精品解析：广东珠海市实验中学2025-2026学年高一第二学期5月学情调研数学试卷

2025-2026学年第二学期5月学业质量调研 高一 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 第I卷（客观题，共58分） 一、单项选择题（共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若，则，解得． 2. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】中，由正弦定理，即，解得， 又，所以 ，所以为锐角，故． 3. 已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的夹角公式可求与的夹角. 【详解】由可得，即， 所以, 因为均为单位向量，所以. 所以， 而， 故， 故选：C. 4. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线、面的位置关系有关的概念和定理，对四个选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A，由 ，得直线与可能平行、也可能是异面直线，A错误； 对于B，由，得可能平行，也可能相交，B错误； 对于C，由线面平行的判定定理可知C错误； 对于D，过直线作平面，且， 因为，所以， 过直线作平面，且， 同理可得， 所以， 因为，（若，则与重合） 所以， 因为，且， 所以，，故D正确. 5. 若复数，则复数的共轭复数（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数求解即可. 【详解】由 ， 所以. 6. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件和正四棱台的特征计算侧面等腰梯形的面积，然后利用表面积的定义计算可得结果． 【详解】因为正四棱台的侧面都是等腰梯形，    又正四棱台的上、下底面的边长分别是2、8，体积为,设其高为，则，故 所以侧面梯形的斜高为， 则梯形的面积， 上，下底底面面积分别为，， 所以该四棱台的表面积为． 7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设球的半径为，则球的直径为，由题意，圆锥的高， 所以球的体积为， 设圆锥底面半径为，则， 由，即，所以， 又因为圆锥的母线长， 所以， 又，所以. 8. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， 若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则， 结合 ，得：，解得，选项C错误； 对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 二、多项选择题（共有3小题，每小题6分，共18分，根据选对的选项个数给分，只要有错误选项则该题为0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（    ） A. B. 复数在复平面内对应的向量与向量垂直 C. 若复数是关于的方程（其中，）的一个根，则 D. 若复数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据复数的模计算即可；对于B，根据复数的向量表示及垂直关系的向量表示判断即可；对于C，将复数代入方程，结合复数的四则运算及复数相等求解即可；对于D，根据复数的几何意义得到复数对应点在圆心为，半径为1的圆上，进而求出最小值. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，复数在复平面内对应的向量，则， 所以向量与向量垂直，故B正确； 对于C，将代入方程，得， 整理得，所以，解得， 所以，故C正确； 对于D，设复数对应向量为，复数对应的向量为， 由得，，则复数对应点在圆心为，半径为1的圆上， 所以，即，故D正确． 10. 如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱柱的体积为36 B. C. 若交于，则与是异面直线 D. 若交于，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A，根据棱柱的体积公式求解即可；对于B，判断出平面即为截面，结合直线与平面的位置关系判断即可；对于C，根据异面直线的概念判断即可；对于D，结合勾股定理求解即可. 【详解】如图所示，将该三棱柱补全为边长为6的正方体. 对于A，直三棱柱的体积，故A项错误； 对于B，延长与交于点，连接交于，连接，则平面即为截面. 因为，是中点，所以是的中点， 由与相似，得，所以， 而是的中点，所以与必相交，所以与截面不平行，故B项错误； 对于C，，，，则与是异面直线， 故C项正确； 对于D，，，在中，，故D项正确. 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 已知，若有两解，则的取值范围是 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A选项，因为三角形中大角对大边，所以由得，再结合正弦定理即可判断；对于B选项，如果三角形有两解，那么需满足且，解不等式即可得到的范围；对于C选项，因为是角平分线上的向量，它与点积为0，所以角的平分线与边垂直，可得，再根据单位向量点积公式求出角的大小，即可判断三角形形状；对于D项，利用三角形内角和为，推导得到，再结合已知不等式判断三个角的正切符号，即可确定三角形的类型. 【详解】对于A项，在中，由得，由正弦定理得，所以，故A正确； 对于B项，已知，由正弦定理， 即，解得 ， 若有两解，则，解得：，所以的取值范围是，故B正确 C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，故C正确； 对于D项，因为， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，故D错误； 第II卷（客观题，共92分） 三、填空题（共有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的加法和乘法运算，结合复数的概念求解即可. 【详解】因为 为纯虚数， 所以，解得. 13. 记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据三角形面积公式、向量的数量积及余弦定理求解即可. 【详解】由的面积为，即， 又， 两式相除得，又，所以，所以， 又，所以. 由余弦定理 ， 所以. 14. 一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆台轴截面的性质求出内置球的最大半径，代入球的表面积公式求解即可. 【详解】设圆台的上、下底面的半径分别为，由题意知， 又母线长 ，则圆台的高为，且轴截面底角为60° 若球与圆台的下底面和侧面相切， 设球的半径为，球心为，圆台的上、下底面的中心分别为， 与圆台侧面的一个切点为，过球心的轴截面如图所示， 连接 ，此时， 又，所以球与圆台的上、下底面相切，与侧面不相切， 所以所求内置球的半径，球的表面积为.    四、解答题（共有5小题，共77分.） 15. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用在上的投影向量为求解即可； （2）设，然后根据已知条件列方程组求解即可； （3）由题意可得 且与不共线，从而可求出实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 故，所以 所以在上的投影向量为 所以在上的投影向量为. 【小问2详解】 设，， ，又 ， 或， 或 【小问3详解】 因为， 所以，， 因为与的夹角为锐角， 所以 且与不共线 即 解得且 即k的取值范围是 16. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求三棱锥的体积； （3）若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 【答案】（1）m （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系及余弦定理求解即可. （2）根据三棱锥的体积公式求解即可. （3）将三棱锥补为以为棱的长方体，结合长方体的性质求出外接球半径，代入球的体积公式求解即可. 【小问1详解】 设， 在中，因为，故，同理， 在中，，由余弦定理得，， 即，整理得，解得或（负解舍去）. 所以古塔的高度为m. 【小问2详解】 由（1）知，在中，，，， 所以. 所以三棱锥的体积. 【小问3详解】 由于，故， 可以把三棱锥补形为以为棱的长方体，则三棱锥的外接球就是该长方体的外接球，. 在中，，，所以， 所以长方体的外接球的半径， 故外接球体积为 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的性质定理即可证明； （2）由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证明； （3）根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面， 平面平面，所以； 【小问2详解】 如下图，取为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且，由（1）知，又， 所以且，所以四边形为平行四边形，故， 而平面，平面，则平面. 【小问3详解】 取中点N，连接，， 因为E，N分别为，的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（2）知：平面，又，平面，平面， 所以平面平面，又M是上的动点，平面， 所以平面，所以线段存在点N，使得平面. 18. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式求解即可. （2）根据正弦定理及辅助角公式，结合正弦型三角函数的性质求解即可. （3）根据向量数量积的运算律结合为的外心得到，即，同理可得，联立求得，，进而得到；根据正弦定理及两角差的正弦公式得到，结合求出的范围，再结合对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理得，， 即， 又，所以，所以， 又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，从而 ， 由为锐角三角形，得，解得， 从而，则，， 故的周长的取值范围. 【小问3详解】 取中点，连接， 因为为的外心，所以，所以， 又， 所以， 故，即， 同理，， 故，即， 联立解得，. 故. 由正弦定理得， 由（2）知，，所以，所以， 则，当且仅当时，等号成立. 因此. 故的取值范围为. 19. 如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， （1）求以及的边长； （2）设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理得到，根据向量数量积的运算律得到，进而求出，结合余弦定理求解即可. （2）①设，，，根据向量的线性运算得到，结合平面向量基本定理即可得证. ②根据向量数量积的运算律及①得到，根据面积关系得到，进而得到，代入化简得，结合的范围求值域即可. 【小问1详解】 由及正弦定理，得. 又为边上的中点，所以， 则， 所以. 所以，则. 所以的边长 【小问2详解】 ①设，，， 所以，. 由于，所以. 由、、三点共线，可得，所以. ② 由，得. 又， 所以. 由于，，所以， 则，所以， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期5月学业质量调研 高一 数学 满分：150分 考试时间：120分钟 说明：本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 第I卷（客观题，共58分） 一、单项选择题（共有8小题，每小题5分，共40分，四个选项中只有一个是正确的.） 1. 已知平面向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 记的内角，，的对边分别是，若，，，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知均为单位向量且满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 设表示两条不重合的直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若复数，则复数的共轭复数（     ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱台上、下底面的边长分别是2，8，体积为，则其表面积为（ ） A. 148 B. C. 168 D. 80 7. 若圆锥的高与球的直径相等，圆锥的体积与球的体积也相等，则圆锥与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（共有3小题，每小题6分，共18分，根据选对的选项个数给分，只要有错误选项则该题为0分.） 9. 已知复数，则下列结论正确的是（    ） A. B. 复数在复平面内对应的向量与向量垂直 C. 若复数是关于的方程（其中，）的一个根，则 D. 若复数满足，则的最小值为 10. 如图，在直三棱柱中，，，､分别为，的中点，过点､､作三棱柱的截面，则下列结论中正确的是（ ） A. 三棱柱的体积为36 B. C. 若交于，则与是异面直线 D. 若交于，则 11. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（     ） A. 若，则 B. 已知，若有两解，则的取值范围是 C. 若，且，则为等边三角形 D. 若，则可以是钝角三角形 第II卷（客观题，共92分） 三、填空题（共有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知i为虚数单位，若是纯虚数，则实数__________． 13. 记的内角，，的对边分别是，已知，，的面积为，则______. 14. 一圆台的上底面半径为5，下底面半径为12，母线长为14，在圆台内放置的一个半径最大的球体，则该球体的表面积为______. 四、解答题（共有5小题，共77分.） 15. 已知平面向量，且， （1）求在方向的投影向量的坐标； （2）若，且，求向量的坐标； （3）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 16. 为测量某景区内一座古塔的高度，由于塔底无法直接到达，测量小组在河对岸选取了两个观测点进行测量．首先在点处测得塔顶的仰角为，然后沿河岸步行m到达点处，在点处测得塔顶A的仰角为．已知，且观测点与塔底都在同一水平面内． （1）求古塔的高度； （2）求三棱锥的体积； （3）若从观测点沿的延长线向后退行20m到达点，求三棱锥的外接球的体积. 17. 如图所示，在四棱锥中，平面，，E是PD的中点. （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若M是线段上一动点，则线段上是否存在点N，使平面？说明理由. 18. 在中，角所对的边分别为，． （1）求角； （2）若，为锐角三角形，求的周长的取值范围； （3）若，为锐角三角形，且为的外心，满足，求的取值范围； 19. 如图，的内角，，的对边分别是，为边上的中点，，且， （1）求以及的边长； （2）设，分别为边，上的动点，线段交于，设，，， ①求证： ②四边形的面积为面积的，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $