专题11 三角形全章复习（二大考点11种题型+过关训练）-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版2024）

专题11 三角形全章复习 目录 【题型一 三角形的三边关系的应用】 2 【题型二 与等腰三角形的边长有关的计算】 3 【题型三 三角形中线的有关计算】 5 【题型四 三角形的角平分线有关的计算】 7 【题型五 三角形的高的有关计算】 9 【题型六 与直角三角形的有关性质的计算】 11 【题型七 利用全等三角形的性质求角度】 13 【题型八 利用全等三角形的性质求线段长】 14 【题型九 添加条件判断三角形全等】 16 【题型十 全等三角形的判定】 18 【题型十一 全等三角形的性质与判定的综合应用】 21 【题型一 三角形的三边关系的应用】 例题：（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．由题意可知，，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，即， m的值可能是4， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出的取值范围即可求解，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：∵米，米， ∴， 即， ∴， ∴、间的距离可能是米， 故选：． 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知 是 三边的长，化简    ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系和绝对值的性质，掌握相关性质是解题的关键． 根据三角形三边关系判断，的正负，根据绝对值的性质去掉绝对值即可． 【详解】解：的三边长分别是， 即 故答案为： 【题型二 与等腰三角形的边长有关的计算】 例题：（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用分类讨论的思想解决问题是关键．分两种情况讨论：若腰长为4时，若底边长为4时，分别求出对应的底边长和腰长，再利用三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4， 分两种情况讨论： 若腰长为4时，则底边长为， 此时，不能构成三角形，不符合题意； 若底边长为4时，则腰长为， 此时，能构成三角形，符合题意； 即它的底边为4， 故选：A． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的定义，分两种情况，当底边为 时，可得出腰长为，当腰长为时，则底边长为，此时不符合三角形三边关系，构不成三角形，故可得出腰长为． 【详解】解：当底边为时，则腰长为：， 当腰长为时，则底边长为：， 则，不符合三角形三边关系，构不成三角形， 故等腰三角形的腰长为． 故答案为：12． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，等腰三角形的定义，三角形三边的关系，正确求出a、b的值是解题的关键． 先根据非负数的性质求出a、b的值，再根据三角形三边的关系结合等腰三角形的定义分边长为a的边是腰和底边两种情况讨论求解即可 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 当边长为a的边为腰时，则等腰三角形三边长为，，不能构成三角形，不符合题意； 当边长为a的边为底边时，则等腰三角形三边长为，，能构成三角形，符合题意，此时等腰三角形的周长为； 故答案为：． 【题型三 三角形中线的有关计算】 例题：（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的中线性质，掌握三角形的中线性质是解题关键． 根据三角形的中线平分三角形的面积求得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：是的中线， ， ，， ． 故选：C． 【变式训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，三角形中线的定义，三角形的三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题关键．设腰长，底边长，结合三角形中线的定义，列二元一次方程组，求出、的值，再根据三角形的三边关系检验即可． 【详解】解：设腰长，底边长， 是中线， ， 中线将该三角形的周长分为5和3两个部分， 或， 或， 解得：或， 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，可以组成三角形； 当等腰三角形腰长为，底边长为时，，不可以组成三角形； 该等腰三角形的底边长为， 故选：A． 【题型四 三角形的角平分线有关的计算】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线，根据，是的角平分线，得出，根据是的角平分线，即可得出． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ． 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理及其推论，直角三角形的两个锐角互余，垂直的定义，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理解答即可． 【详解】解：∵是边上的高， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 2．（21-22八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理即可得的度数；先根据直角三角形的性质可得，再根据角的和差即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是角平分线， ∴，， ∴． ∵在中，是高，， ∴， ∴． 【题型五 三角形的高的有关计算】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、三角形的高等知识点，灵活运用三角形的内角和定理成为解题的关键．先根据三角形内角和定理求得，根据求解即可． 【详解】解：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知是的高，，，则的度数是 【答案】或 【分析】本题考查了三角形的高线，解题的关键是要分情况讨论．分高在内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】解：①如图，当高在的内部时， ； ②如图，当高在的外部时， ， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【答案】 【分析】本题考查与三角形高有关的计算，先利用三角形的面积求出，然后利用线段中点的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：，△的面积为20， ， ， ， 点为边上的中点， ． 【题型六 与直角三角形的有关性质的计算】 例题：（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角相等，直角三角形两锐角互余．根据对顶角相等得到，再由直角三角形两锐角互余求出，进而即可解答． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ． 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题考查直角三角形两锐角互余，对顶角的性质．证明，可得结论． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的性质，平行线的性质等知识，如图，作利用平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质即可解决问题． 【详解】解：如图，作， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型七 利用全等三角形的性质求角度】 例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质可得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，补角的定义，根据得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵与互补， ∴与互补． 故选：C 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质的运用，根据，可得到：和，根据角的和与差求出． 【详解】证明：， ，， ， ． 【题型八 利用全等三角形的性质求线段长】 例题：（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，到局全等三角形的对应边相等得出，进而得出，结合已知条件可得出，求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，根据，得出，，根据，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：20． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，分类讨论是解答本题的性质． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可 【详解】解：①若，则，， ∴，， 解得：，； ②若，则，， ∴，， 解得：， ∴AB的长度为或． 故选：D． 【题型九 添加条件判断三角形全等】 例题：（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在和中：①；②；③；④；⑤．在下列条件中，不能保证的是（   ） A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑤ 【答案】D 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 根据全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：如图所示， A、①②③可以利用“”证明，故本选项不符合题意； B、①②⑤可以利用“”证明，故本选项不符合题意； C、②⑤⑥可以利用“”证明，故本选项不符合题意； D、①③⑤符合“”，不能证明，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据三角形全等的判定逐个判断即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴添加①，可以用判定； 添加③，可以用判定； 添加④，可以用判定； 添加②不能判定三角形全等． 故答案为：①③④． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 【答案】（不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的判定方法成为解题的关键． 根据全等三角形的判定方法即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴当添加，根据可证明． 故答案为：（不唯一）． 【题型十 全等三角形的判定】 例题：（2025·福建厦门·一模）如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据平行线的性质得到， 运用角角边可判定，由此即可求解． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【变式训练】 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明三角形全等及利用全等三角形的性质求解线段的长度”是解本题的关键. （1）先证明 再证明从而可得结论； （2）利用全等三角形的性质证明从而可得答案. 【详解】（1）证明：点E是边的中点， ∵ ； （2），， ， 2．（辽宁省沈阳市第175中学教育集团2024-2025学年下学期七年级数学期中学情监测试卷）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)4． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，同角的余角相等． （1）利用同角的余角相等求出，，根据证即可； （2）推出，求出，把代入求出即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴. （2）解：∵， 由（1）得：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型十一 全等三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【答案】C 【分析】此题重点考查角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明是解题的关键．连接，可证明，得到，故① 正确；由E、F分别是上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断，②错误；延长到点G，使，连接，先证明得，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与题干互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：如图所示，连接， ∵于点于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 延长到点G，使，连接，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴，   ∴ ∴， ∴平分，故③⑤正确； 若平分，而， ∴，与题干信息矛盾，故④错误； 故选C. 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由题意可得，，，再分和两种情况解答即可，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是边长为的正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得，， ∴， 当，时，， ∴， ∴； 当，时，， ∴， ∴； 综上，的值为或， 故选：． 2．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理等知识． （1）根据可得，在中利用三角形的三边关系可求得，即可根据求解； （2）延长至G，使，连接，先证明，得到，，再证明，即可得到； （3）延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接，先证可得，，再证明，得到，，最后证明，得到． 【详解】（1）解：延长到点E．使，连接， ∵是的中线， ∴，又， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 故答案为：； （2）证明：延长至G，使，连接，则 ∵点D为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． （3）证明：如图，延长到G，使得，连接，延长到H，使得，连接， ∵点F是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质，先根据线段和线段垂直于点Q得出，再由可得出的度数，由即可得出结论． 【详解】解：∵线段和线段垂直于点Q， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确全等三角形的判定方法，利用数形结合的思想解答． 根据题目中的条件和各个选项中的条件，利用全等三角形的判定方法，可以得到哪个选项中的条件，不能判定，从而可以解答本题． 【详解】解：，， ， 即， ， ，故A选项不符合题意； 补充不能证明，故B选项符合题意； ， ，故C选项不符合题意； ， ，故D选项不符合题意； 故选B． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．2，5，4 C．14，4，9 D．3，3，6 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意； B、，符合三角形三边关系，故能构成三角形，符合题意； C、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意． D、，不符合三角形三边关系，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：B． 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定的应用，一元一次方程，熟练掌握全等三角形的判定的应用是解题的关键； 根据题意，分、或、讨论，即可求解； 【详解】解：当与全等时， ， 、或、， ， ∴当点由点到点，即时， 则， 解得：； 当点由点到点，即时， ， 解得：； 综上所述，当与全等时，的值为或； 故选：B 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 【答案】A 【分析】本题考查了垂线段的性质，三角形中的等面积法，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据垂线段最短可知，当时，取得最小值，利用等面积法求出的最小值，即可从选项中找出答案． 【详解】解：作于点，如图， ，垂足为，，，， ，即， ， 是线段上的任意一点，连接， 当点与点重叠时取得最小值，最小值为12， 的长不可能是11， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由题意得，，由余角性质得，进而可得，即得，，再根据线段的和差关系即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 【答案】57 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握两直线平行同位角相等． 首先根据平行线的性质得到，，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：57． 8．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等． 由全等三角形的对应边相等，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：5． 9．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，结合绝对值的意义，化简计算即可． 【详解】解：∵的三边长分别是a、b、c， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，过点作交延长线于点，构造一线三垂直全等三角形是解决本题的关键，再根据三角形的面积公式计算即可求解； 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ∵，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，然后根据证明； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据线段的和差关系，得出答案即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴． 12．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，都是等腰三角形，，，且．求证． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 首先得到，然后证明出，即可得到． 【详解】证明：⸪ ⸫ ⸫ 在和中 ⸫ ⸫． 13．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点、分别在边、上，，过点作，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据题意，运用边角边证明，由此即可求解． 【详解】证明：在与中， ， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，得，根据两直线平行内错角相等，即可求解； （2）由得，由，得，进而得，根据，，可得平分． 本题考查平行线的性质和判定，角平分线的定义，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即平分． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见详解 (2)6 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，平行线的性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再根据线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 在和中 ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 三角形全章复习 目录 【题型一 三角形的三边关系的应用】 2 【题型二 与等腰三角形的边长有关的计算】 2 【题型三 三角形中线的有关计算】 3 【题型四 三角形的角平分线有关的计算】 3 【题型五 三角形的高的有关计算】 4 【题型六 与直角三角形的有关性质的计算】 5 【题型七 利用全等三角形的性质求角度】 6 【题型八 利用全等三角形的性质求线段长】 6 【题型九 添加条件判断三角形全等】 7 【题型十 全等三角形的判定与性质的综合运用】 8 【题型十一 全等三角形的性质与判定的综合应用】 9 【题型一 三角形的三边关系的应用】 例题：（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）用长度分别为4、m、7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（   ） A．12 B．11 C．4 D．3 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，、为池塘岸边两点，小明在池塘的一侧取一点，测得米，米，、间的距离可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（24-25七年级下·重庆万州·期中）已知 是 三边的长，化简    ． 【题型二 与等腰三角形的边长有关的计算】 例题：（24-25八年级下·广东揭阳·阶段练习）一个等腰三角形的周长为16，有一条边是4，则它的底边为（   ） A．4 B．8 C．4或8 D．8或6 【变式训练】 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）等腰三角形的周长是，其中一条边长为，则等腰三角形的腰长为 ． 2．（24-25七年级下·重庆·期中）已知一个等腰三角形的两边长分别为，，其中，满足，那么这个等腰三角形的周长是 ． 【题型三 三角形中线的有关计算】 例题：（2025·云南昭通·一模）如图，，分别是的高线和中线．若的面积为，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D．9 【变式训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 2．（24-25八年级上·全国·期中）在等腰三角形中，，若中线将该三角形的周长分为5和3两个部分，则该等腰三角形的底边长为（    ） A． B．4 C．或4 D．或4 【题型四 三角形的角平分线有关的计算】 例题：（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·辽宁鞍山·期中）如图，中，是边上的高，是的角平分线，若，，则的度数为 ． 2．（21-22八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求和的度数． 【题型五 三角形的高的有关计算】 例题：（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图，在中，是边上的高，是边上的高，点F是两条高线的交点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·青海西宁·阶段练习）已知是的高，，，则的度数是 2．（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在△中，为边上的高，点为边上的中点，连接．若，△的面积为20，求的长． 【题型六 与直角三角形的有关性质的计算】 例题：（2025·河北邯郸·一模）将直角三角板（）按下图的方式摆放在一条直线上，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）将一副直角三角板如图放置．已知，当时，的度数为 ． 2．（24-25八年级上·云南昆明·阶段练习）如图，直线，的直角顶点落在直线上，点落在直线上，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【题型七 利用全等三角形的性质求角度】 例题：（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，已知，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，，点在边上，与交于点，，．下列角中，与互补的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，、相交于点，．求证：． 【题型八 利用全等三角形的性质求线段长】 例题：（24-25七年级下·重庆北碚·期中）如图，点，在线段上，，若，，则的长为（   ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.5 【变式训练】 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知，点、、的对应点分别是点、、，点在边上，与交于点．如果，，则线段的长是 ． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（   ）． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 【题型九 添加条件判断三角形全等】 例题：（24-25七年级下·内蒙古包头·期中）在和中：①；②；③；④；⑤．在下列条件中，不能保证的是（   ） A．①②③ B．①②⑤ C．②④⑤ D．①③⑤ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·广东深圳·期中）如图，，．给出下列条件：①；②，③，④．从这四个条件中再选一个使，符合条件的有 （填符号）． 2．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，点A，B，C，D四个点在同一条直线上，，且，若要使，则可以添加条件是 （请写出一个答案即可）． 【题型十 全等三角形的判定与性质的综合运用】 例题：（2025·福建厦门·一模）如图，点，，在同一直线上，，，．证明：． 【变式训练】 1．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，点D是边上一点，点E是边的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 2．（辽宁省沈阳市第175中学教育集团2024-2025学年下学期七年级数学期中学情监测试卷）如图，，，垂足分别是点B、C，点E是线段上一点，且，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型十一 全等三角形的性质与判定的综合应用】 例题：（24-25八年级上·安徽六安·期中）如图，，，于点，于点，、分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论是（   ） A．②③⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①④⑤ 【变式训练】 1．（24-25七年级下·河北保定·期中）如图，在边长为的正方形中，为边上一点，且，点在边上以的速度由点向点运动；同时，点在边上以的速度由点向点运动，它们运动的时间为秒，连接，．当与全等时，的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（2025·安徽亳州·二模）综合与实践：在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图1，是的中线，，，求的取值范围； (2)如图2，，，，D为的中点，求证，； (3)如图3，在四边形中，对角线相交于点E，F是的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 一、单选题 1．（23-24七年级下·广西河池·期末）如图，直线，线段和线段垂直于点Q，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）如图，在中，，点、分别在、上，连接、相交于点．现添加一个条件仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆·期中）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．3，4，8 B．2，5，4 C．14，4，9 D．3，3，6 4．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向点匀速移动，点从点出发，以每秒个单位的速度，沿做匀速移动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．，点为的中点，两个点同时出发，设移动时间为秒，在移动过程中，当与全等时，t的值为（   ）秒． A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，，垂足为，，，．是线段上的任意一点，连接，的长不可能是（   ） A．11 B．12 C．13 D．16 二、填空题 6．（24-25八年级上·甘肃武威·阶段练习）如图，小虎用块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），则两堵木墙之间的距离为 ． 7．（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，四边形中，点是上一点，过点作，若，则 °． 8．（2025·四川成都·二模）如图，已知，，，则的值为 ． 9．（24-25七年级下·上海·期中）已知的三边长分别是、、，化简： ． 10．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，，过点作，且，则的面积为 ． 三、解答题 11．（2025·江苏无锡·二模）如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若，， 求的长 12．（23-24八年级上·广西河池·期末）如图，，都是等腰三角形，，，且．求证． 13．（2025·陕西咸阳·二模）如图，在中，点、分别在边、上，，过点作，且，连接，求证：． 14．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，与相交于点E， ，． (1)若，求的度数； (2)取线段的中点F，连结．若，．求证：平分． 15．（24-25七年级下·陕西西安·期中）如图，点E，C，D，A在同一条直线上，，，． (1)求证： (2)若，，求的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$