广东珠海市实验中学2025-2026学年高一第二学期5月学情调研数学试卷

**基本信息** 聚焦高一数学核心知识，通过基础巩固与综合应用梯度设计，检测向量、解三角形、立体几何等模块，融入古塔测量实际情境与动态几何探究，培养空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量运算、解三角形、线面关系|基础概念辨析，如单位向量夹角计算| |多选|3/18|复数性质、直三棱柱体积|综合判断，如复数几何意义与线面位置关系| |填空|3/15|纯虚数定义、三角形面积、圆台内切球|运算能力，如圆台内接球表面积计算| |解答|5/77|向量投影、古塔测量、四棱锥证明|情境化与探究性，如古塔高度测量（模型意识）、动点线面平行探究（创新意识）|

2025-2026学年第二学期5月学业质量调研 高一 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1． 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 第I卷（客观题，共58分） 一、单项选择题（共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的。） 1．已知平面向量，若，则（     ） A． B．3 C． D． 2．记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知是单位向量，且满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．若复数，则复数的共轭复数（     ） A． B． C． D． 6．已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（    ） A．80 B．148 C．168 D． 7．若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（共有3小题，每小题6分，共18分，根据选对的选项个数给分，只要有错误选项则该题为0分。） 9．已知复数，则下列结论正确的是（    ） A． B．复数在复平面内对应的的向量与向量垂直 C．若复数是关于x的方程（其中a，b）的一个根，则 D．若复数满足，则的最小值为 10．如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（     ） A．三棱柱的体积为36 B． C．若交于，则与AB是异面直线 D．若交于，则 11．的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A．若，则 B．已知，若有两解，则的取值范围是 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 第II卷（客观题，共92分） 三、填空题（共有3小题，每小题5分，共15分。） 12．已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数 ． 13．记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则 . 14．一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为 . 四、解答题（共有5小题，共77分。） 15．（满分13分）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16．（满分15分）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． ( A B C D E ) (1)求古塔的高度； (2)求三棱锥的体积； (3)若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 17．（满分15分）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 18．（满分17分）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且O为的外心，满足， 求的取值范围； 19．（满分17分）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， (1)求以及的边长c； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. ( 第 2 页 共 4 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期5月学业质量调研 高一数学 参考答案和评分标准 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C D C B A D BCD CD 题号 11 答案 ABC 1．B 【详解】由，可得，解得. 2．A 【详解】解：中，由正弦定理，即，解得， 由 ，故选：A． 3．C 【详解】因为，，则， 又，所以，则， 因为，所以. 故选：C. 4．D 【详解】对于A，由，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，显然错误； 对于D，过直线的平面，由，得，而，则， 由是异面直线，得直线相交，又，因此，D正确. 故选D， 5．C 【详解】由， 所以， 故选：C. 6． B 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形， 又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 7．A 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 8．D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 9．BCD 【详解】对于A，，故A错； 对于B，复数在复平面内对应的向量满足，故B正确； 对于C，将代入方程，得，故C正确； 法二：由是关于x的方程的一个根，则另一个根为，由根与系数的关系 ，解得， 所以． 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，对应点在圆心为半径为1的圆上， 所以，即，故D正确； 故选：BCD． 10．CD 【详解】如图所示： 将该三棱柱视为边长为6的正方体的一半，则三棱柱的体积为，故A项错误； 延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面. 因为，是中点，所以是的中点，由与相似，得，得， 而是的中点，所以与不平行且必相交，所以与截面不平行，故B项错误； 对于C，则与AB是异面直线, 故C项正确; 对于D,因为，又，所以在中，，故D项正确； 故选：CD. 11．ABC 【详解】A选项，在中，由得，由正弦定理得，所以，A正确； B选项，已知，由正弦定理，即，解得， 若有两解，则，解得：，所以的取值范围是.B选项正确 C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且，所以， 所以是等边三角形，C正确； D选项，因为， 所以， 所以，即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，D错误； 故选：ABC. 12． 【详解】因为为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：. 13．2 【详解】由的面积为，即，又， 两式相除得，又已知所以，则， 由余弦定理. 故答案为：2 14． 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题知， 又母线长为14，则圆台的高为，且轴截面底角为60° 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接，易知 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以，球的表面积为.    15．（满13分）已知平面向量，且， (1)求在方向的投影向量的坐标； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【详解】（1）解：，， 故在上的投影向量为 在上的投影向量为.---------------------4分 （2）解：设，， ，又， 或， 或.---------------------8分 （3）因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以解得且 即k的取值范围是---------------------13分 16．（满分15分）为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． A B C D E (1)求古塔的高度； (2)求三棱锥的体积； (3)若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 【详解】（1）设， 在直角三角形中，因为，故， 同理， 在中，，由余弦定理有， 所以，故（负解舍去）. 所以古塔的高度为m.----------------------------------------------------------------------------------5分 (2) 由（1）知，在中，，，,的面积=. 所以三棱锥的体积.-------------------------------------------------------10分（3）由于,故,可以把三棱锥补形为以为棱的长方体，三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，中，,,所以长方体的外接球的半径=,外接球的体积------------------------------------------------------15分 17．（满分15）如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点.    (1)求证：； (2)求证：平面； (3)若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以；------------------------------------------------------5分 （2）如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面.--------------------------------10分    （3）取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面.------------------15分 18．（满分17分）在中，角所对的边分别为，． (1)求角； (2)若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； (3)若，为锐角三角形，且O为的外心，满足， 求的取值范围； 【详解】（1）由正弦定理可变形成， 从而， 又，得，从而， 又，所以.-----------------------------------------------------------------------4分 （2）由正弦定理，从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而,则,， 即的周长的取值范围.------------------------------------------------------------------------10分 （ⅱ）O为的外心，由， 则 得，即，从而， 也有， 得，即，从而， 从而可得，即有， 由为锐角三角形，得，得；，得， 化简得，从而有，得，从而-----------------------------------------------------------------------17分 19．（满分17分）如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， (1)求以及的边长c； (2)设，分别为边，上的动点，线段交于， 设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【详解】（1）由.由正弦定理，得. 由于为边上的中点，所以， 则， 所以. 所以的边长--------------------------------------------------------------------5分 （2）①设，，， 所以，. 由于，所以. 由于、、三点共线，可得，所以.------------------------------------------------------------------10分 ②由于 ； 由，所以. 由于. 所以 . 由于，而，所以， 则，所以， 所以.------------------------------------------------------------------17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $