第四章 三角形章节复习（3大考点+11大题型+强化训练）（高效培优讲义）数学新教材北师大版七年级下册

该初中数学第四章三角形复习讲义通过知识框架图系统梳理了三角形的概念、性质及全等判定体系，用表格明确教学目标与重难点，将三角形要素分类、内角和定理、全等判定方法（SSS、SAS等）按逻辑关系串联，突出全等判定与性质的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如“倍长中线模型”通过典例及变式引导学生构造全等三角形，培养推理意识与几何直观。每种题型配基础变式与综合拓展题，基础生掌握判定方法，优秀生提升复杂推理能力，教师可据此实施分层教学，助力学生系统复习与能力提升。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章三角形章节复习 内容概览 教学目标、教学重难点 知识点！三角形的有关概率 知识点2全等三角形的性质 知识清单 知识点3全等三角形的判定 题型1三角形的分类 题型2三角形的三边关系 题型3等腰三角形及其性质求解 三角形 题型4与三角形的角平分线有关的计算 题型5与三角形的高有关的计算 题型6全等三角形的性质 题型精讲 题型7添加条件使三角形全等 题型8证明三角形全等 题型9倍长中线模型 题型I0垂线模型 题型I1三角形的性质与判定综合 强化训练 教学目标、教学重难点 1.理解三角形概念、要素与分类，掌握内角和定理与三边关系，认识高、中线、角平 分线及稳定性。 2.理解全等三角形概念与性质，掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定，能识别对应边、角并 教学目标 简单推理。 3.经历观察、操作、推理，发展几何直观与逻辑思维；会尺规作三角形，用全等解决 简单实际问题。 1/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1.重点 (1)三角形基本性质：内角和定理、三边关系，高、中线、角平分线的定义与画法， 理解稳定性并应用。 (2)全等三角形：对应边、角相等；掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定，能规范证明 全等并解决线段、角度问题。 教学重难点 2.难点 (1)全等三角形判定的灵活选择，复杂图形中准确找对应边、角，易混淆SAS与SSA、 ASA与AAS,推理逻辑易混乱。 (2)几何证明书写规范，条件与结论关联不清；尺规作图原理理解难，难以将实际问 题转化为全等模型求解。 知识清单 知识点01三角形有关概念 1.三角形有关概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. (2)直角三角形两个锐角互余。 (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段： 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段： 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点.这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段： 2.三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于180°. 3.三角形的分类 不等边三角形 [锐角三角形 (1)按边分类可以分为 (2按角分类可以分为)直角三角形 等腰三角形 底边和腰不相等的等腰三角形； 等边三角形 钝角三角形 知识点02全等三角形的性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形，它们就是全等三角形： 相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角： 2.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形(1)两角及其夹边；(2)两边及夹角；(3)三边；(4)两角及一角对边. 知识点03全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 2/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： AB=A'B' 符号：在△ABC与△A'B'C'中， ∠A=∠A'.△ABC≌△A'B'C'(S.A.S) AC=A'C' 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等： 图形： ∠A=∠A' 符号：在△ABC与△A'B'C中， AB=A'B'.△ABC≌△A'B'C'(A.S.A) ∠B=∠B' 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： ∠A=∠A1 符号：在△ABC与△A'B'C'中， ∠B=∠B'∴.△ABC2△A'B'C(A.A.S) BC=B'C' 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 3/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 AB=A'B' 符号：在△ABC与△A'B'C中， AC=A'C'∴.△ABC≌△A'B'C'(S.S.S) BC=B'C' 题型精讲 题型01三角形的分类 【典例1】(24-25七年级下·上海金山期末)在△ABC中，若LA=92°，则ABC是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.以上三种情况都有可能 【变式1】(25-26八年级上全国课后作业)己知ABC的三边长为a,b,C,且满足 (a-2)2+b-2+c-2=0,则此三角形一定是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.三边都不相等的三角形 【变式2】(25-26八年级上·浙江金华期末)已知ABC中，∠A=∠B=2LC,则ABC按角分类是 三角形. 【变式3】(25-26八年级上·安徽毫州期末)已知ABC的三边长分别为a,b,C. (I)若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,试判断ABC的形状； (2)若a=6，,b=4,且c为整数，求ABC的周长的最大值. 题型02三角形的三边关系 【典例2】(24-25八年级上·湖北襄阳·期末)三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三 角形第三边长的为() A.3 B.4 C.7 D.15 【变式1】(25-26八年级上河南商丘·期末)小颖有长度为10cm,15cm,20cm和25cm的木棒若干根，她想用 这些木棒摆三角形，现已取10cm和20cm两根木棒，那么第三根木棒不可能取() A.10cm B.15cm C.20cm D.25cm 【变式2】(25-26八年级上·陕西渭南·期末)已知三角形两边长分别为6cm,9cm,设第三边长为xcm,则 x可以取的值为·（写出一个即可） 【变式3】(25-26八年级上·河南驻马店·期末)已知a,b,c为ABC的三边长，且a,b满足 a-2+(b-4)2=0,c是偶数，若按边分，则ABC为三角形. 题型O3等腰三角形及其性质求解 【典例3】(25-26八年级上·安徽铜陵期末)已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是 4/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.16 B.14 C.10或16 D.16或14 【变式1】(25-26八年级上·河南濮阳·期末)如图，在ABC中，BA=BC=5,AC=6,SAABC=12,点D 是边AC上一动点（不与点A,C重合），过点D作DE⊥AB,DF⊥BC分别交AB,BC于点E,F.则 DE+DF的值为() B E A D A.2.4 B.4.8 C.6 D.无法确定 【变式2】(25-26八年级上·福建泉州期末)若等腰三角形的两边a、b满足5a2-6a+9=4ab-b2,则这个 三角形的周长为· 【变式3】(25-26八年级上·云南昆明·期中)己知ABC的三边长分别为a,b,c,其中a=2,b=5. (1)当c为偶数时，求c的值； (②)当ABC为等腰三角形时，求ABC的周长， 题型04与三角形的角平分线有关的计算 【典例4】(25-26八年级上·浙江嘉兴期末)如图，在ABC中，AD为∠BAC的平分线，则() D A.BD=CDB.AD⊥BC C.LB=∠C D.∠BAD=∠CAD 【变式1】(24-25八年级上·陕西咸阳·期末)如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD,AE,BF分别是 ABC的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是() ED A.∠ABF=∠CBF B.∠ABC=LCAD C.S。ABE=S。AcE D.AF=CF 【变式2】(25-26八年级上广东阳江·期末)重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力 的合力集中于一点，这一点叫物体的重心.三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为△ABC的 重心，则 DG AG 5/19 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 G B D 【变式3】(24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末)如图，已知直线AB、CD相交于点O,OA平分 ∠E0C. M (1)若∠E0C=70°，求∠BOD的度数； (2)过点O作ON⊥OE,M为OE上异于点O的一点，连接MN,则线段MN与ON的大小关系为：MN OW(填如图“>”、“<”、“=”)，理由为： 题型05与三角形的高有关的计算 【典例5】(25-26八年级上·河南周口·期末)如图，在ABC中，AD是高，AE是中线.若CE=2, S。ABc=6,则AD的长为() ■ B A.2 B.3 c D.4 【变式1】(25-26八年级上河北廊坊·期末)如图，在ABC中，AB=4,BC=3,则ABC的高CE与 AD的比是() B A.4:3 B.3:4 C.2:3 D.V5:2 【变式2】(23-24七年级下·甘肃武威期末)ABC中，∠A=75°，H为高BD、EC的交点，则∠BHC= 6/19 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 【变式3】(24-25八年级上·山东临沂·期末)等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法， D D 图1 图2 图3 (1)如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8,AC=10,BD⊥AC,垂足为点D,则BD的 长是 (②)如图2，在ABC中，AB=3,BC=6,则ABC的高AD与CE的比是 (3)如图3，在ABC中，LA=90°，∠ABC>45°，点D,E分别在边BC,AC上，且BE=EC, DM⊥BE,DN⊥AC,垂足分别为点M,N,若AB=8,DM=3,求DN的值. 题型06全等三角形的性质 【典例6】(25-26八年级上·广东湛江·期末)如图：△ABC≌△DEF,BC=7,EC=4,那么CF的长为() O A.2 B.3 C.4 D.5 【变式1】(25-26八年级上河南商丘期末)已知图中的两个三角形全等，则∠a=一。 509 0 58 72 b 【变式2】(25-26八年级上·安徽合肥期末)如图，△ABE≌△DCF,点C,E,F,B依次在同一条直 线上，BC=9,EF=5,求CE的长 B E D 【变式3】(24-25八年级上·湖南衡阳·期末)如图，△ABC≌△ADE,点E在边BC上（不与点B,C重合）， 7/19 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 DE与AB交于点F. D B E (I)若∠CAD=110°，∠BAE=30°，求∠BAD的度数： (2)若AD=10,BE=CE=4.5,求△ADF与△BEF的周长和. 题型07添加条件使三角形全等 【典例7】(25-26八年级上·山东烟台·期末)如图，在ABC和△DEC中，AC=DC,只添加一个条件，仍 不能判断△ABC≌△DEC的是() E A.∠B=∠E B.∠A=∠D C.AB=DE D.BC=EC 【变式1】(25-26八年级上浙江杭州期末)如图，点E,C,F,B在一条直线上，AB∥DE,连接AC ,DF,AC=DF.若要使△ABC≌△DEF,则需要添加的条件可以是() E、 A.AB=DE B.EC BF C.∠D=A D.∠D=∠EFD 【变式2】(25-26八年级上江苏南通期末)如图，点A,B,C,D在一条直线上，AEDF,AE=DF, 要使△EAC≌△FDB,只需添加一个条件，则这个条件可以是 【变式3】(25-26八年级上陕西商洛·期末)如图，在△ABE和aCAD中，己知AB=AC,AD=BE,要证 明△ABE≌△CAD,可补充的条件是·（写出一个即可） 8/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C D B E 题型08证明三角形全等 【典例8】(25-26八年级上·北京·期末)如图，点A,E,B,F在同一直线上，AC与DF相交于点G, ∠A=∠F,AE=BF,AC=DF.求证：△ABC≌△FED. D 【变式1】(25-26八年级上·吉林白山期末)如图，点C、B、E、F在同一条直线上，AB=DE,BF=CE ,AC=DF.求证：△ABC≌△DEF. 【变式2】(25-26八年级上·浙江绍兴·期末)如图，在ABC中，E是AB上一点，AC与DE相交于点F, F是AC的中点，AB∥CD. F E B (I)求证：△AEF≌△CDF; (2)若AB=10,CD=7,求BE的长. 【变式3】(25-26八年级上江苏南通期末)如图，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为 D,E,连接AE. B 9/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△ACD≌△CBE; (2)若AD=4,DE=3,求四边形ACBE的面积. 题型09倍长中线模型 【典例9】(23-24八年级上·河北保定·期末)老师布置的作业中有这样一道题：如图，在△ABC中，D为 BC的中点，若AC=3,AB=6,则AD的长不可能是() D 思考：甲同学认为AB,AC,AD这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同 学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考 过程，请选择正确的结果. A.5 B.4 C.3 D.2 【变式1】(25-26八年级上河南三门峡·期末)如图，在ABC中，AD是ABC的中线，AB=12, AD=8,则AC的取值范围是 D 【变式2】(24-25七年级下.宁夏银川期末)【发现问题】 B D E 图1 图2 图3 (1)数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，AB=6,AC=4,中线AD的取值范围是多少？第一组 经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空. 【探究方法】 ①延长AD到E,使得DE=AD; ②连接BE,通过三角形全等把AB、AC、2AD转化到△ABE中； ③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE<AE<AB+BE,从而得到AD的取值范围是 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形. 【问题拓展】 10/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，OA=0B,0C=0D,LAOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点，试说明： OE=BD ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长OE至H,使EH=OE,连接CH. 因为E是AC的中点 所以AE=CE 在△AEO和△CEH中 AE=CE ∠AEO=∠CEH OE=EH 所以△AEO兰△CEH(SAS) ②根据①中的条件，可以得到0E=EH,下面只需说明8D=OH,就能得到OE=)BD,请同学们根据提 示补全证明过程 (3)如图3，在(2)的条件下，若∠AOB=90°，延长EO交BD于点F,OF=3,OE=6.那么△A0C的 面积是 (请直接写出答案) 【变式3】(25-26八年级上江苏扬州期末)【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： A D B D C E 图1 图2 如图1，ABC中，若AB=10,AC=6,求BC边上的中线AD的取值范围.小明在组内经过合作交流，得 到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,请根据小明的方法思考： (1)由己知和作图能得到ADC≌EDB的理由是· A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)求得AD的取值范围是· 11/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.2<AD<8 B.2≤AD≤8 C.4<AD<16 D.4≤AD≤16 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的己知条件和所求 证的结论集中到同一个三角形中， 【问题解决】 (3)如图2，AD是ABC的中线，BE交AC于E、交AD于F,且AE=EF,求证：AC=BF· 题型10垂线模型 【典例10】(25-26八年级上重庆开学考试)如图，在ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,D是线段BC上 一点，连接AD,过点A作AE⊥AD,且AE=AD,连接EC交AB于点F,若BD=3.3,BF=2.5,则AB 的长度为() F D A.8.3 B.8.5 C.8.7 D.9.1 【变式1】(25-26八年级上·安微合肥期末)已知：ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D为直线BC上一 点，过点B作BG⊥直线AD于点G,过点C作CF⊥直线AD于点F. B 图1 备用图 (1)如图1，若BG=7,CF=2,则GF= (2)当点D在直线BC上运动时，FG=10,BG=6,则CF= 【变式2】(25-26八年级上广西河池·期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,AD⊥CE, BE⊥CE,垂足分别是D,E,BE=0.8,DE=1.7. B E C (I)请说明CD和BE的数量关系，并说明理由； (2)求AD的长。 【变式3】(25-26八年级上江西赣州·期末)【问题初探】 12/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)如图①，∠BAC=90°，AB=AC,直线I经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E,则DE,BD,CE的数量关系是 【变式探究】 (2)如图②， 在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线l经过点A,分别从点B,C向直线I作垂线，垂足分别为D, E.已知BD=I0,CE=5,求DE的长； 【拓展应用】 (3)小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以ABC的边AB,AC为一 边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,AF是边BC上的高.延长FA 交DE于点G,设△ADG的面积为S,,△AEG的面积为S2,猜想S,S的大小关系，并说明理由. B D A 图① 图② 图③ 题型11全等三角形的性质与判定综合 【典例11】(25-26八年级上河北邯郸期末)如图，ABC的两条高AD与BE交于点O,0B=AC=7,点 F在射线BC上，且CF=AO,动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动， 同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P,Q两点同时 停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为() B. 6 n好 【变式1】(25-26八年级上辽宁盘锦期末)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=5cm,BC=2cm,CD为 AB边上的高，点E从点B出发，在直线BC上以2cms的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F, 当点E运动 s时，CF=AB. 13/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 【变式2】(25-26八年级上河北承德期末)如图，AB=9cm,BC=12cm,∠B=∠C.如果点P在线段BC上 以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q从C点出发沿射线CD匀速运动.设经过s同时停止. D B P (I)若∠B=∠AP2,AB=PC,则AP与OP相等吗？请说明理由. (2)当△ABP与以C,Q,P为顶点的三角形全等时，求Q点的运动速度. 【变式3】(24-25七年级下·陕西成阳·期末)【问题情境】 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC,连接AC,点G在BC边上，连接DG并延长，交AB 的延长线于点E,交AC于点F,连接AG,已知∠DAC+∠CGF=90°，AE=AC. D B E 【问题探究】 (1)请说明△ABC≌△AFE; 【问题解决】 (2)若2AB=AC,AD=2,求CG的长. 强化训练 一、单选题 1.(25-26七年级上山东泰安·期末)如图，ABC和△ADC如图所示放置，当ABC为等腰三角形时， AC的长为() 14/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 4 3 D A.3 B.4 C.3或4 D.无法确定 2.(25-26七年级上山东济南·期末)如图，△ABD≌△ACE,AB=12cm,CD=4cm,则AD的长度为() D A.6cm B.7cm C.8cm D.9cm 3.(25-26七年级上山东威海期末)如图，己知AB=BD,BC=BE,添加下列条件，不能判定 △ABC DBE的是() D B A.∠A=∠D B.AC=DE C.LDBA=∠CBE D.∠ABC=∠DBE 4.(25-26八年级上广东湛江·期末)以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.Icm,5cm,3cm B.8cm,5cm,6cm C.3cm,4cm,8cm D.Icm,5cm,9cm 5.(25-26七年级下·全国期末)如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边的中线，AE平分∠CAB, CF⊥AB,AE与CF相交于点G.下列结论一定成立的是() ①△ACD与△BCD的面积相等；②LACF=LB;③△ACE≌△CFD;④LCEG=∠CGE A.①② B.②③ C.①③④ D.①②④ 二、填空题 15/19 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(24-25七年级下，北京海淀·期末)如图，在ABC中，AD是中线，BF⊥直线AD于F,CE⊥AD于E, 若AE=7,AF=17,则中线AD的长是 E 7.(23-24七年级下·辽宁沈阳·期末)如图，△ABC中，AD⊥BC于D,E是AD上一点，连接BE并延长交 AC于F,若AD=BD,DE=DC,FC=30,AF=20.则△ABE的面积是· B D 8.(24-25七年级下.全国·期末)已知：如图，AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,AD1AB于A,BC=AE.若 AB=10,则AD= A B 9.(25-26七年级上·山西临汾·期末)将一副直角三角板如图方式摆放，则∠的度数为 45 30 10.(24-25七年级下·广东深圳期末)如图，ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为平面上一点， AD⊥DC,若CD=6,则△BCD的面积为 16/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 三、解答题 11.(25-26八年级上河南洛阳·期中)如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C, 且AD⊥MN于点D,BE⊥MN于点E M D D →B A 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE; (2)如图2，求证：DE=AD-BE; (3)如图3，直接写出线段DE,BE,AD之间的数量关系， 12.(25-26八年级上甘肃期末)如图，己知，点A,E,C,F在一条直线上，BC=ED,AE=CF, LACB=∠FED. B A 4 (I)求证：AB∥DF; (2)若AF=20,EC=8,求AC的长. 13.(24-25七年级下·广东深圳期末)在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线 的方法. 【特例分析】例如：在ABC中，AB=8,AC=6,点D是BC边上的中点，怎样求AD的取值范围呢？我 们可以延长AD到点E,使DE=AD,然后连接BE（如图①)，这样，在△ADC和△EDB中，由于 (AD=DE ∠ADC=∠EDB,:ADC兰EDB,:AC=EB,接下来，在△ABE中通过AE的长可求出AD的取值范围. BD=CD 17/19 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D 图① 图② 图③ (1)在图①中，中线AD的取值范围是 【拓展探究】 (2)应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在ABC中，点D是BC边上的中点，点E是AB边上的一点，作DF⊥DE交AC边于点F,连接 EF,若BE=4,CF=2,请直接写出EF的取值范围. 【推广应用】 (3)如图③，在四边形ABCD中，∠BCD=149°，∠ADC=31°，点E是AB中点，点F在DC上，且满足 BC=CF,DF=AD,连接CE、ED,请判断CE与ED的位置关系，并证明你的结论 14.(24-25七年级下·陕西咸阳·期末)【问题情境】 如图，在ABC中，点D是AC上一点，连接BD,∠ABD=∠C,在AB上取一点E,使得BE=BD,点F 是CB延长线上一点，连接EF. E D B B 图1 图2 【思路梳理】 (1)如图1，若∠C=50°，DC=BF,求∠F的度数： 【深入探究】 (2)如图2，点K为EF上一点，连接BK并延长至点H,使得BH=AB,连接EH,若FB=AD,且 ∠FBH=∠A,则HK与BK相等吗？为什么？ 15.(25-26八年级上·辽宁抚顺期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D,F分别在AB,AC上， CF=CB,连接CD,CE⊥CD且CE=CD,连接EF. 18/19 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：△BCD≌△FCE; (2)若EF∥CD,试判断AB与CD的位置关系，并加以说明. 19/19 第四章 三角形章节复习 教学目标 1. 理解三角形概念、要素与分类，掌握内角和定理与三边关系，认识高、中线、角平分线及稳定性。 2. 理解全等三角形概念与性质，掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定，能识别对应边、角并简单推理。 3. 经历观察、操作、推理，发展几何直观与逻辑思维；会尺规作三角形，用全等解决简单实际问题。 教学重难点 1.重点 （1）三角形基本性质：内角和定理、三边关系，高、中线、角平分线的定义与画法，理解稳定性并应用。 （2）全等三角形：对应边、角相等；掌握SSS、SAS、ASA、AAS判定，能规范证明全等并解决线段、角度问题。 2.难点 （1）全等三角形判定的灵活选择，复杂图形中准确找对应边、角，易混淆SAS与SSA、ASA与AAS，推理逻辑易混乱。 （2）几何证明书写规范，条件与结论关联不清；尺规作图原理理解难，难以将实际问题转化为全等模型求解。 知识点01 三角形有关概念 1.三角形有关概念： (1)三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次联结所组成的图形. （2）直角三角形两个锐角互余。 (3)三角形的高：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的重心：三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．这点称为三角形重心。 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段； 2.三角形基本元素的定理 (1)三角形的任意两边之和大于第三边, 任意两边之差小于第三边. (2)三角形的内角和等于. 3.三角形的分类 (1)按边分类可以分为；　(2)按角分类可以分为 知识点02 全等三角形的性质 1.全等三角形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形；两个三角形是全等形,它们就是全等三角形；相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角是对应角； 2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.画三角形 （1）两角及其夹边；（2）两边及夹角；（3）三边；（4）两角及一角对边. 知识点03 全等三角形的判定 三角形全等判定方法1： 文字：在两个三角形中，如果有两条边及它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法2： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及它们的夹边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法3： 文字：在两个三角形中，如果有两个角及其中一个角的对边对应相等，那么这两个三角形全等； 图形： 符号：在与中， 三角形全等判定方法4： 文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等. 图形： 符号：在与中， 题型01 三角形的分类 【典例1】（24-25七年级下·上海金山·期末）在△ABC中，若，则是（  ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的识别． 根据，结合钝角三角形的定义即可判断． 【详解】解：∵， ∴是钝角三角形． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·浙江金华·期末）已知中，，则按角分类是________三角形． 【答案】锐角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形内角和定理得到，结合已知条件得到，据此求出的三个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴按角分类是锐角三角形， 故答案为：锐角． 【变式3】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． (1)若，，满足，试判断的形状； (2)若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】(1)是等边三角形 (2)的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 题型02 三角形的三边关系 【典例2】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）三角形两条边的长分别是5和9，下面四个数值中可能是此三角形第三边长的为（ ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】C 【分析】利用三角形三边关系求出第三边的取值范围，再找出符合范围的选项即可． 【详解】解：设此三角形第三边的长为， 则，即， 所以四个选项中只有符合条件． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）小颖有长度为和的木棒若干根，她想用这些木棒摆三角形，现已取和两根木棒，那么第三根木棒不可能取（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系的应用，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，通过计算第三边的取值范围来判断选项． 【详解】解：设第三根木棒的长度为， 已取两根木棒长度为和， ，即， 不满足， 第三根木棒不可能取， 故选A． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）已知三角形两边长分别为，，设第三边长为，则x可以取的值为______．（写出一个即可） 【答案】6（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握：三角形两边之和大于第三边；三角形的两边之差小于第三边． 【详解】解：根据三角形的三边关系可得：， 即， 则x可以取的值为6， 故答案为：6（答案不唯一）． 【变式3】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）已知，，为的三边长，且，满足，是偶数，若按边分，则为_______三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的判定、绝对值和平方的非负性，关键是熟练应用知识点解题；由绝对值和平方的非负性求出和的值，再根据三角形的三边关系确定的取值范围，结合为偶数得到的值，最后按边分类判断三角形的形状。 【详解】解：∵，满足，， ∴ 且 ， 解得： ， 在中，∵， ∴ ， ∵ 为偶数， ∴ ， ∴ ， ∴是等腰三角形， 故答案为：等腰． 题型03 等腰三角形及其性质求解 【典例3】（25-26八年级上·安徽铜陵·期末）已知一个等腰三角形两边的长分别为6和4，那么它的周长是（    ） A．16 B．14 C．10或16 D．16或14 【答案】D 【分析】分情况讨论腰长，验证三边能否构成三角形后计算周长． 【详解】解：∵等腰三角形的两边长为6和4， ∴分两种情况分析： ①当腰长为6，底边长为4时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ②当腰长为4，底边长为6时， ∵，满足三角形两边之和大于第三边的关系， ∴周长为； ∴该等腰三角形的周长为16或14． 【变式1】（25-26八年级上·河南濮阳·期末）如图，在中，，，，点D是边上一动点(不与点A，C重合)，过点D作，分别交于点E，F．则的值为（   ） A．2.4 B．4.8 C．6 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的面积等知识．根据，，，列出等式，由此即可解决问题． 【详解】解：连接， ，，， ，则， 则， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·福建泉州·期末）若等腰三角形的两边满足，则这个三角形的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用、平方的非负性，关键是将方程整理为两个完全平方式的和；利用拆项法将方程整理成两个完全平方式的和，求出的值，最后根据等腰三角形性质和三角形三边关系确定周长． 【详解】解：∵原方程可化为， ∴ ∴， ∴，， 即：等腰三角形两边为和， 若腰为，则三边为、、，但，不满足三角形三边关系， 若腰为，则三边为、、，满足三角形三边关系，周长为， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·云南昆明·期中）已知的三边长分别为，其中． (1)当为偶数时，求的值； (2)当为等腰三角形时，求的周长． 【答案】(1) 4或6 (2) 12 【分析】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键； （1）根据三角形的三边关系可得，结合为偶数即可得到答案； （2）由题意可得或，再结合三角形的三边关系分类求解即可． 【详解】（1）解：∵的三边长分别为，其中， ∴， 即， ∴当为偶数时，或6； （2）解：当为等腰三角形时， ∵， ∴或， 当时，三角形的三边为2，2，5， 由于，此时不能构成三角形，故此种情况须舍去； 当时，三角形的三边为5，5，2，满足三角形的三边关系， 此时的周长． 题型04 与三角形的角平分线有关的计算 【典例4】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）如图，在中，为的平分线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，把一个角分成两个相等的角的线叫做角平分线． 根据角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵为的平分线， ∴，故D选项符合题意． 故选D． 【变式1】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线、中线和角平分线，三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的高线、中线和角平分线的定义是解题的关键．利用角平分线的定义判断选项A；利用高线的定义得出，得出，再结合，即可判断选项B；利用中线定义得出，即可判断选项C；无法得出选项D． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴， 故选项A结论正确，不符合题意； ∵是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选项B结论正确，不符合题意； ∵是的中线， ∴， ∴， 即， 故选项C结论正确，不符合题意； ∵是的角平分线，无法判定是的中线， ∴选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·广东阳江·期末）重心是个物理名词，从效果上看，我们可以认为物体所受重力的合力集中于一点，这一点叫物体的重心．三角形三条中线的交点叫三角形的重心；如图，点G为的重心，则______． 【答案】/ 【分析】本题考查重心的定义，三角形的中线分出的三角形的面积相等；根据重心可得点D，E，F为三边中点，然后根据三角形的中线分出的三角形的面积相等得到，然后根据同高的两个三角形的面积比等于对应边的比解答即可． 【详解】解：∵G为的重心， ∴，，是的中线，即，，是，，的中线， ∴，，，， ∴，即， 同理， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图，已知直线、相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)过点作，为上异于点的一点．连接．则线段与的大小关系为：_____（填如图“”、“”、“”），理由为：_____． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了角平分线的定义、对顶角的性质以及垂线段的性质．解题的关键是熟练运用角平分线分得两个角相等、对顶角相等的性质求解角度，利用垂线段最短的性质判断线段的大小关系． （1）根据“角平分线定义”与“对顶角相等”即可求解； （2）根据“垂线段最短”即可判定 【详解】（1）因为平分，且，根据角平分线的定义，可知 ． 又因为直线 和相交于点O，与是对顶角，根据对顶角相等， 可得． （2）因为，所以是点N到直线的垂线段．而M是上异于点O的一点，是点N到直线上点 M（异于点O） 的斜线长．根据垂线段的性质：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知 故答案为：；垂线段最短． 题型05 与三角形的高有关的计算 【典例5】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，是高，是中线．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查三角形面积和中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 根据三角形的中线性质得出，再由面积公式求解即可． 【详解】解：∵，是中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【变式1】（25-26八年级上·河北廊坊·期末）如图，在中，，，则的高与的比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形面积的求解，利用三角形面积公式，通过两种不同的底和高计算的面积，从而求解 【详解】解：，， ，即， ， 故选：B 【变式2】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和的问题，熟练掌握三角形的高的性质是解题的关键．根据三角形的高的性质及四边形的内角和求解即可． 【详解】，H为高的交点， ， 在四边形内角和为， ， （对顶角相等）． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东临沂·期末）等面积法是一种常用的、重要的数学解题方法． (1)如图1，在中，，，，，，垂足为点，则的长是_______； (2)如图2，在中，，，则的高与的比是________； (3)如图3，在中，，，点，分别在边，上，且，，，垂足分别为点，．若，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题主要考查了求三角形的面积，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． （1）根据题意可得，即可求解； （2）根据题意可得，即可求解； （3）根据可得，再由，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，， ， ∴， ∵，，， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：∵， 且， ∴， 又∵， ∴， ∵ ，， ∴． 题型06 全等三角形的性质 【典例6】（25-26八年级上·广东湛江·期末）如图：，那么的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 由全等三角形的性质可得，再根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·河南商丘·期末）已知图中的两个三角形全等，则_____． 【答案】/50度 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，根据全等三角形对应角相等可知是a、c边的夹角，然后写出即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴的度数是． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，，点，，，依次在同一条直线上，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，进而得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． (1)若，，求的度数； (2)若，，求与的周长和． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键； （1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴，， 与的周长和为 ． 题型07 添加条件使三角形全等 【典例7】（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，在和中，，只添加一个条件，仍不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 可知A不符合题意； ∵，，， ∴， 可知B不符合题意； ∵，，， ∴， 可知D不符合题意； 当时，不能判断这两个三角形全等， 所以C符合题意． 故选：C． 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，点，，，在一条直线上，，连接，，．若要使，则需要添加的条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键； 注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角，根据全等三角形的判定方法一一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 当添加， ∵，，，不能证明， ∴A选项不符合题意； 当添加，那么，即， ∵，，，不能证明， ∴B选项不符合题意； 当添加， ∵，，，满足， ∴可证， ∴C选项符合题意； 当添加，不能证明， ∴D选项不符合题意； ∴需要添加的条件可以是， 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，点A，B，C，D在一条直线上，，，要使，只需添加一个条件，则这个条件可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理，已知一组边相等及一个角相等，再添加一个角相等，或者一条边相等即可求解． 【详解】解：， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（答案不唯一） 【变式3】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）如图，在和中，已知，，要证明，可补充的条件是_____．（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】本题考查添加条件使三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，根据全等三角形的判定方法，添加条件即可. 【详解】解：∵，， ∴当时，； 当时，； 故答案为：或 题型08 证明三角形全等 【典例8】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点A，E，B，F在同一直线上，与相交于点G，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定，关键是根据证明解答． 根据等式的性质得出，进而利用证明解答． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，点C、B、E、F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵， ， ∴， 在和中， ∵ ∴． 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，E是上一点，与相交于点F，F是的中点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟记全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由平行线的性质可得，由中点定义可得，再利用即可证得结论； （2）利用全等三角形的性质可得，再由即可求得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）得：， ∴， ∵，， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，，垂足分别为，连接． (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义可得，由同角的余角相等可得，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，再结合四边形的面积计算即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积为10． 题型09 倍长中线模型 【典例9】（23-24八年级上·河北保定·期末）老师布置的作业中有这样一道题：如图，在中，D为的中点，若，，则的长不可能是（    ） 思考：甲同学认为，，这三条边不在同一个三角形中，需要进行转化；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决基于以上两位同学的思考过程，请选择正确的结果． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、三角形三边的关系，正确作出辅助线是解题的关键．如图1所示，延长到E使得，利用倍长中线模型证明得到，再用三角形三边的关系可得，从而可得答案． 【详解】解：如图所示，延长到E使得，连接， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴B，C，D不符合题意，A符合题意； 故选A． 【变式1】（25-26八年级上·河南三门峡·期末）如图，在中，是的中线，，，则的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系． 延长至点，使，连接，证明，进而得到，根据三角形的三边关系求出的范围即可． 【详解】解：延长至点，使，连接，则：， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）【发现问题】 （1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图，中线的取值范围是多少？第一组经过合作交流，得到如下的解决方法，请同学们认真阅读，完成填空． 【探究方法】 ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化到中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是___________； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接、，E是的中点，试说明：． ①根据上题总结的方法，我们考虑倍长中线构造全等三角形 解：如图，延长至，使，连接． 因为是的中点 所以 在和中 所以 ②根据①中的条件，可以得到，下面只需说明，就能得到，请同学们根据提示补全证明过程． （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，，．那么的面积是___________（请直接写出答案） 【答案】（1），（2）见解析，（3）18 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证得，，进而可得，再证即可； （3）由（2）可得：，，进一步得；根据题意可证，据此即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线． ∴， ∵，， ∴， ∴， 可得， 即：， ∴， 故答案为：； （2）延长至点，使得，连接，如图2： ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）如图3，由（2）可得：，，， ． ． ，， ． ， ， ， ． 【变式3】（25-26八年级上·江苏扬州·期末）【阅读理解】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是_____． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是_____． A．        B．        C．        D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”和“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是的中线，交于、交于，且．求证：． 【答案】（1）B；（2）A；（3）证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． (1)根据，，推出和全等即可． (2)根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可． (3)延长到，使，连接，根据边角边证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）是中线， ， 在和中， ； 故答案为：B； （2）由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， ； 故答案为：A； （3）证明：如图2，延长到M，使，连接， 是中线， ， 在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 题型10 垂线模型 【典例10】（25-26八年级上·重庆·开学考试）如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，，点为直线上一点，过点作直线于点，过点作直线于点． （1）如图1，若，则___________； （2）当点在直线上运动时，，，则___________． 【答案】 5 16或4/4或16 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形“三垂直模型”． （1）证明，则，可得； （2）分三种情况讨论，证明，再根据线段和差求解即可． 【详解】解：（1）∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，； 当点线段延长线上时， ∵直线，直线， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， 过点作平行线，再过点作平行线的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故点线段延长线上不成立，舍， 综上：或， 故答案为：16或4． 【变式2】（25-26八年级上·广西河池·期末）如图，在中，，，，，垂足分别是，，，． (1)请说明和的数量关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据条件可以得出，进而得出，即可解答； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）解：，理由如下； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）解：由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【问题初探】 （1）如图①，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，，则，，的数量关系是_____________； 【变式探究】 （2）如图②， 在中，，，直线经过点，分别从点，向直线作垂线，垂足分别为，．已知，，求的长； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图③所示，以的边，为一边向外作和，其中，，，是边上的高．延长交于点，设的面积为，的面积为，猜想，的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直模型，是解题的关键： （1）证明，得到，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论； （2）证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结果； （3）过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，则，进而得，再根据得，由此得，进而依据“”判定和全等得，同理证明和全等得，进而得，然后再根据三角形的面积公式即可得出与之间的数量关系． 【详解】解：（1）； ∵从点，向直线作垂线，垂足分别为，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ； ，， ； （3）与之间的数量关系是：，理由如下： 如图3，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N， ∵是的高，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， ∵的面积为，的面积为， ∴． 题型11 全等三角形的性质与判定综合 【典例11】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）如图，的两条高与交于点O，，点F在射线上，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．分情况讨论点在延长线上或点在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，， ，， 当时，， ， ，， 解得； 综上，或， 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，为边上的高，点E从点B出发，在直线上以的速度移动，过点E作的垂线交直线于点F，当点E运动_________s时，． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 由题意易得，则有，然后可分当点E在直线的上方时，当点E在直线的下方时，进而分类进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可分：当点E在直线的上方时， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E的运动时间为； 当点E在直线的下方时， 同理可得：， ∴， ∴点E的运动时间为； 综上所述：当点E运动或时，有； 故答案为：或． 【变式2】（25-26八年级上·河北承德·期末）如图，．如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点从点出发沿射线匀速运动．设经过同时停止． (1)若，则与相等吗？请说明理由． (2)当与以C，Q，P为顶点的三角形全等时，求点的运动速度． 【答案】(1)相等，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． （1）先利用三角形外角性质证明，再证明，从而得到； （2）设点的运动速度为，运动的时间为，当，时，利用“”判断，即，，当，时，，即，，然后分别解方程组求出对应的的值即可． 【详解】（1）解：相等，理由如下： ， 而， ． 在和中， ， ， ； （2）解：设点的运动速度为，则， ， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得． 综上所述，点的运动速度为或． 【变式3】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 【详解】解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 一、单选题 1．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（    ） A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可． 【详解】解：∵当为等腰三角形时， ①当，在中，， 在中，， ∴此时； ②当，在中，，不符合三边关系， ∴此种情况舍去； 综上，的长为3． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图， ， 则 的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形对应边相等是解答本题的关键． 根据三角形全等的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，已知，，添加下列条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定，解题关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 利用，，再利用全等三角形的判定方法对选项进行判定． 【详解】解：，， 当添加时，无法判定，A选项符合题意； ，， 当添加时，可以通过“边边边”判定，B选项不符合题意； ，， 当添加时， ， 即，可以通过“边角边”判定，C选项不符合题意； ，， 当添加时，可以通过“边角边”判定，D选项不符合题意． 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东湛江·期末）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】根据三角形三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】解：∵判断能否组成三角形，只需验证较短两边之和是否大于最长边即可， 选项A：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项B：，∴能组成三角形，符合要求； 选项C：，∴不能组成三角形，不符合要求； 选项D：，∴不能组成三角形，不符合要求． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，中，，是边的中线，平分，，与相交于点．下列结论一定成立的是（   ） ①与的面积相等；②；③；④ A．①② B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】利用和三角形面积公式可对进行判断；利用等角的余角相等可对进行判断；根据和的大小关系和全等三角形的判定方法可对进行判断；由于，，则根据三角形外角性质可对进行判断． 【详解】解：，是边的中线，． ，， ，所以成立； ， ． ，， ，所以成立； ， 错误，所以不成立； 平分， ． ，， ， ，所以成立． 故选：D. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法. 二、填空题 6．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，在中，是中线，直线于F，于E，若，，则中线的长是 _______ ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，垂线定义，证明是解题的关键．证明，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 7．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，△ABC中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是_______． 【答案】500 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，解题的关键是证明，得出且，再利用三角形面积公式求解．先证明，得到且，再结合的长度，利用三角形面积公式（为底，为高）求出的面积． 【详解】解：∵于， 在和中， ∴的面积是500． 故答案为：500． 8．（24-25七年级下·全国·期末）已知：如图，于，于，于A，．若，则_______ ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形的性质与同角的余角相等等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解答此题的关键． 先根据直角三角形的性质、同角的余角相等得，再证明即可得解． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 故答案为：10． 9．（25-26七年级上·山西临汾·期末）将一副直角三角板如图方式摆放，则的度数为____________． 【答案】/75度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出，的度数，再根据对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 故答案为： 10．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，D为平面上一点，，若，则的面积为___________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 如图：过点B作于点E，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可求得的面积． 【详解】解：如图：过点B作于点E， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴的面积为：． 故答案为：18． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，直线经过点，且于点，于点E． (1)如图1，求证：①；②； (2)如图2，求证：； (3)如图3，直接写出线段之间的数量关系． 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． （1）①由垂直的定义得到，由同角的余角相等得到，即可根据“”证明；②根据全等三角形的性质证明； （2）同（1）思路证明即可； （3）同（2）思路求解． 【详解】（1）证明：①，， ， ， ， ， ， ， ； ②由①知， ，， ． （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ． 12．（25-26八年级上·甘肃·期末）如图，已知，点A，E，C，F在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，学会利用全等三角形的性质解决问题． （1）利用“边角边”证明，可得，即可求证； （2）求出，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在利用构造全等三角形来解决的问题中，有一种典型的利用倍延中线的方法． 【特例分析】例如：在中，，，点是边上的中点，怎样求的取值范围呢？我们可以延长到点，使，然后连接（如图①），这样，在和中，由于，，，接下来，在中通过的长可求出的取值范围． （1）在图①中，中线的取值范围是______． 【拓展探究】 （2）应用上述方法，解决下面问题： 如图②，在中，点是边上的中点，点是边上的一点，作交边于点，连接，若，，请直接写出的取值范围． 【推广应用】 （3）如图③，在四边形中，，，点是中点，点在上，且满足，，连接、，请判断与的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）；（2）；（3）；理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由证得，得出，在中，，得出，即可得出结果； （2）延长到点，使，连接、，由证得，得出，由等腰三角形的性质得出，在中，，得出，即可得出结果； （3）延长与的延长线交于点，易证，得出，由证得，得出，，即可证得，由，得出． 【详解】（1）延长到点，使，连接，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ，即， ， 故答案为：； （2）延长到点，使，连接、，如图所示： 点是边上的中点， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ，即， ； （3）；理由如下： 延长与的延长线交于点，如图所示： 点是中点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ，即：， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形三边关系、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的三边关系，证明三角形全等是解题的关键． 14．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在中，点D是上一点，连接，，在上取一点E，使得，点F是延长线上一点，连接．    【思路梳理】 （1）如图1，若，，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，点K为上一点，连接并延长至点H，使得，连接，若，且，则与相等吗？为什么？ 【答案】（1）；（2）相等，见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，则有，，进而通过证明可进行求解． 【详解】解：（1）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为，， 所以， 所以． （2）相等，理由如下： 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以． 15．（25-26八年级上·辽宁抚顺·期末）如图，在中，，点D，F分别在，上，，连接，且，连接． (1)求证：； (2)若，试判断与的位置关系，并加以说明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查垂直的定义，全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，平行线的性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）先由同角的余角相等得到，即可根据“”证明； （2）由垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，再由全等三角形的性质得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∵， ∴， 在和中 ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $