与DC的延长线交于F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴为等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是：． 2．（25-26八年级下·湖南湘潭·期中）如图，是的中线，延长至E，使得，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若的面积是2，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明结论； （2）根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再由平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 3．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）如图，在四边形中，平分． (1)尺规作图：作的平分线交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据（1）中作出的图，求证：四边形为平行四边形．（请补全下面的证明过程，将答案写在答题卡对应的番号后，不写证明理由） 证明： ___________①， ， ___________②， 平分， ， ， ， 同理可得， ， ___________③ ， ．即． 又___________④， 四边形为平行四边形． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图步骤作图即可； （2）根据题干证明思路，结合平行四边形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∵， ∴．即． 又∵， ∴四边形为平行四边形． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，在中，E，F是对角线BD上的两点，且，求证：四边形为平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定．连接交于点，利用平行四边形对角线互相平分得到，，再结合推出，从而证明四边形的对角线互相平分． 【详解】证明：连接交于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 即 ， ，， 四边形是平行四边形． 5．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）如图．已知点，是对角线上的两个点，且，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】连接交于点，由平行四边形的性质可得，，结合已知可得，即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明． 【详解】证明：连接交于点， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ， 即， ， ∴四边形是平行四边形． 6．（25-26八年级下·广东东莞·期中）如图，四边形对角线交于点，且为中点，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)证明过程见解析． 【分析】（1）由平行线的性质，可得，，由已知可得，可得，即可证得结论； （2）由，可得，可得四边形的对角线互相平分，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵，四边形的对角线交于点， ∴四边形的对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形． 题型03 平面直角坐标系中平行四边形的性质与判定 考向本质：考查坐标运算与几何性质的深度融合。多以选择题、填空题形式出现，求未知顶点的坐标。 解题方法： 核心公式储备：中点坐标公式：若A,C，则中点O。 两类常见考法： 1. 知三求一：已知三个顶点，利用“对角线中点重合”或“对边平行且相等”列方程求解。 2. 点的存在性问题：分类讨论哪条边作为对角线，分别套用中点公式求解。 3. 答题模板：标出已知点的坐标 →设未知点坐标为→根据题意选择“中点公式”或“平移规律”列出方程组 →解方程组求出坐标 →画出草图验证合理性。 1．（24-25八年级下·四川泸州·月考）在平面直接坐标系中，平行四边形的坐标分别为，，，求点的坐标（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形的关系，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 根据题意结合平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ， 的横坐标是，纵坐标是， ．　 故选：A． 2．（2026·湖北·一模）在坐标系中的位置如图，点的坐标为，则的面积等于______． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的值，再利用平行四边形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵点的坐标为 ∴，， ∴． 3．（25-26八年级上·全国·单元复习）如图，在平面直角坐标系中，，，，在坐标系中找一点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标是_________． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质，平行四边形的性质等知识点，解题的关键是掌握①数形结合思想的运用，②分类讨论方法的运用．根据题意画出符合条件的三种情况，根据图形，利用平行四边形的性质和平移的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ①时， ∵， ∴，即； ②， ∵ ∴，即； ③， ∵，， ∴，即 故D点坐标为或或 故答案为：或或． 4．（24-25八年级下·山西运城·期末）综合与实践 【问题呈现】如图1，是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中，垂足为O，三角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域（图2），使点分别在上，点F在上，经测量，采购员需要准备分割所用的篱笆和． 【数学建模】采购员以点O为原点，以所在的直线为x轴，以所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请按照她的方法解决问题： (1)在图2中画出坐标系，直接写出直线的函数表达式． (2)①当米时，求点E的坐标． ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆的总长（结果精确到1米，参考数据：） 【答案】(1)见解析，； (2)①；② 【分析】此题考查了一次函数的应用，正确求出函数解析式是关键． （1）根据题意画出坐标系，再用待定系数法求出直线解析式即可； （2）①设点D的坐标为，得到,由在直线上得到，解得，即可得到 ②求出，，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：画出直角坐标系如图， ∵， ∴， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， 设直线的表达式为，把代入得到， ， 解得， ∴直线的表达式为， （2）①设点D的坐标为， ∵轴，， ∴, ∵在直线上， ∴， 解得， ∴ ②∴由①知， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴所需购买篱笆的总长为． 5．（22-23八年级下·四川成都·月考）在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中发现直线：与坐标轴相交于A，B两点，直线：与坐标轴相交于C，D两点，两直线相交于点E，且点E的横坐标为4．已知，点P是直线上的动点．    (1)求点E的坐标及直线的函数表达式； (2)过点P作x轴的垂线与直线和x轴分别相交于M，N两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或． (3)或或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解析式即可； （2）设点的坐标为，则点，，分情当点在点的左侧和右侧两种情况，分别列方程求解即可； （3）设点，，，分情况讨论：①以，为对角线时，②以，为对角线时，③以，为对角线时，分别列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解：将点的横坐标4代入直线，得， 点， ， ， 将点和点坐标代入直线， 得，解得， 直线． （2）解：设点的坐标为，则点，， 当点在点的左侧时，如图所示：    则，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得， ∴； 当时，，解得（舍； 当点在点右侧时，如图所示：   ，， 点是线段的三等分点， 或， 当时，，解得（舍）； 当时，，解得； ． 综上，点的坐标为或． （3）解：存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点，， ，， ①以，为对角线时， 得，解得， 点； ②以，为对角线时， 得，解得， ； ③以，为对角线时， 得，解得， ． 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用、待定系数法求解析式、线段的三等分点、平行四边形的判定等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 6．（2024·广东深圳·二模）已知在网格坐标系中，将进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换前 变换后 (1)平移后点的坐标是_，并在网格坐标系中画出； (2)若是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为_； (3)连接，，则四边形的形状是_，其面积为_． 【答案】(1),画图见解析 (2) (3)平行四边形；20 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，平行四边形的判定与性质； （1）由已知点的坐标先确定平移方式，再确定的坐标，并画出图形即可； （2）由平移的性质可得答案； （3）由平移的性质可得四边形的形状，再利用面积公式计算即可； 【详解】（1）解：∵，； ∴图形先向右平移5个单位，再向上平移2个单位； ∵， ∴， 如图，如图所示： （2）解：∵是内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点的坐标可表示为； （3）解：由平移的性质可得：，， ∴四边形是平行四边形； ∴四边形的面积为； / 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题01平行四边形的性质与判定 题型01平行四边形性质的单一及综合运用 平行四边形的性质与判定 题型02平行四边形判定定理的选用与证明 题型03平面直角坐标系中平行四边形的性质与判定 00 德点型破 题型01平行四边形性质的单一及综合运用 啸方法 考向本质：考查“知形求量”一一即已知四边形是平行四边形，求其未知的角、边、对角线长度或取值范围。 解题方法： 1.边角关系转化： (1)若已知角度，利用“邻角互补、对角相等”快速求解；若已知边长，利用“对边相等”直接转化。 (②)隐藏考点：常结合三角形外角的性质、“8”字形或“A”字形模型求角度差。 2.对角线互相平分的妙用： (I)遇到中点（如OA-OC),立刻联想“AO+BO>AB”(三角形两边之和大于第三边)，用于求线段和 的取值范围。 (②)涉及周长时，巧用“AB+BC=}×周长”简化计算。 3. 答题模板：标记已知边/角/对角线信息→调用对应性质（边等/角相等/对角线平分）→结合三角形 三边关系或方程思想求解未知量→验证结果是否符合几何意义。 1.(25-26八年级下四川遂宁.期中)如图，口ABCD中，对角线AC与BD交于点O,OE⊥BD交AD于点E, 口ABCD的周长是60cm,则△ABE的周长是()cm. D A.30 B.40 C.50 D.60 2.(25-26八年级下·湖南湘潭期中)如图，在口ABCD中，AB=4,BC=6,LABC=60°，对角线AC与 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD交于点O,将直线1绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F,则四边形ABFE周长 的最小值是() A.10+V3 B.10+25 C.14 D.10+3V3 3.(25-26八年级下重庆长寿期中)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A-3,2, B-1,-2),C(3,-2,则点D的坐标为() A.(1,2) B.(2,1) C.1,3) D.3,1) 4.(2026山西晋中.一模)如图，口ABCD中，BE平分∠ABC交AD边于点E.下列两条线段的数量关系中 一定成立的是() A.BE=BC B.AE=CD C.AB=2DE D.AE=2DE 5.(2026辽宁阜新.一模)在ABCD中，连接BD,过点A作AE⊥BD交BD于点E,若AE=BE且 ∠DBC=35°，则∠ADC=() E B A.60 B.75 C.80° D.105° 6.(25-26八年级下·四川遂宁·期中)如图，设M是ABCD一边上的任意一点，S8D=40,则CDM的 面积为 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A M B 题型02平行四边形判定定理的选用与证明 啸方法 考向本质：考查“由量证形”一一即通过证明边、角、对角线的特定关系，判定四边形为平行四边形。这 是几何证明题的绝对主力。 解题方法： 1.条件盘点，寻找“缺口”： 2.读题时圈出己知条件（如一组对边平行、一条对角线被平分），对照五大判定定理，找出最易证明的“缺 失条件”。 3. 判定优选原则（破题关键）： (1)见“中点/中线”：首选“对角线互相平分”。 (2)见“平行”：首选“一组对边平行且相等”。 (3)见“等腰三角形底角”：首选“两组对角分别相等”。 答题模板：梳理已知条件和图形隐含信息→选定最简便的判定定理→严谨书写证明过程（注明三边 两角/对角线关系)→下结论(.四边形ABCD是平行四边形)。 1.(25-26八年级下·四川遂宁期中)如图，在口ABCD中，点E是BC边的中点，连接AE并延长，与DC 的延长线交于F. (I)求证：四边形ABFC是平行四边形； (2)若AF平分∠BAD,∠D=60°，AD=8,求口ABCD的周长 2.(25-26八年级下·湖南湘潭·期中)如图，AD是ABC的中线，延长AD至E,使得DE=AD,连接 BE、CE. (1)求证：四边形ABEC是平行四边形. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)若aACD的面积是2，求四边形ABEC的面积. 3.(25-26八年级下·重庆长寿期中)如图，在四边形ABCD中，AB=CD,AD=BC,BE平分∠ABC. D (I)尺规作图：作∠ADC的平分线交BC于点F(不写作法，保留作图痕迹)： (2)根据(1)中作出的图，求证：四边形BEDF为平行四边形.（请补全下面的证明过程，将答案写在答 题卡对应的番号后，不写证明理由) 证明： ①， AD∥BC, ②， :BE平分∠ABC, ∠ABE=∠CBE, ,∠ABE=∠AEB, ·AB=AE, 同理可得CD=CF, AB=CD, ③ AD =BC, AD-AE=BC-CF.即DE=BF. 又： ④， :四边形BEDF为平行四边形. 4.(25-26八年级下·全国·课后作业)如图，在口ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，且BE=DF,求 证：四边形AECF为平行四边形. / 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B 5.(25-26八年级下·新疆乌鲁木齐期中)如图.己知点P,Q是口ABCD对角线BD上的两个点，且 BP=DQ,连接AP、CP、CQ、AQ.求证：四边形APCQ是平行四边形 B 6.(25-26八年级下·广东东莞期中)如图，四边形ABCD对角线交于点O,且O为AC中点，AE=CF, DF∥BE.求证： (1)△EB0≌△FD0; (2)四边形ABCD是平行四边形. 题型03平面直角坐标系中平行四边形的性质与判定 啸方法 考向本质：考查坐标运算与几何性质的深度融合。多以选择题、填空题形式出现，求未知顶点的坐标。 解题方法： 核心公式储备：中点坐标公式：若A(3y),C(),则中点O+三，当+业】 、22 两类常见考法： 1.知三求一：已知三个顶点，利用“对角线中点重合”或“对边平行且相等”列方程求解。 2. 点的存在性问题：分类讨论哪条边作为对角线，分别套用中点公式求解。 3. 答题模板：标出已知点的坐标一设未知点坐标为x,y)一根据题意选择“中点公式”或“平移规律” 列出方程组→解方程组求出坐标一→画出草图验证合理性。 1.(24-25八年级下·四川泸州月考)在平面直接坐标系中，平行四边形ABEF的坐标分别为A(0,2), 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B(4,2),E(2,6),求点F的坐标() A.（-2,6) B.（-3,6) C.（-1,6 D.（-2,4) 2.(2026湖北一模)口ABCD在坐标系中的位置如图，点C的坐标为(6,4)，则▣ABCD的面积等于 y D衣 3.(25-26八年级上全国单元复习)如图，在平面直角坐标系中，A(1,0),B(4,0),C(2,3),在坐标系中 找一点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标是 B 4.(24-25八年级下山西运城期末)综合与实践 【问题呈现】如图1，ABC是某数学兴趣小组的实践活动基地示意图，其中C01AB,垂足为O,三 角形空地已用围墙围好，现计划用篱笆在空地中央围一个平行四边形区域ADEF(图2)，使点D,E分 别在AC,BC上，点F在AB上，经测量AO=C0=6,OB=9m,采购员需要准备分割所用的篱笆DE和 EF. C D O 图1 图2 / 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【数学建模】采购员以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，以OC所在的直线为y轴，建立平面直 角坐标系，请按照她的方法解决问题： (I)在图2中画出坐标系，直接写出直线AC、BC的函数表达式. (2)①当DE=10米时，求点E的坐标. ②在①的基础上直接写出所需购买篱笆(DE+EF)的总长（结果精确到1米，参考数据：√2≈1.41） 5.（22-23八年级下·四川成都月考)在学习一元一次不等式与一次函数的过程中，小新在同一个坐标系中 发现直线4：y,=-x+6与坐标轴相交于A,B两点，直线：y2=kx+b(k≠0)与坐标轴相交于C,D两 点，两直线相交于点B且点E的横坐标为4、己知0C-了点P是直线么上的动点。 备用图 (1)求点E的坐标及直线的函数表达式： (2)过点P作x轴的垂线与直线I和x轴分别相交于MN两点，当点N是线段PM的三等分点时，求P 点的坐标； (3)若点Q是x轴上的动点，是否存在以A,E,P,Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由. 6.(2024广东深圳二模)己知在网格坐标系中，将ABC进行平移变换，变换前后点坐标的情况如下表： 变换 ABC A1,1 B(4,1 C(4,5) 前 变换 A'B'C' A'6,3) B'9,3 后 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 987 6 5 3 2 1 4 012345678910x (1)平移后点C的坐标是，并在网格坐标系中画出△A'B'C'; (2)若P(m,n是ABC内一点，通过上述平移变换后，点P的对应点P的坐标可表示为_： (3)连接BB',CC',则四边形BB'C'C的形状是，其面积为·