第12章 图形的平移与旋转（知识清单）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了“图形的平移与旋转”章节内容，涵盖图形平移、旋转、中心对称及变换综合应用四大知识范畴，搭建了从定义性质到作图方法再到坐标规律的递进式学习支架。 清单以“核心考点”标注重点内容，通过“易错点分析”（如明确平移距离为对应点线段长）和“记忆口诀”（左右移变横坐标右加左减等）强化理解，培养空间观念与几何直观。配套例题与练习题助力知识应用，既方便学生自主复习，也为教师教学设计提供精准参考。

第十二章 图形的平移与旋转 知识点01图形的平移 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 关键要素：平移方向（箭头表示）、平移距离（线段长度） 核心特征：图形上所有点都按同一方向移动相同距离 2. 平移的性质（核心考点） 性质类别 具体内容 基本性质 平移前后图形全等（形状、大小不变，仅位置改变） 对应关系 对应线段平行且相等，对应角相等 点的关系 对应点所连线段平行且相等（或在同一直线上） 方向关系 图形平移的方向和距离就是对应点连线的方向和长度 3. 平移的作图方法（三步法） 确定平移方向和平移距离 找出原图形的关键点（顶点、交点等） 按平移方向和距离平移各关键点，依次连接得到新图形 4. 平面直角坐标系中的平移规律（高频考点） 点P(x, y)向右平移a个单位：P(x+a, y) 点P(x, y)向左平移a个单位：P(x-a, y) 点P(x, y)向上平移b个单位：P(x, y+b) 点P(x, y)向下平移b个单位：P(x, y-b) 口诀：左右移变横坐标（右加左减），上下移变纵坐标（上加下减） 知识点02图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，将一个图形绕一个定点（旋转中心）按某个方向（顺时针/逆时针）转动一个角度（旋转角），这样的图形运动称为旋转。 关键要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度（三要素缺一不可） 对应点：原图形上的点经过旋转后得到的点 2. 旋转的性质（核心考点） 性质类别 具体内容 基本性质 旋转前后图形全等（形状、大小不变） 距离关系 对应点到旋转中心的距离相等 角度关系 对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角 对应关系 对应线段相等，对应角相等 3. 旋转的作图方法（四步法） 确定旋转中心、旋转方向和旋转角度 找出原图形的关键点 连接关键点与旋转中心，按旋转方向和角度旋转该线段 依次连接旋转后的各关键点，得到新图形 4. 特殊旋转：旋转180° 图形绕某点旋转180°后与自身重合，是中心对称的基础 旋转180°的性质：对应点连线经过旋转中心，且被旋转中心平分 知识点03中心对称与中心对称图形 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2. 中心对称的性质（核心考点） 中心对称的两个图形全等 对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 3. 中心对称图形的定义 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。 4. 中心对称与中心对称图形的区别与联系 项目 中心对称 中心对称图形 研究对象 两个图形之间的关系 一个图形自身的性质 对称方式 绕对称中心旋转180°后与另一个图形重合 绕对称中心旋转180°后与自身重合 联系 中心对称图形是中心对称的特殊情况；若将中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们关于对称中心成中心对称 5. 常见的中心对称图形 平行四边形、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形等 6. 平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律（高频考点） 点P(x, y)关于原点对称的点为P(-x, -y) 口诀：横、纵坐标都变为原来的相反数 知识点04图形变换的综合应用 1. 三种基本全等变换的对比 变换类型 核心要素 关键性质 坐标变换规律 平移 方向、距离 对应线段平行且相等 左右移变横坐标，上下移变纵坐标 旋转 中心、方向、角度 对应点到中心距离相等，夹角等于旋转角 需用旋转公式计算 中心对称 对称中心 对应点连线被中心平分 横、纵坐标都变相反数 2. 图形变换的应用场景 图案设计：利用平移、旋转、中心对称设计对称、美观的图案 几何证明：通过变换将分散的条件集中，构造全等三角形等 坐标计算：利用变换规律求点的坐标、图形面积等 实际问题：解决最短路径、图形拼接等问题 易错01: 平移的距离 错误：错把图形边长当成平移距离 注意：平移距离只看一组对应点之间线段长，与图形边长无关 例题1 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 【答案】(1)见详解 (2)向右平移4个单位，向下平移1个单位 (3)8 【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置； （2）利用平移的性质即可求解． （3）线段在平移过程中扫过部分是两个平行四边形的面积之和． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：根据（1）中图象可得平移方向是：向右平移4个单位，向下平移1个单位． （3）解：线段在平移过程中扫过部分的面积为． 易错02:平面直角坐标系的平移 错误：坐标平移口诀用反 注意：熟记左减右加横，上加下减纵，分清横竖平移 例题2如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 【答案】(1)，见解析 (2)x (3)或 【分析】（1）由点在坐标系中的位置直接写出坐标，由点位于第三象限，且到轴的距离为1，到轴的距离为3得到，在图中标出，连接即可得到； （2）由关于轴对称的点的坐标特征即可得到答案； （3）根据题意，过点作，且，如图所示，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知，点的坐标为，由题可知，点的坐标为； 如图所示： 点及即为所求； （2）解：将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于轴对称； （3）解：过点作，且，如图所示： 或． 易错03:寻找旋转中心 错误：随意确定旋转中心，定位错误 注意：旋转中心是旋转中固定不动的唯一定点 例题3如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)与成轴对称或与成轴对称；与成中心对称， 【分析】（1）描出平移后的点、、，连接成三角形即可； （2）关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等，描出点、、，连接成三角形即可； （3）绕原点旋转的点，横纵坐标都互为相反数，描出点、、，连接成三角形即可； （4）结合图形进行判断即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：连接交x轴于点E，由图可知， 点E为的中点，， ∴， 在中， 由图可知，与，与成轴对称；与成中心对称，且对称中心的坐标为． 易错04:旋转方向与旋转角 错误：分不清顺逆时针，找错旋转角 注意：旋转角是对应点与旋转中心连线夹角，不是图形内角 例题4 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析 (3) 【分析】（1）由点平移后对应的点的坐标为，得出平移方式为先向右平移5个单位长度，再向下平移3单位长度，据此作图即可，再根据平移的方式，结合勾股定理即可求出平移的距离； （2）将的三个顶点分别绕坐标原点O按顺时针方向旋转得到对应点，再顺次连接即可； （3）画出的垂直平分线，其交点即为所求，根据坐标系写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵点的对应点的坐标为， ∴先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到， 如图，即为所求， ∵点的对应点的坐标为， ∴线段先向右平移5个单位，再向下平移3个单位得到线段， ∴线段平移的距离为． （2）解：如图，即为所求． （3）解：如图，若将绕点旋转可得到，则点的坐标为． 易错05:旋转对应元素 错误：找错对应点、对应边、对应角 注意：先找准重合位置，再确定所有对应关系 例题5如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）根据图形的轴对称性质作出直线即可； （2）根据旋转图形性质，找出A、B绕点C顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形． 【详解】（1）解：如下图，过正方形的两对应顶点作直线即为所求； （2）解：如下图，以点C为旋转中心，作，且，同理得，连接，即为所求． 易错06:中心对称概念 错误：混淆中心对称与中心对称图形 注意：两个图形成中心对称；一个图形自身为中心对称图形 例题6如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 【答案】A 【分析】本题以正六边形为载体，结合其被对角线分割为个全等的等边三角形的性质，利用平移、旋转、轴对称、中心对称的定义，逐一分析各选项中四边形的变换是否成立，判断错误的变换． 【详解】解：正六边形被对角线分成6个全等的等边三角形， 各边长相等，各中心角为． 对于选项A： 四边形关于点中心对称，对应点为，，，得到的图形为四边形，而非四边形，故A项说法错误． 对于选项B： 将四边形沿射线方向平移线段的长度， 点，点，点，点，可得到四边形，故B项说法正确． 对于选项C： 将四边形绕点逆时针旋转， 点，点，点，可得到四边形，故C项说法变换正确． 对于选项D： 作过点且垂直于的直线为对称轴，四边形关于该直线轴对称，点，点，点，可得到四边形，故D项说法正确． 易错07:中心对称图形判定 错误：和轴对称图形混淆判断 注意：必须旋转180°能重合，才是中心对称图形 例题7某校音乐爱好者成立了一支名为“火红”的乐队，并以乐队名首字母“H”为元素设计了如下四种备选队徽图案，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形， 由中心对称图形的定义可知，四个选项中只有C选项中的图形是中心对称图形． 易错点08平移旋转基本性质 错误：认为变换后图形大小形状改变 注意：二者都是全等变换，只变位置，全等不变 例题8如图，在中，，，把沿射线平移至处，与交于点M．若，，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】21 【分析】本题考查了平移的性质，利用平移的性质得到，则，所以，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵沿射线方向平移至， ∴，, ∴， ∴， ∴． 例题9如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，则的值为_________． 【答案】 【分析】延长至，使，连接，过点作延长线交于，过点作交于，证明，推出，进而用勾股定理求解． 【详解】解：如图：延长至，使，连接，过点作交的延长线交于，过点作交于， 由题意知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，即， ∵，， ∴，， ∴，， 同理可得，， ∴， ∴． 1．如图，在中，，将沿向右平移，得到，点B的对应点E在线段上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平移的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由平移的性质得：平移的距离是． 2．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 【答案】B 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、不是中心对称图形. 3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】根据中心对称的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形即可解答． 【详解】解：如图，把①涂黑后得到图形，绕中心点旋转可与原图重合，为中心对称图形． 4．在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据坐标平移的规律，牢记规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，即可计算得出结果． 【详解】解：∵点向上平移个单位长度， ∴点的纵坐标为； 再向右平移个单位长度， ∴点的横坐标为， ∴点的坐标为． 5．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 【答案】B 【分析】利用中位线、平移和折叠的性质，先求出空白三角形的面积，再用梯形面积减去空白面积，得到阴影部分的面积．两次操作的阴影面积都等于原三角形面积的一半． 【详解】解：设的面积为S． ∵是的中位线， ∴，且，点E、F分别是、的中点， ∴ 点A到的距离等于点A到距离的一半． ∴． ∴ ． 由平移的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． 又∵ 落在上，与重合， ∴ 操作1中阴影部分面积． ∵是的高，折叠后点与点重合，折痕为， ∴垂直平分． 又∵， ∴，且平分， ∴是的中位线， ∴ ，． 由折叠的性质可知，与的形状、大小完全相同， ∴ ． ∴ 操作2中阴影部分面积： ∵ ，故选项A不正确，不符合题意， ∴ 两个操作中阴影部分的面积均为面积的一半． 综上所述：只有选项B正确，符合题意． 6．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：过点作的垂线，并截取等于街道的宽度，即，连接交于点，过点作于点，则线段即为天桥所建的位置，此时由经过天桥走到的路线最短， ∵，， ∴线段可以看作由线段平移得到， ∴， ∴， 过点作于点，则，， ∴， ∴， ∴由经过天桥走到的最短路线的长为． 7．图中的正方形是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚…，该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中某个点与数轴上的666重合，则剪拼出正方形的图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：起点是，需要滚动距离：； 选项A，拼成的正方形，边长为：，是无理数，正方形四个顶点落到数轴的点，也是无理数，668是有理数，两者不会重合，不符合题意； 选项B，拼成的正方形，边长为：2，能够被668整除，能够重合，符合题意； 选项C，拼成的正方形，边长为：3，668不能被3整除，不能重合，不符合题意； 选项D，拼成的正方形，边长为：，也是无理数，不能与668重合，不符合题意； 故答案选：B． 8．如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及面积计算．解题的关键是利用旋转法构造全等三角形，将分散的线段集中到一个三角形中求解． 【详解】解：如图，将绕点逆时针旋转得到， 四边形是正方形， ， ， ，即三点共线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 当为的中点时，， 设，则，， 在中，， 即， 解得， ， ， 不是的中点，故②错误； 当为的中点时， ，，故③正确； 过点作于点， ， 点到的距离等于点到的距离， ， 点到的距离为，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若恰好落在轴正半轴上，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】利用点的坐标求出，然后利用等面积法求出点的纵坐标的绝对值，最后利用勾股定理求出点的横坐标的绝对值，根据点所在象限确定其坐标． 【详解】解：如图所示，过点作垂直于轴，垂足为，过点作垂直于轴，垂足为， ， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， 在中，， ∵绕点顺时针旋转一定角度得到， ∴，， 即，解得， 在中，， ∵点在第四象限， ∴点坐标为． 10．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为_________． 【答案】/ 【详解】解：由旋转的性质得，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 11．小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． 【答案】/ 【分析】过点作，垂足为，求出，利用勾股定理求出，然后利用三线合一得到，同理求出，进而求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ，， ∴， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ∴， ， ∴． 12．如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 【答案】/ 【分析】先说明是直角三角形，再运用勾股定理求得，如图：延长至H，使，连接，作于，可证得，从而，所以点G在直线上运动，从而的最小值是，最后解直角三角形求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∴ 延长至H，使，连接，作于，则 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点G在直线上运动， ∴的最小值是， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴,解得： ∴的最小值是． 13．如图，在中，，，，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，若点Q在直线的左边，且点Q到的距离为，则线段的长为________． 【答案】 【分析】作的中点，的中点，连接，推导出当点P与点C重合时，点Q与点D重合，此时点Q到的距离为1，得到点Q在的内部，且，过点Q作于点E，过点Q作于点H，连接，求出，设，则，，求出，推导出，推导出，根据勾股定理，得到，求出（不符合题意，舍去）或，则，即可解答． 【详解】解：作的中点，的中点，连接，如图 是等边三角形，且点D到的距离为1， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点Q在直线的左边，且点Q到的距离为， ∴点Q在的内部， 当将线段绕点A逆时针旋转得到线段，且点M在线段上时，如图 ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵， ∴，     ∵点Q在的内部， ∴在线段绕点A逆时针旋转时，， 如图，过点Q作于点E，过点Q作于点H，连接，如图 ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理可得是等边三角形， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴． 14．如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 【答案】或 【分析】先根据旋转的方向确定点和点的坐标，再利用待定系数法即可求得结论． 【详解】解：∵直角三角形中点的坐标是，且， ∴， ∴，， 当顺时针旋转后，如图， ∴， ∴点，， ∴直线的解析式是； 当逆时针旋转后，如图， ∴， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点， ∴轴，， 在直角三角形中，， ∴， 同理， ∴点，， ∴设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式是， 综上，直线的解析式是或． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，． (1)平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)以原点为对称中心，画出与成中心对称的； (3)若与关于点成中心对称，则点坐标为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可知，先向右平移6个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，画出即可； （2）利用关于原点对称的点的坐标特征得到、、的坐标，画出即可； （3）利用中心对称的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：连接，交于点P，则点P是对称中心， 由图可知，点、 、 点坐标为． 16．如图，在中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当为等腰三角形时，求； (2)当点在边上时，求的长； (3)当最短时，直接写出此时到的距离． 【答案】(1)或或 (2) (3)1 【分析】（1）根据为等腰三角形，分三种情况求即可； （2）证明，，根据勾股定理，结合求解即可； （3）当点E与点A重合时，线段绕点顺时针旋转得到线段，此时点F恰好落在上，设此时点F与点Q重合，当点在边上时，设此时点F与点M重合，根据题意，得，故点F的运动轨迹就是直线，故当于点F时，线段最短，过点F作，交于点G，求解即可． 【详解】（1）解：因为，点为边的中点， 所以，， 根据题意，得，且， 故， 因为为等腰三角形， 当时，， 故， 故； 当时，， 故； 当时，， 故； 综上所述，的度数为或或； （2）解：根据题意，得， 根据勾股定理，得， 因为， 所以， 故， ∵， ∴， ∴， 故； （3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，交于点Q，将线段绕点顺时针旋转得到线段，作直线，连接， 根据前面的解答，得， 故， 故点F的运动轨迹就是直线， 故当于点F时，线段最短，过点F作，交于点G， 则， 所以， 故， ∵， ∴， ∴， 根据前面的解答，得； 故， 故， 故， 故， 故， 解得， 所以， 过点F作于点H， 则， 故， 解得； 17．给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，该点被称为“费马点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故 ， 由 ① （从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空） 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 ② ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ③ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，，，点为平面上任意一点，求的最小值； (3)如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设费用最低为 元．（结果用含a的式子表示） 【答案】(1)①两点之间线段最短；②；③ (2)13 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论； （2）根据（1）的方法将绕点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，根据可证明，由勾股定理求即可， （3）由总的铺设成本，通过将绕点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可． 【详解】（1）解：当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵， ∴为等边三角形； ∴，， 又，故， 由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值， 最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴； 当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3， 若， ∴，， ∴，， ∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小． ∴已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点． ∴该三角形的“费马点”为点A， 故：①两点之间线段最短；②；③． （2）解：将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， 又∵ ∴， 由旋转性质可知：， ∴， ∴最小值为； （3）解：总的铺设成本 ∴当最小时，总的铺设成本最低， 将绕点C顺时针旋转得到，连接， 由旋转性质可知：，，，， ∴， ∴， 当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为， 过点作，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 的最小值为 总的铺设成本（元）． 18．如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)或或或 【分析】（1）由含 30 度角的直角三角形的性质以及平面直角坐标系即可求解； （2）分两种情况讨论，时，时，由三角形的面积关系可求点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解； （3）分两种情况，当时，当时，根据含 30 度角的直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ． （2）解：根据题意分两种情况讨论： ①时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； ②时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ∴直线的解析式为， ∴当时，， ∴点； 综上所述：点的坐标为或． （3）解：如图，当时，过点作于， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图， ∵将绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴点在轴上， ∴点； 如图，当旋转角大于时，由中心对称的性质可得：点的坐标或， 综上所述：点的坐标或或或． 19．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到． (1)如图1，若旋转角，求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值：；最大值： 【分析】（1）通过旋转角得出及，利用等腰三角形性质结合已知求． （2）由得内错角相等确定旋转角，结合条件证为等边三角形，又，则，的直角三角形的性质得出，由勾股定理得，则，证明为等腰三角形，则，过点作的高，则，勾股定理求出，再根据，求解即可． （3）利用中点得，分别求点到直线的最小垂距（结合到直线距离与共线关系）和到的最大距离（利用三点共线时线段和）． 【详解】（1）解：∵将绕顶点顺时针旋转，旋转角为且， ， ， ， ． （2）解：， ， 根据旋转可得， ， ， ∴在中，三个内角都为， ∴为等边三角形， 又， ， 又 ∵为的直角三角形， ， 由勾股定理得， ， ， ， ， 为等腰三角形，， ， 过点作的高， 则， ∴， ． （3）解：∵为中点， ， 由旋转性质，到的距离为， 故在上旋转时，的轨迹是以为圆心，内半径、外半径的圆环， 当三点共线且时，线段的长度最小，最小值为：． 最大值：即到的最远距离，当在正下方且共线时，线段的长度最大，最大值为：． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 图形的平移与旋转 知识点01图形的平移 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿__________移动__________，这样的图形运动称为平移。 关键要素：平移方向（箭头表示）、平移距离（线段长度） 核心特征：图形上所有点都按__________移动__________ 2. 平移的性质（核心考点） 性质类别 具体内容 基本性质 平移前后图形__________（形状、大小不变，仅位置改变） 对应关系 对应线段__________，对应角__________ 点的关系 对应点所连线段__________（或在同一直线上） 方向关系 图形平移的方向和距离就是对应点连线的__________ 3. 平移的作图方法（三步法） 确定__________和__________ 找出原图形的__________（顶点、交点等） 按平移方向和距离平移各关键点，__________得到新图形 4. 平面直角坐标系中的平移规律（高频考点） 点P(x, y)向右平移a个单位：P(__________) 点P(x, y)向左平移a个单位：P__________) 点P(x, y)向上平移b个单位：P(__________) 点P(x, y)向下平移b个单位：P(__________) 口诀：左右移变__________右加左减），上下移变__________（上加下减） 知识点02图形的旋转 1.旋转的定义 在平面内，将一个图形绕__________（旋转中心）按__________（顺时针/逆时针）转动__________（旋转角），这样的图形运动称为旋转。 关键要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度（三要素缺一不可） 对应点：原图形上的点经过旋转后得到的点 2. 旋转的性质（核心考点） 性质类别 具体内容 基本性质 旋转前后图形__________（形状、大小不变） 距离关系 对应点到旋转中心的距离__________ 角度关系 对应点与旋转中心的连线的夹角__________ 对应关系 对应线段相等，对应角相等 3. 旋转的作图方法（四步法） 确定__________、__________和__________ 找出原图形的__________ 连接关键点与旋转中心，按旋转方向和角度旋转该线段 依次连接旋转后的各关键点，得到新图形 4. 特殊旋转：旋转180° 图形绕某点旋转180°后与自身重合，是__________的基础 旋转180°的性质：对应点连线经过旋转中心，且被旋转中心__________ 知识点03中心对称与中心对称图形 1.中心对称的定义 把一个图形绕着某一点旋转__________，如果它能够与另一个图形__________，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做__________，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。 2. 中心对称的性质（核心考点） 中心对称的两个图形__________ 对应点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心__________ 对应线段平行（或在同一直线上）且相等 3. 中心对称图形的定义 在平面内，把一个图形绕着某一点旋转__________，如果旋转后的图形能够与原来的图形__________，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的__________。 4. 中心对称与中心对称图形的区别与联系 项目 中心对称 中心对称图形 研究对象 __________之间的关系 __________自身的性质 对称方式 绕对称中心旋转180°后与另一个图形重合 绕对称中心旋转180°后与自身重合 联系 中心对称图形是中心对称的特殊情况；若将中心对称图形的两部分看作两个图形，则它们关于对称中心成中心对称 5. 常见的中心对称图形 __________、矩形、菱形、正方形、圆、正六边形等 6. 平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标规律（高频考点） 点P(x, y)关于原点对称的点为P(__ , __) 口诀：横、纵坐标都变为原来的__________ 知识点04图形变换的综合应用 1. 三种基本全等变换的对比 变换类型 核心要素 关键性质 坐标变换规律 平移 方向、距离 对应线段平行且相等 左右移变横坐标，上下移变纵坐标 旋转 中心、方向、角度 对应点到中心距离相等，夹角等于旋转角 需用旋转公式计算 中心对称 对称中心 对应点连线被中心平分 横、纵坐标都变相反数 2. 图形变换的应用场景 图案设计：利用平移、旋转、中心对称设计对称、美观的图案 几何证明：通过变换将分散的条件集中，构造__________等 坐标计算：利用变换规律求点的坐标、图形面积等 实际问题：解决最短路径、图形拼接等问题 易错01: 平移的距离 错误：错把图形边长当成平移距离 注意：平移距离只看一组对应点之间线段长，与图形边长无关 例题1 如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸中的顶点都在方格纸的格点上，经过平移使得的顶点C移到了点的位置． (1)画出平移后的（点与点A对应，点与点B对应）； (2)指出平移的方向和平移的距离； (3)求线段在平移过程中扫过部分的面积． 易错02:平面直角坐标系的平移 错误：坐标平移口诀用反 注意：熟记左减右加横，上加下减纵，分清横竖平移 例题2如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，点A位于第三象限，且到x轴的距离为1，到y轴的距离为3． (1)写出图中点C的坐标，并在图中画出； (2)将各顶点的横坐标保持不变，纵坐标分别乘，则所得图形与原的位置关于______轴对称； (3)若，且，直接写出点D的坐标． 易错03:寻找旋转中心 错误：随意确定旋转中心，定位错误 注意：旋转中心是旋转中固定不动的唯一定点 例题3如图，的顶点坐标分别为，． (1)将向右平移5个单位长度，画出平移后的； (2)画出关于轴对称的； (3)将绕原点旋转，画出旋转后的 (4)在中：_____与_____成轴对称；_____与_____成中心对称，且对称中心的坐标为_____． 易错04:旋转方向与旋转角 错误：分不清顺逆时针，找错旋转角 注意：旋转角是对应点与旋转中心连线夹角，不是图形内角 例题4 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若经过平移后得到，已知点的对应点的坐标为，请画出，并求出线段平移的距离_____； (2)将绕坐标原点按顺时针方向旋转得到，请画出； (3)若将绕点旋转可得到，则点的坐标为____． 易错05:旋转对应元素 错误：找错对应点、对应边、对应角 注意：先找准重合位置，再确定所有对应关系 例题5如图1，和的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”． (1)在图1的正方形网格中，格点和格点关于某条直线对称，请画出图1中的对称轴． (2)请在图2中画出绕点C顺时针旋转后得到的格点． 易错06:中心对称概念 错误：混淆中心对称与中心对称图形 注意：两个图形成中心对称；一个图形自身为中心对称图形 例题6如图，正六边形中，下列变换错误的是（  ）    A．四边形可以由四边形中心对称得到 B．四边形可以由四边形平移得到 C．四边形可以由四边形旋转得到 D．四边形可以由四边形轴对称得到 易错07:中心对称图形判定 错误：和轴对称图形混淆判断 注意：必须旋转180°能重合，才是中心对称图形 例题7某校音乐爱好者成立了一支名为“火红”的乐队，并以乐队名首字母“H”为元素设计了如下四种备选队徽图案，其中是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 易错点08平移旋转基本性质 错误：认为变换后图形大小形状改变 注意：二者都是全等变换，只变位置，全等不变 例题8如图，在中，，，把沿射线平移至处，与交于点M．若，，则图中阴影部分的面积为______． ∴． 例题9如图，在中，，，点在边上，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接并延长交的延长线于点，连接，则的值为_________． 1．如图，在中，，将沿向右平移，得到，点B的对应点E在线段上，点A、C的对应点分别为点D、F，若要使成立，则平移的距离是（   ） A． B． C． D． 2．未来将是一个可以预见的时代，下列是国内常见人工智能品牌公司图标，图标是中心对称图形的是（     ） A．豆包 B． C．讯飞星火 D．智谱清言 3．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中涂色部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 4．在平面直角坐标系中，点先向上平移个单位长度，再向右平移6个单位长度得到点，则点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．对进行下列操作： 操作1：如图1，是的中位线，将沿中线方向平移到△的位置，使与边重合； 操作2：作的高，将按图2所示的方式折叠，使点A与点D重合，折痕为． 对操作1，2中阴影部分面积，下列说法正确的是（） A．操作2中阴影部分面积大 B．面积均为面积的一半 C．面积与的面积相等 D．操作1中阴影部分面积大 6．如图， 两单位分别位于一条封闭街道的两旁（直线、是街道两边沿），现准备合作修建一座过街人行天桥．根据图中提供的数据计算由经过天桥走到的最短路线的长为（  ） A． B． C． D． 7．图中的正方形是由某种图形剪拼成的，将它放到数轴上，点表示的数为-2，若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚；点翻滚到数轴上时记为第二次翻滚…，该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中某个点与数轴上的666重合，则剪拼出正方形的图形可能是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在边长为6的正方形中，将含角的直角三角板．按如图所示放置，边，分别交，于点，，连接．则下列结论： ①； ②当为的中点时，为的中点； ③当为的中点时，的面积为15； ④点到的距离为6．其中正确的结论为（） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9．如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，顶点坐标为，将绕点顺时针旋转一定角度得到，若恰好落在轴正半轴上，则点的坐标是______． 10．如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为_________． 11．小志同学在玩一副直角三角尺时发现：含角的直角三角尺的斜边可与含角的直角三角尺的较长直角边完全重合（如图①），即的顶点，分别与的顶点，重合．现在，将沿射线的方向平移个单位长度使边经过点，若，则________． 12．如图，在中，，点是边上一点，连接，，点是直线上的一个动点，连接并延长交直线于，将线段绕点逆时针旋转，点的对应点为点，连接，的最小值为________． 13．如图，在中，，，，点P为射线上一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，若点Q在直线的左边，且点Q到的距离为，则线段的长为________． 14．如图，直角三角形的斜边在轴的正半轴上，点与原点重合，点的坐标是，且．若将绕着点旋转后，点和点分别落在点和点处，那么直线的表达式是________． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别是，，． (1)平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的； (2)以原点为对称中心，画出与成中心对称的； (3)若与关于点成中心对称，则点坐标为___________． 16．如图，在中，，点为边的中点，点为边上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． (1)当为等腰三角形时，求； (2)当点在边上时，求的长； (3)当最短时，直接写出此时到的距离． 17．给定不在同一条直线上的三个点，，，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，该点被称为“费马点”． (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程： 当的三个内角均小于时，如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接，由，，可知为等边三角形，故，又，故 ， 由 ① （从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空） 可知，当，，，在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的点为该三角形的“费马点”，且有 ② ； 已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ③ 点． (2)如图4，在中，三个内角均小于，且，，，点为平面上任意一点，求的最小值； (3)如图5，设村庄，，的连线构成一个三角形，且已知，，．现欲建中转站沿直线向，，三个村庄铺设电缆，已知由中转站到村庄，，的铺设成本分别为元，元，元，选取合适的的位置，可以使总的铺设费用最低为 元．（结果用含a的式子表示） 18．如图1，在平面直角坐标系中，为直角三角形，，， ，点C为上一动点． (1)点A的坐标为________； (2)连接，并延长交y轴于点D，若的面积恰好被x轴分成两部分，求点C的坐标； (3)如图2，若，将绕点O顺时针旋转，得到，如图2所示，所在直线交直线于点，当为直角三角形时，直接写出点的坐标． 19．在中，，，，将绕顶点顺时针旋转，旋转角为，得到． (1)如图1，若旋转角，求的度数； (2)如图2，当时，设与相交于点，与交于点，连接，求的面积； (3)如图3，设中点为，线段上有一动点，连接．在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值和最小值？如果存在，请直接写出这个最大值与最小值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $