第十二章 图形的平移与旋转（复习讲义）数学新教材青岛版八年级下册

该初中数学复习讲义通过知识框架图系统梳理图形平移与旋转的知识体系，涵盖平移、旋转、中心对称的概念性质及坐标变换，结合易错点拨明确重难点，呈现知识内在逻辑与联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础平移坐标计算到综合旋转规律探究，如利用平移求草地小路面积培养几何直观，通过旋转坐标规律题发展推理能力，配套变式与分层练习，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

第十二章 图形的平移与旋转（复习讲义） 知识目标： 1.理解中心对称与中心对称图形的概念，能准确区分二者。 2.掌握中心对称的核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；变换前后图形全等。 3.掌握平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′(−x,−y)。 4.了解中心对称与旋转的关系：中心对称是 ** 旋转角为 180°的特殊旋转。 能力目标： 1.能根据对称中心，画出已知图形的中心对称图形。 2.能通过连接对应点，找出两个成中心对称图形的对称中心。 3.能利用中心对称的性质，进行线段长度、角度、面积的计算与推理。 4.能识别中心对称图形，并确定其对称中心。 5.能在方格纸中补画图形，使其成为完整的中心对称图形。 6.能运用原点对称的坐标规律，求对称点坐标、判断对称关系或求解参数。 应试目标： 1.准确辨析中心对称与中心对称图形，概念题不丢分。 2.规范完成中心对称作图题，保证对应点、对称中心标注清晰。 3.熟练运用中心对称性质解决几何计算问题，步骤严谨。 4.快速解决关于原点对称的坐标类问题，避免符号错误。 5.能解决中心对称图形的规律探究题，提升几何直观与逻辑推理能力。 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 题型一 利用平移解决实际问题 【例1】（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 题型二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例2】．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【变式】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，．若将线段平移至线段的位置，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 题型三 已知图形的平移，求点的坐标 【例3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点P的对应点的坐标为______． 【变式】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型四 已知平移后的坐标求原坐标 【例4】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 题型五 平移综合题（几何变换）坐标系中的平移 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【变式】（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 题型六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例6】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 旋转中的规律性问题 【例7】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 题型八 根据旋转的性质求解 【例8】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】 (1)当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】 (2)如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例9】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期中）【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例10】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【变式】（25-26八年级下·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例11】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例12】．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 【变式】（25-26九年级上·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 题型十三 坐标与旋转规律问题 【例13】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 题型十四 线段问题（旋转综合题） 【例14】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【变式】（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 题型十五 面积问题（旋转综合题） 【例15】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【变式】（25-26七年级上·上海闵行·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 题型十六 角度问题（旋转综合题） 【例16】（24-25七年级上·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【变式】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 题型十七 其他问题（旋转综合题） 【例17】（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【变式】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 题型十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例18】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 题型十九 中心对称图形规律问题 【例19】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【变式】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 题型二十 求关于原点对称的点的坐标 【例20】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，点是内一个点． (1)将先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，点的坐标为______，平移距离为______； (2)若与关于原点成中心对称，请在原直角坐标系中画出．若点是内一个点，则的在对应点的坐标为______ (3)点在线段上，线段把分成两个面积相等的三角形，请作出线段（要求：尺规作图，保留画图痕迹．） 【变式】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． (1)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (2)画出关于原点O对称的． 题型二十一 已知两点关于原点对称求参数 【例21】．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·四川雅安·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（ 　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 5．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 6．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)将先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、）； (2)画出与关于原点成中心对称的．（点、、的对应点分别为点、、）． 7．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将沿所在直线的方向平移至的位置，若，，求平移的距离． 8．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 10．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 5．（25-26八年级下·四川达州·期中）定义：在平面直角坐标系中，将点P绕点旋转得到点Q，则称点Q为点P的“发展点”．当时，点的“发展点”为________；若点P在直线上，其“发展点”Q在直线上，则点T的坐标为________； 6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移13cm到达三角形的位置，若，，则阴影部分的面积为_______cm2． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 8．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图1，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接，连接并延长交于点，求的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点的对应点位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点，交于点，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点为旋转中心，将原广场等腰绕点逆时针旋转一个锐角得到，点的对应点在的外部，点的对应点为点，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 10．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二章 图形的平移与旋转（复习讲义） 知识目标： 1.理解中心对称与中心对称图形的概念，能准确区分二者。 2.掌握中心对称的核心性质：对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分；变换前后图形全等。 3.掌握平面直角坐标系中，关于原点对称的点的坐标规律：点 P(x,y) 关于原点对称的点为 P′(−x,−y)。 4.了解中心对称与旋转的关系：中心对称是 ** 旋转角为 180°的特殊旋转。 能力目标： 1.能根据对称中心，画出已知图形的中心对称图形。 2.能通过连接对应点，找出两个成中心对称图形的对称中心。 3.能利用中心对称的性质，进行线段长度、角度、面积的计算与推理。 4.能识别中心对称图形，并确定其对称中心。 5.能在方格纸中补画图形，使其成为完整的中心对称图形。 6.能运用原点对称的坐标规律，求对称点坐标、判断对称关系或求解参数。 应试目标： 1.准确辨析中心对称与中心对称图形，概念题不丢分。 2.规范完成中心对称作图题，保证对应点、对称中心标注清晰。 3.熟练运用中心对称性质解决几何计算问题，步骤严谨。 4.快速解决关于原点对称的坐标类问题，避免符号错误。 5.能解决中心对称图形的规律探究题，提升几何直观与逻辑推理能力。 知识点一 平移变换 1. 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小． 【易错点拨】 （1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换； （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离； （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的形状和大小． 2．平移的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等；对应线段平行（或在一条直线上）且相等，对应角相等． 【易错点拨】 （1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征； （2）“对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 3. 平移与坐标变换： (1)点的平移：点的平移引起坐标的变化规律：在平面直角坐标中，将点(x，y)向右(或左)平移a个单位长度，可以得到对应点(x+a，y)(或(x-a，y))；将点(x，y)向上(或下)平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y+b)(或(x，y-b))． 要点上述结论反之亦成立，即点的坐标的变化引起的点相应的平移变换． (2)图形的平移：平移是图形的整体运动．在平面直角坐标系内，一个图形进行了平移变化，则它上面的所有点的坐标都发生了同样的变化，其变化规律遵循：“右加左减，纵不变；上加下减，横不变”． 【易错点拨】 （1）上述结论反之亦成立，即如果把一个图形各个点的横坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度． （2）一个图形依次沿x轴方向、y轴方向平移后所得图形，可以看成是由原来的图形经过一次平移得到的． 知识点二 旋转变换 1．旋转概念：在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角. 【易错点拨】 （1）旋转后的图形与原图形的形状、大小都相同，但形状、大小都相同的两个图形不一定能通过旋转得到. （2）旋转的角度一般小于360°. （3）旋转的三个要素：旋转中心、旋转角度和旋转方向（即顺时针或逆时针方向） ２．旋转变换的性质： 　一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于旋转角；对应线段相等，对应角相等. ３．旋转作图步骤： 　①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角. 　②分析所作图形，找出构成图形的关键点. 　③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点. 　④ 按原图形连结方式顺次连结各对应点. 知识点三 中心对称与图案设计 1．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形称为成中心对称的． 【易错点拨】中心对称的性质 成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分． 2. 中心对称图形：把一个图形绕着某点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 【易错点拨】 中心对称作图步骤： ① 连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点. ② 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形. 3.图形变换与图案设计的基本步骤 ①确定图案的设计主题及要求； ②分析设计图案所给定的基本图案； ③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合 ④对图案进行修饰，完成图案. 4.平移、轴对称、旋转三种变换的关系： 图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的． 题型一 利用平移解决实际问题 【例1】（25-26七年级下·上海奉贤·开学考试）图形操作：（图1、图2中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点B叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，，求，，并比较大小； (2)联想探索：如图3，在一块长为a米，宽为b米的长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），请你直接写出空白部分表示的草地的面积是________平方米（用含a，b的式子表示）； (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽为4米的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，求剩余的耕地面积． 【答案】(1)，， (2)平方米 (3)平方米 【思路引导】（1）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，且长方形的长为10米，宽为米，从而得到平方米； （2）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出草地面积； （3）原长方形除去阴影部分，剩下部分仍为长方形，找到新长方形的长与宽，从而求出耕地面积． 【规范解答】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，， 根据平移的性质可得（平方米），（平方米）； ． （2）解：原长方形的长为米，宽为米，小路的宽度是1米， 原长方形去掉弯曲小路后，剩下的图形重新拼接仍为长方形， 此时新长方形的长为米，宽为米， 空白部分表示的草地的面积是平方米； （3）解：长方形的长为32米，宽为20米，道路宽为4米， 空白部分表示的耕地的面积是平方米． 【变式】（25-26八年级下·全国·课后作业）解决问题 (1)如图1，两地在一条河的两岸，现在要在河上造一座桥，桥造在何处可使从到的路径最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直．）将这个实际问题抽象出来，即：如图2，直线，点、分别位于直线的两侧，请你在直线上找到点，使得垂直于直线，垂足为，且的长度最小，在图2中画出点、，并简要说明点、的位置是如何找到的（不要求证明）． (2)如图3，在（1）的条件中，如果将“一条河”的条件变化为“两条河”，那么两座桥分别建在何处才能使得从地到达地的路程最短呢？在图3中画出两座桥的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求； （2）在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 【规范解答】（1）解：在直线上任取一点，过点作于点，画，且，连接交直线于点，作于点，点即为所求． （2）解：在直线上任取一点，过点作于点，作，且，在直线上任取一点，过点作于点，作，且，连接交直线于点，交直线于点，作于点，作于点，点、、、即为所求． 题型二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【例2】．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）如图，各顶点坐标依次为，．平移，使点的对应点的坐标是． (1)请在图中画出平移后的； (2)将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移___________个单位长度，再___________； (3)如果看成一次平移，则平移的距离是___________个单位长度，平移的方向是直线___________所在的方向． 【答案】(1)见解析 (2)，向下平移个单位长度 (3)，（或，或） 【思路引导】本题主要考查用坐标表示平移： （1）点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到点，所以可得点的坐标为，即，可得点的坐标为，即； （2）由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度； （3）可由沿射线的方向，经过一次平移得到，平移的距离为线段的长度． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求． （2）解：由平移前后的对应点和的坐标关系可知，将平移到的过程中，如果看成两次平移，描述为：先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度． （3）解：可由沿射线的方向，经过一次平移得到． 因为， 所以平移的距离为个单位长度，平移方向是射线（或，或）的方向． 【变式】（2026·辽宁抚顺·一模）如图，点A，B分别在x轴和y轴上， ，．若将线段平移至线段的位置，则的值为（      ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路引导】由作图可知，线段向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到线段，求出的坐标可得结论． 【规范解答】解：， ， ∵线段平移至， ∴由点和点的横坐标可知它们向右平移 3 个单位长度，由点和点的纵坐标可知它们向下平移 1 个单位长度， ，， ． 题型三 已知图形的平移，求点的坐标 【例3】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图，平面直角坐标系中，的顶点坐标为：，，，将向左平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，得． (1)画出，并写出的顶点坐标； (2)若内部有一点，则平移后点P的对应点的坐标为______． 【答案】(1)图见解析，的顶点坐标分别为 (2) 【思路引导】（1）根据平移规律描出点，再顺次连接成三角形即可得到，再根据图形写出的顶点坐标即可； （2）根据平移规律写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：所画如下图所示： 由上图可知，的顶点坐标分别为； （2）解：由平移的规律可知，点平移后得到点． 【变式】（25-26八年级下·河北沧州·期中）如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为．将平移，使得点C与原点重合，则平移后点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据将向右上方平移，使得点C与原点重合，得出应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位，然后求出点A平移后的坐标即可． 【规范解答】解：如图，过点C作轴，过点A作于点M，过点B作于点N， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵将平移，使点与原点O重合， ∴应该使向右平移4个单位，再向上平移1个单位， ∴点A平移后的对应点为：，即． 题型四 已知平移后的坐标求原坐标 【例4】（24-25七年级下·河南信阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到三角形． (1)画出三角形，并写出点，，的坐标； (2)求三角形的面积； (3)若点是三角形内部的一点，经过平移后对应点的坐标为，求和的值． 【答案】(1)作图见解析；，， (2) (3)；5 【思路引导】本题主要考查了平移作图，根据平移确定点的坐标，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质． （1）作出点A、B、C平移后的对应点，，，然后顺次连接即可，根据图形求出，，的坐标即可； （2）利用割补法求出三角形的面积即可． （3）根据平移列出关于m、n的方程组，然后解方程组即可； 【规范解答】（1）解：为所求作的三角形．   ，，． （2）解：． （3）解：∵点是内部的一点，经过平移后对应点的坐标是为， ∴， 解得：． 【变式】如图，在平面直角坐标系中，是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的，它的顶点坐标分别为：，，，则的顶点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】设顶点A的坐标为：，根据平移规律可知：，再利用即可求出x，y的值． 【规范解答】解：设顶点A的坐标为：． 由题意可知： ∵是由先向右平移4个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的， ∴， ∵， ∴，，解得：，， ∴， 故答案为： 【考点剖析】本题考查平移，解题的关键是掌握平移规律“左减右加，上加下减”． 题型五 平移综合题（几何变换）坐标系中的平移 【例5】（24-25七年级下·浙江金华·期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，的顶点均在方格纸的格点上，将经过一次平移后得到．图中标出了点的对应点． (1)请画出平移后的． (2)若连结，则这两条线段的关系是 ． (3)求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)且 (3)线段扫过的面积为16 【思路引导】本题考查了图形的平移变换及其性质，包括平移后图形的画法、平移后对应线段的关系以及图形平移过程中线段扫过的面积计算，解题的关键是掌握平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小，平移后对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等． （1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用平移的性质得出两条线段之间的关系； （3）线段扫过的面积为平行四边形，然后利用“割补法”可求得面积是多少． 【规范解答】（1）解：找出对应点然后连接即可； （2）解：根据平移的性质，平移后对应点所连的线段平行且相等．因为A与、B与是平移前后的对应点，所以与平行且相等． 故答案为：且． （3）解：线段扫过的面积即为平行四边形的面积， 利用“割补法”得到： ∴线段扫过的面积为16． 【变式】（24-25七年级下·重庆渝中·期末）如图，在平面直角坐标系中，将点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C．顺次连接A，B，C，D得到四边形． (1)直接写出点C和点D的坐标； (2)若将四边形沿竖直方向向下平移2个单位得到四边形，图中阴影部分的面积是，求与x轴的交点E的坐标； (3)在（2）的条件下，若点是坐标系内一动点，连接，，当三角形的面积是四边形的面积的时，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【思路引导】（1）根据平移的性质解答即可； （2）设点E的坐标为由题意，得，，．根据题意得到，解答即可． （3）根据列式解答即可． 本题考查了平移的性质，图形的面积表示法，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：∵点，点沿水平方向向右分别平移4个和8个单位长度，点A和点B的对应点分别是点D和点C． ∴即，即， 故，． （2）解：设点E的坐标为由题意，得，，． ∵． ∴ ∴， 解得． ∴， 解得． ∴点E的坐标是． （3）解：∵ ∴ ∴ 则点P的坐标是或． 题型六 坐标系中的动点问题（不含函数） 【例6】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，直角三角形在平面直角坐标系中，直角边与轴重合，直角边与轴重合，，，将折叠，使它落在轴上，得到，折痕为，动点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线段运动，点P运动到点B时停止．设运动时间为秒（）． (1)求D点坐标； (2)设的面积为，求与的关系式，并直接写出自变量的取值范围； (3)在平面内是否存在点Q，使以，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【思路引导】（1）设，则，根据勾股定理，得，故，求解即可； （2）设运动时间为秒，则，根据三角形的面积公式，分类求解即可； （3）根据平行四边形的性质，中点坐标公式求解即可 【规范解答】（1）解：，， ， 根据题意，得，， 故， 故，，， 设，则， 根据勾股定理，得， 故， 解得， 故； （2）解：设运动时间为秒，根据题意，得， 当时，； 当时，过点D作于点M，连接，根据题意，得，， 故， ； 综上所述，． （3）解：根据题意，设点与点构成一个平行四边形， 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 当为对角线时，由中点坐标公式得： 解得：， ∴； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或． 【变式】（25-26八年级下·湖南常德·期中）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，．四边形为矩形，点是的中点，点在边上以每秒个单位长的速度由点向点运动（点到达点则停止运动）．设动点的运动时间为秒． (1)______，_____；（用含的代数式表示） (2)当四边形是平行四边形时，求的值； (3)在线段上是否存在一点，使得、、、四点为顶点的四边形为菱形？若存在，求的值，并求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，． (2)． (3)存在满足条件的点，，或，． 【思路引导】（1）根据点P的运动速度和时间，直接用含的代数式表示线段长度； （2）根据平行四边形对边相等的性质，建立关于的方程求解； （3）分三种情况讨论菱形的对角线：以为对角线、以为对角线、以为对角线，利用中点坐标公式和菱形四边相等的性质，列方程求解和点的坐标． 【规范解答】（1）解：∵点的运动速度为每秒个单位，运动时间为秒， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵点是的中点，， ∴， ∴，， 设，，，． ①以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ②以为对角线时， ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ∴，， 得， ∵菱形四边相等，， ∴， ， ， 当时，， ∴． ③以为对角线： ∵菱形对角线互相平分， ∴中点与中点重合， ，， 第二个方程无解，此情况不成立． 综上，存在满足条件的点，，或，． 题型七 旋转中的规律性问题 【例7】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式，将正方形绕点O连续旋转2026次得到正方形，如果点A的坐标为，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】求出，连接，由勾股定理可得，由旋转的性质可得，求出，，，，，，，，…，由此可得，8次一循环，计算即可得． 【规范解答】解：∵点A的坐标为， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 如图，连接， 由勾股定理可得：， 由旋转的性质可得：， ∵将正方形绕点O逆时针旋转后得到正方形依此方式， ∴相当于将线段绕点O逆时针旋转，依次得到， ∴，，，，，，，，…， 由此可得，8次一循环， ∵， ∴点的坐标为． 【变式】如图，在直角三角形中，，，，且在直线l上，将绕点顺时针旋转到位置①，得到点，将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，得到点，…，按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ______ ． 【答案】8081 【思路引导】本题考查了旋转的性质及图形的规律问题，得到的长度依次增加，，，且三次一循环是解题的关键． 观察不难发现，每旋转次为一个循环组依次循环，用除以求出循环组数，然后列式计算即可得解． 【规范解答】解：∵中，，，， ∴将绕点顺时针旋转到，可得到点，此时； 将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时； 将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时； 由图形可知：每旋转次为一个循环组依次循环， 又∵， ∴ ． 故答案为：． 题型八 根据旋转的性质求解 【例8】（25-26八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，中，，．将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，最后根据求解即可． 【规范解答】解：∵，， ∴． ∵将绕点B逆时针旋转得到，使点C的对应点恰好落在边上， ∴，， ∴， ∴． 【变式】．（25-26八年级下·甘肃张掖·期中）和是等腰直角三角形，，，． 【观察猜想】 (1)当和按如图1所示的位置摆放，连接、，延长交于点，猜想线段和有怎样的数量关系和位置关系． 【探究证明】 (2)如图2，将绕着点顺时针旋转一定角度，线段和线段的数量关系和位置关系是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【拓展应用】 (3)如图3，在中，，，，将绕着点逆时针旋转至，连接，求的长． 【答案】(1) ， (2)成立，理由见解析 (3) 【思路引导】（1）通过证明，即可求证； （2）通过证明，即可求证； （3）过点作，垂足为，交于点，根据旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【规范解答】（1） ，，证明如下： 在和中， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）成立，理由如下： 证明∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，垂足为，交于点， 由旋转性质可得：，， ∵， ∴， ∵，且， ∴，     ∴， ∴， 在中：， ∵， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴是直角三角形， 在中，． 题型九 根据旋转的性质说明线段或角相等 【例9】（25-26八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，正方形中，，点，分别在边、上，，连接，连接分别交、于N、M，下列结论：①；②平分；③的周长为2；④；⑤，其中正确的是（    ） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】D 【思路引导】延长到T，使得，连接，证明，，可判定①②，利用等量代换，可判断③，根据全等三角形面积相等可判断④；将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接，同理可证，得到，根据正方形的性质得到，由旋转的性质可知，，得到，根据勾股定理即可判断⑤． 【规范解答】解：延长到T，使得，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴平分，故②正确； ∵，， ∴． ∴．故①正确； 的周长为，故③正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故④正确； 将绕点A逆时针旋转使与重合，得，连接， 同理可证， ∴， ∵正方形， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，其中正确的是①②③④⑤． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期中）【课本再现】 如图1，在等边中，D是边上一点，过点C作的平行线；将绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． (1)请在图1中画出； (2)此时旋转角的度数为_______； 【类比迁移】 (3)如图2，在等边中，D是边外一点，点D与点A在两旁，且，连接，延长到E，使，连接，求证：； 【拓展应用】 (4)在（3）的条件下，若，，则的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4) 【思路引导】（1）以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E，连接，求解即可； （2）根据旋转角的定义求解即可； （3）根据，得到，根据平角的定义，得到，得到，证明即可； （4）先证明是等边三角形，过点B作交的延长线于点H，根据题意，可证明，再利用勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以，， 根据旋转的性质，得， 故， 故， 又因为过点C作的平行线， 故直线与直线重合即点E在直线， 故以点A为圆心，以为半径画弧，交直线于点E， 连接， 则即为所求； （2）解：绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，点D的对应点为E． 此时旋转角为， 因为等边， 所以； （3）证明：因为等边， 所以，， ，， ， ， ， ∵ ∴； （4）解：因为等边，， 所以，， ∵，， ∴；， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点B作交的延长线于点H， ， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型十 求绕原点旋转90度的点的坐标 【例10】（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为． (1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，作出并写出其余两个顶点的坐标； (2)将绕点按顺时针方向旋转后得到，作出； (3)若将绕某一点旋转可得到，直接写出旋转中心的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据点C和点的坐标可得平移方式，再由平移方式可得点和点的坐标，据此作图即可； （2）根据网格的特点和旋转方式找到点的位置，再作图即可； （3）旋转中心一定在对应点的连线的垂直平分线上，据此结合网格的特点求解即可． 【规范解答】（1）解：∵经过平移后得到，，， ∴平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∵， ∴，即， 如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，旋转中心为点． 【变式】（25-26八年级下·甘肃酒泉·期中）在平面直角坐标系中，的位置如图所示．将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到；再将绕点顺时针旋转得到 以此类推，第次旋转得到，则顶点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先根据初始点和绕原点顺时针转的坐标变换规律，算出前次旋转后的坐标，发现周期为；再用除以，余数为，故第次旋转后坐标与第次相同，为． 【规范解答】解：由图可得，初始点的坐标为， 绕原点顺时针旋转的坐标，旋转后的对应点坐标： 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：； 第次旋转后：，回到初始坐标， ∴每旋转次，坐标会循环一次（旋转，回到原位置），周期为， ∴，余数为， 说明第次旋转后坐标和第次旋转后坐标相同，为． 题型十一 求绕某点（非原点）旋转90度的点的坐标 【例11】（25-26八年级下·浙江台州·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点分别是，，． (1)画出绕点C顺时针旋转所得的此时点坐标为______． (2)以点A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，此时点D坐标为______． 【答案】(1)画图见解析， (2)或或 【思路引导】（1）画出绕点C顺时针旋转所得的，即可写出点坐标； （2）画出以点A、B、C、D为顶点的平行四边形，即可写出点D坐标． 【规范解答】（1）解：如图，绕点C顺时针旋转所得的，点坐标为． （2）解：如图，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， ∴点D坐标为，，． 【变式】（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于轴对称后得到的； (2)请画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出的坐标______； (3)在轴上有一个动点，连接、，则最小值为______． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析， (3) 【思路引导】（1）分别作出点关于轴对称后的点，再顺次连接即可； （2）分别作出点绕点顺时针旋转后得到的点，即可得到的坐标，再顺次连接即可作图； （3）作点关于轴对称的点，则连接，与轴交点即为点，则，由两点之间线段最短可得此时最小，再由勾股定理求解即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图，即为所求，的坐标为； （3）解：如图，作点关于轴对称的点，则，连接，与轴交点即为点， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即为． 题型十二 求绕原点旋转一定角度的点的坐标 【例12】．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，点O为坐标系的原点，点A在x轴上，是边长为2的等边三角形，以O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，则点的坐标是__________． 【答案】 【思路引导】根据等边三角形的性质和旋转的性质可求出，，，过作轴于C，则，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解. 【规范解答】解：∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∵按顺时针方向旋转，得到， ∴，， 过作轴于C， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是. 【变式】（25-26九年级上·山东德州·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在轴上，若，将三角板绕原点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质．先根据旋转性质确定线段长度与角度关系，再构造等腰直角三角形，利用边角关系求出点到坐标轴的距离，从而得到点的坐标． 【规范解答】解：如图，∵三角板绕原点顺时针旋转得到， ∴，． ∵， ∴． 过点作于，则， 在中，，， ∴，即为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ∴． ∵点在第四象限， ∴点的坐标为； 故选：C． 题型十三 坐标与旋转规律问题 【例13】（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在平面直角坐标系中，将绕点A顺时针旋转到的位置，点B、O分别落在点、处，点在x轴上，再将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，将绕点顺时针旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去…若点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】利用勾股定理求出，然后分别求出，，…，找到横坐标的规律，进而求解即可． 【规范解答】解：∵，， ，， ， ∴，即 同理可得，，… ∴序号为奇数时， ∴点的坐标为，即． 【变式】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是________． 【答案】 【思路引导】根据正六边形的特点分别求出每个内角的度数，根据等腰三角形的性质求出，，即可求出，再根据旋转的性质得出旋转次，正六边形回到起始位置，进而得出时，点所在位置，由此即可求解． 【规范解答】解：如图所示，未旋转时，连接，， ∵正六边形的边长为， ∴每个内角的度数为，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵正六边形绕点顺时针旋转个，， ∴旋转次，正六边形回到起始位置， ∵， ∴时，旋转周后，再次旋转了， ∴点在轴的负半轴上， ∵， ∴点的坐标是． 题型十四 线段问题（旋转综合题） 【例14】（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，已知正方形，是正方形内一点．若，，将绕点顺时针旋转至处，此时点、、三点正好在同一直线上． (1)求的度数； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【思路引导】（1）由题意可知，，那么，，从而得到，然后利用平角，得到； （2）结合（1）可知，，，从而得到，然后利用勾股定理求得即可； （3）过点作于点，然后利用勾股定理求得，接着利用求得面积即可． 【规范解答】（1）解：正方形， ， 将绕点顺时针旋转至处， ，且旋转角度为， ，， 是等腰直角三角形， ， 点、、三点正好在同一直线上， ； （2）解：，，， ，， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ； （3）解：是等腰直角三角形，， ， ， ， 过点作于点，如图所示： ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【考点剖析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的面积，正方形的性质，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 【变式】（25-26九年级上·四川广安·期末）中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为． (1)如图①，当时，绕点顺时针旋转了__________°； (2)如图②，当点在上时，若，求的度数； (3)如图③，当点为的中点时，连接，若，，在绕点顺时针旋转一周的过程中，直接写出线段的最大值和最小值． 【答案】(1)110 (2)30° (3)最大值：；最小值： 【思路引导】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等内容，解题的关键是掌握相关性质，确定出点的轨迹． （1）由旋转的性质可得，为旋转角，求解即可； （2）根据旋转的性质可得，，，得到，再由可得，由题意可得，，从而得到，即可求解； （3）由勾股定理可得，，由点为的中点可得，，即点在以为圆心，以为半径的圆上运动，从而得到的最大值与最小值． 【规范解答】（1）解：由旋转的性质可得，为旋转角， 则， 故答案为：； （2）解：根据旋转的性质可得，，， ∴， ∵， ∴， 由题意可得，，即， 解得， ∴； （3）解：连接，如图： 由旋转的性质可得，，， 由勾股定理可得，， ∵点为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，以为半径的圆上运动， 从而得到的最大值为，的最小值为． 题型十五 面积问题（旋转综合题） 【例15】（25-26九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分面积为（    ） A．32 B．24 C． D．16 【答案】D 【思路引导】本题考查旋转的性质，含的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线． 过作交于点，根据旋转得到，，，根据含的直角三角形的性质即可得到，即可得到答案； 【规范解答】解：如图，过作交于点， 绕点按逆时针方向旋转后得到，， ，，， ， ， ， ， 又，， ． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·上海闵行·期末）某学校数学兴趣小组的成员李同学在学习了图形的旋转这节课后，探索了一个新的问题：新定义：把长方形绕着一个顶点旋转，使一边落在对角线上，把这样的旋转称为“对角旋转”，这个旋转角称为“对角旋转角”，如图1，在长方形中，是对角线． (1)如图2，把长方形绕点逆时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，此时点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，如果度数为，则“对角旋转角”的度数_____（用含有的代数式表示）； (2)在（1）的条件下，如果，那么再把长方形绕点顺时针作“对角旋转”，使边落在对角线上，点的对应点为点，点的对应点为点，点的对应点为点，连接，则_____； (3)在长方形中，，在第（1）（2）小题的基础上经“对角旋转”后，点的对应点分别为点和点，连接，三角形面积为312，三角形面积为130，请求出此时长方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)240 【思路引导】本题考查了旋转的性质和定义以及三角形的面积公式，掌握其相关知识是解题的关键． （1）根据对角旋转角的定义解答即可； （2）根据旋转的性质和角的关系解答即可； （3）根据三角形的面积公式和关系得出与的关系，进而解答即可． 【规范解答】（1）解：由题意可知：“对角旋转角”为，， ∴， ∴对角旋转角为：， 故答案为：； （2）解：如图， ∵， 由旋转可知，， ∵， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵，， ∵，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十六 角度问题（旋转综合题） 【例16】（24-25七年级上·广东深圳·期末）【素材】关于等式有以下基本事实：如果，那么．根据等式的这个基本事实和乘法分配律可以得到：． 【问题】一副三角尺如图水平放置，、和三点在同一条直线上，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，两块三角板同时开始旋转（如图），当AB和DB第一次重合时，三角板停止旋转，在旋转过程中（不考虑和重合情况），= ___________________． 【答案】 【思路引导】本题考查了旋转的性质，平角的定义．根据平角的定义得到，设旋转的时间为t妙，根据题意得到，，求得，于是得到结论． 【规范解答】解：，， ， 三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转，三角尺绕着点以每秒度逆时针旋转， 设旋转的时间为秒， ，， ， ， 故答案为：． 【变式】（23-24八年级上·上海普陀·期中）已知：如图，点为直线上的一点，点为直线外一点，将线段绕点顺时针旋转后得，连接，过点作，垂足为点，的平分线交于点，交的平分线于点，连接． (1)当， ①求的度数； ②证明． (2)将绕点旋转，当为等腰三角形时，直接写出的度数． 【答案】(1)①；②证明见解析 (2)或或 【思路引导】（1）①由旋转的性质可得，，则是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，由角平分线的定义可得，，根据三角形的内角和定理即可得的度数； ②在上截取，连接，证明，可得，即可得证； （2）当为等腰三角形时，分三种情况：①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质可得出的度数． 【规范解答】（1）解：①∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； ②证明：如图，在上截取，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵将线段绕点顺时针旋转后得， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时， ∴， ∴； ②当时， ∴， ∴； ③当时， ∴； 综上，∠AEC的度数为或或． 【考点剖析】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用所学知识，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型十七 其他问题（旋转综合题） 【例17】（25-26八年级上·四川成都·月考）在等腰中，，D是底边BC上一点，动点E在射线BC上，使得． 【探究发现】（1）如图1，当且点E在线段BC上时，猜想线段BD，DE，EC的数量关系，并证明你的结论； 【类比迁移】（2）如图2，若且点E在BC的延长线上时，（1）中的结论是否成立，若成立，请完成证明，若不成立，请写出正确的结论并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，若时，点D，E都在边BC上，，求的面积． 【答案】（1），证明见解析；（2）（1）中的结论成立，证明见解析 （3） 【思路引导】（1）将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接，可得，由“”可证，可得，由勾股定理可求解； （2）把绕点逆时针旋转，得到，连接，由（1）可知：，得出，则可得出结论； （3）如图3，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于，由直角三角形的性质可求，由勾股定理可求解． 【规范解答】（1）解：． 证明如下： 如图1，将绕点旋转至的位置，使得与重合，连接， ， ， 在和中， 在中，由勾股定理知：， （2）解：（1）中的结论仍成立． 理由：把绕点逆时针旋转，得到，连接， ∴，， ∴， ∵， ， 由（1）可知：， （3）解：∵，， ∴， ∴，将沿折叠得，将沿折叠得，过点作，交的延长线于， ， 如图，过A作， 则 的边上的高 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，折叠的性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题关键． 【变式】（23-24九年级上·北京丰台·期中）两块完全相同的含角的直角三角板和重合在一起，将三角板绕直角顶点按逆时针方向旋转（），如图所示．以下结论错误的是（　　） A．当时，与的交点恰好为中点． B．当时，恰好经过点． C．在旋转过程中，存在某一时刻，使得． D．在旋转过程中，始终存在． 【答案】C 【思路引导】根据全等三角形的性质可得， ，再根据旋转角求出等边三角形，判断出正确，假设，则可推出，可得与已知矛盾，判断出错误，再根据四边形的内角和等于求出与 的夹角为，判断出正确． 【规范解答】解：∵直角三角板和重合在一起， ∴，， ：当时，°， 设与交点为，如图所示， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的交点为的中点， 故正确； ：当时，， ∵， ∴以点、、构成的三角形是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴恰好经过， 故正确； 在旋转过程中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故错误； ：如图，设直线与直线交于， ∵，， ∴， 同理可得， 又∵， ∴， ∴， ∴在旋转过程中，始终存在， 故正确； 故选：． 【考点剖析】此题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 题型十八 根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【例18】（25-26八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求，由于点是平行四边形的对称中心，根据平行四边形是中心对称图形可得平分的周长； （2）由题意作出平行四边形的中心，矩形的中心，作直线即可，根据平行四边形是中心对称图形可得直线平分剩下图形的面积．． 【规范解答】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）解：如图2中，直线即为所求； 【变式】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 【答案】C 【思路引导】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【规范解答】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 题型十九 中心对称图形规律问题 【例19】（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是边长为2的正方形，A、C分别在y轴正半轴与x轴正半轴上，P点坐标为，将P点关于A对称得到，将关于O点对称得到，将关于C点对称得到，将关于B点对称得到，将关于A点对称得到……，按照顺序以此类推，则的坐标为__________． 【答案】 【思路引导】本题考查了点的坐标变化规律，中心对称．根据题意，探究规律，得出坐标按照，，，四个为一个循环，再利用规律求解即可． 【规范解答】解：P点坐标为，将P点关于A对称得到， ， 将关于O点对称得到， ， 将关于C点对称得到， ， 将关于B点对称得到， ， 将关于A点对称得到 ， 按照顺序以此类推，坐标按照，，，四个为一个循环， ， 则的坐标为； 故答案为：． 【变式】在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，，如此作下去，则的顶点的坐标是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了坐标与图形变化，图形的旋转，要熟练掌握中心对称的两点坐标变化规律，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【规范解答】解：是边长为的等边三角形， 的坐标为，的坐标为， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， 与关于点成中心对称， 点与点关于点成中心对称， ，， 点的坐标是， ，，，，， 的横坐标是， 当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是， 的顶点的坐标是． 故答案为：． 题型二十 求关于原点对称的点的坐标 【例20】（25-26八年级下·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为、、，点是内一个点． (1)将先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到，请在原直角坐标系中画出，点的坐标为______，平移距离为______； (2)若与关于原点成中心对称，请在原直角坐标系中画出．若点是内一个点，则的在对应点的坐标为______ (3)点在线段上，线段把分成两个面积相等的三角形，请作出线段（要求：尺规作图，保留画图痕迹．） 【答案】(1)；5 (2) (3)见详解 【思路引导】（1）向右平移3个单位，横坐标增加3，再向上平移4个单位，纵坐标增加4；利用勾股定理，计算对应点的平移距离，也就是的平移距离； （2）关于原点对称的点，横坐标、纵坐标都是原坐标的相反数； （3）边上一点M，把分成两个三角形，因为高相等，底边平分，就能实现面积相等；运用尺规作图，在线段上做垂直平分线，与的交点，就是所求的点M． 【规范解答】（1）解：将、、，三点坐标做相同变换，向右平移3个单位，横坐标增加3，再向上平移4个单位，纵坐标增加4；得到点的坐标为，即，同理得到点、点，连接三点得到，如下图所示 对应点的移动距离，就是整个三角形的移动距离， 平移距离． （2）解：关于原点对称的点，横、纵坐标互为相反数， 的对应点，的对应点，的对应点， 在对应点的坐标为， 关于原点对称的，如下图所示 （3）解：边上一点M，把分成两个三角形，因为高相等，如果面积相等，则底边长度也相等，即边的中点，就是点M，运用尺规作图，作的垂直平分线，与的交点就是点M，如下图所示 【变式】（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，已知点C的坐标为． (1)画出以点O为旋转中心，将按逆时针方向旋转后得到的； (2)画出关于原点O对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据网格的特点和旋转的性质作出点A，B，C旋转后的对应点，，，再顺次连接即可； （2）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数的坐标特征，找出点A、B、C的对应点、、，再顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求作的三角形； （2）解：∵， ∴， 如图所示，即为所求作的三角形． 题型二十一 已知两点关于原点对称求参数 【例21】．（25-26八年级下·河北衡水·月考）在平面直角坐标系中，对于点，若点B的坐标为（a为常数），则称点B是点A的“a级伴随点”．例如：点的“级伴随点”为，即点B的坐标为． (1)已知点的“3级伴随点”是点D，求点D的坐标； (2)已知点是点的“级伴随点”，若点与点关于原点对称，求的值； (3)若点E在x轴正半轴上，点E的“a级伴随点”为点F，且，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形，新定义，熟练掌握点的坐标的特征进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意，应用新定义进行计算即可得出答案； （2）根据新定义进行计算可得点的坐标为，点与点关于原点对称求出，，然后代入求解； （3）设，则点的“a级伴随点”，表示出，，则，计算即可得出答案． 【规范解答】（1）解：∵点的“3级伴随点”是点D， ∴点D的横坐标为，点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为； （2）∵点是点的“级伴随点”， ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：设，则点的“a级伴随点”， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得：． 【变式】（25-26八年级下·全国·周测）已知点和点关于原点对称，则的值为_____． 【答案】3 【思路引导】此题主要考查了关于原点对称点的性质，解分式方程，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标分别互为相反数．由于点和点的纵坐标已满足互为相反数，因此只需处理横坐标的关系． 【规范解答】解：设点A的横坐标为 ，点B的横坐标为 ． 由关于原点对称，得 ． 化简得 ． 注意到 ， ． 代入方程得 ． 设 ，则 ． 移项得 ，即 ， 解得 ． ， 得 ， 即 ， 解得． 经检验，当 时，分母 且 ， 故 成立． 故答案为：． 基础巩固通关测 1．（25-26八年级下·四川雅安·期中）在平面直角坐标系中，点，，将线段平移，使得线段中B落在对应点的位置，则点的对应点的坐标为（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据点及其对应点坐标确定平移规律，再计算点对应点坐标即可得到答案． 【规范解答】解：点平移后得到对应点， 横坐标变化为，纵坐标变化为， 可得平移规律为：横坐标减，纵坐标减， 点的坐标为， 的横坐标为，纵坐标为， 即． 2．（25-26八年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 【答案】B 【思路引导】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【规范解答】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 3．如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据旋转的性质可知，对应边 与 的夹角即为旋转角，从而可以得到 的度数，由 结合角的和差关系可以得到 的度数． 【规范解答】解： 绕点 按逆时针方向旋转 后得到 ， ， ， ． 4．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将正方形先向下平移，再向右平移得到正方形，已知正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【思路引导】根据题意和平移的特点，可以写出和的长度，然后即可计算出阴影部分的面积． 【规范解答】解：根据平移可得，， 则图中阴影部分的面积为． 5．（25-26八年级下·福建宁德·期中）如图，将线段沿某一方向平移得到线段，若，四边形的周长为，则________． 【答案】7 【思路引导】根据平移的性质得到，进而求出，即可得到的值． 【规范解答】解：由平移的性质可知， ∵四边形的周长为， ∴， ， ， ． 6．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．    (1)将先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，画出，并写出点的坐标；（点、、的对应点分别为点、、）； (2)画出与关于原点成中心对称的．（点、、的对应点分别为点、、）． 【答案】(1)见解析，点的坐标为 (2)见解析 【思路引导】（1）根据平面直角坐标系中平移的性质，平移后所有点的横纵坐标变化量相同，可以得到平移后的图形及点坐标； （2）根据中心对称图形的性质得到其对应点，然后顺次连接即可． 【规范解答】（1）解：，，先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，，．    （2）解：与关于原点成中心对称得到，，．    7．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）如图，将沿所在直线的方向平移至的位置，若，，求平移的距离． 【答案】6 【思路引导】先得出，再求出的长即可． 【规范解答】解：由平移的性质可知，， ∵，，， ∴， ∴平移的距离为． 8．（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，将绕着点顺时针旋转得到，点恰好落在边上，和相交于点． (1)求证：； (2)过点作，垂足为，若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）根据旋转的性质，等边对等角，三角形内角和，证明即可； （2）由题意可知，，，得到，根据三角形的面积公式求解即可； 【规范解答】（1）证明：将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ． （2）（2）由题意可知，，， ， ，， ， ． 9．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在边长均为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，为直角坐标系的原点，三个顶点坐标分别为，，． (1)以为旋转中心，将逆时针旋转，请在网格中画出旋转后的； (2)画出与关于原点对称的； (3)直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， 【思路引导】（1）根据旋转方式找到对应点，顺次连接即可； （2）找到各顶点关于原点对称的对应点，顺次连接即可； （3）根据所作图形写出点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：点和点的坐标分别为，． 10．（25-26八年级下·河南商丘·期中）如图（），点，分别在正方形的边，上，，连接．试猜想之间的数量关系． 【思路梳理】数学课上小明和小红同学都对这个问题进行了探究，并向同学们阐述了自己的证明思路 小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至．可使与重合，由，得，即点，，共线，从而证明出，故得出了之间的数量关系；小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取，从而证明出，故得出了之间的数量关系； (1)请你选择一名同学的解题思路，得出之间的数量关系； 【类比引申】 (2)如图（），在四边形中，，，，点，分别在边，上，且，试猜想之间的数量关系，并给出证明． 【联想拓展】 (3)如图（），在中，，，点均在边上，且，试猜想满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1)见解析； (2)，见解析； (3)，见解析． 【思路引导】（）小明同学：把绕点逆时针旋转至，然后证明，则有，从而得出；小红同学：延长，并在的延长线上截取，证明，所以，然后证明，则有，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，从而得出； （）把绕点逆时针旋转至，所以，，，，然后证明，所以，再通过勾股定理得，则． 【规范解答】（1）解：小明同学：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵四边形是正方形， ∴， ， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 小红同学：如图（）延长，并在的延长线上截取， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：如图（）把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即点，，共线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：， 如图（），把绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴． 能力提升进阶练 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）将点向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得到的点的坐标是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【规范解答】本题考查平面直角坐标系中点的平移规律，平移中点的变化规律是横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，根据规律逐步计算即可得到答案． 已知点的坐标为， 向下平移个单位，纵坐标需要减， 平移后纵坐标为， 再向左平移个单位，横坐标需要减， 平移后横坐标为， 最终得到的点的坐标是， 故选B． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，．矩形绕点顺时针旋转一定的角度得到，若点的对应点落在边上，则的长是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【思路引导】根据矩形的性质得到，根据旋转的性质，由勾股定理得到，即可求解． 【规范解答】解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由旋转的性质可得：， 在中，， ∴． 3．（25-26八年级下·福建宁德·期中）将直线绕原点旋转得到直线，再将直线向下平移5个单位长度得到直线，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】取直线上任意两点，得到绕原点旋转后的对应点，进而求出直线，根据平移的性质求出直线，进而求不等式即可． 【规范解答】解：当时，， 当时，， ∴直线经过，， ∵，绕原点旋转后的对应点分别为，， ∴直线经过，， 设直线， 则， 解得：， 即， 将直线向下平移5个单位长度得到直线， 则不等式的解集即为不等式的解集， 解得． 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，将一块直角三角尺（，）沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点．若，，则的长为________． 【答案】5 【思路引导】根据平移的性质得出，利用线段的和差关系求出的长，进而求得的长度，最后根据含角的直角三角形的性质求得的长． 【规范解答】解：∵直角三角尺沿射线方向平移到三角尺的位置，点的对应点为点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴， ∴． 5．（25-26八年级下·四川达州·期中）定义：在平面直角坐标系中，将点P绕点旋转得到点Q，则称点Q为点P的“发展点”．当时，点的“发展点”为________；若点P在直线上，其“发展点”Q在直线上，则点T的坐标为________； 【答案】 ， 【思路引导】设点的“发展点”为，根据题意，得，求解即可；设点，其“发展点”Q在直线上，不妨设为，根据对称性质求解即可； 【规范解答】解：设点的“发展点”为， 根据题意，得，根据对称性质，得， 解得， 故点的“发展点”为； 设点，其“发展点”Q在直线上，不妨设为，， 根据题意，得， 整理，得， 解得， 故； 6．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，两个大小一样的直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着的方向平移13cm到达三角形的位置，若，，则阴影部分的面积为_______cm2． 【答案】40 【思路引导】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键． 根据平移的性质可得四边形是长方形，，再用长方形的面积减去的面积即可． 【规范解答】解：∵沿着的方向平移得到， ∴四边形是长方形，， 则阴影部分的面积为：． 7．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）在边长为的正方形网格中，的顶点均在格点上． (1)画出绕点逆时针旋转后的； (2)写出、的坐标； (3)判断的形状，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) ， (3)等腰直角三角形， 【思路引导】（1）根据旋转的性质画出图形，即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标； （3）根据勾股定理及其逆定理证明等腰直角三角形，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：根据坐标系可得： ， （3）解：∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． 8．（25-26八年级下·河北唐山·期中）如图，在边长为1的正方形网格中，，，． (1)平移线段，使点A与点C重合，点B的对应点为点D． ①画出平移后的线段，并写出点D的坐标； ②若线段上有一点，其平移后在线段上的对应点为点Q，写出点Q的坐标； (2)平移线段，使其两端点都在坐标轴上，直接写出点A的对应点的坐标． 【答案】(1)①见解析，；②； (2)或． 【思路引导】（1）①根据平移的性质作图，再写出坐标即可；②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度，即可得到点Q的坐标； （2）设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为，再根据坐标轴上的点的坐标特征求解即可． 【规范解答】（1）解：①线段即为所求作，； ②由题意可知，线段的平移方式为向左平移5个单位长度， 若线段上有一点，则其平移后在线段上的对应点Q坐标为； （2）解：设线段向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， 则点的对应点的坐标为，点的对应点的坐标为， 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 若点在轴上，点在轴上， 则，解得：， 则的坐标为； 综上可知，点A的对应点的坐标为或． 9．（25-26八年级下·陕西渭南·期中）【问题提出】 (1)如图1，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度得到，点的对应点恰好落在上，连接，连接并延长交于点，求的度数； 【类比探究】 (2)如图2，在等腰中，，，将等腰绕点逆时针旋转一定角度（旋转角为锐角）得到，点的对应点位于等腰的外部，连接，连接并延长交于点，交于点，求的度数； 【拓展应用】 (3)如图3，某校的露天广场形如等腰，其中，，现施工团队以广场的顶点为旋转中心，将原广场等腰绕点逆时针旋转一个锐角得到，点的对应点在的外部，点的对应点为点，将设置为无障碍健身步道，连接并延长交步道于点，经测量，米，求无障碍健身步道的长． 【答案】(1) (2) (3)400米 【思路引导】（1）由旋转的性质得出，，证出，，则可得出答案； （2）由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案； （3）过点E作交延长线于点G，证明，得出，从而可得结论． 【规范解答】（1）解：，， ，     由旋转的性质得，， ，，     ， ． （2）解：由旋转的性质知，， ∴，即，     ，     ，， ． （3）解：如图，过点作交的延长线于点， ， 由旋转的性质得，，，     ， ， ，     ， ，     又， ， ， ，     米，     （米）， 即无障碍健身步道的长为400米． 10．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，并且实数a、b满足，以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形．点O，B，C的对应点分别为D，E，F． (1)求点C的坐标； (2)如图1，当点D落在线段上时，求点H的坐标； (3)如图2，点K是的三等分点（靠近点B处），点T、点M是线段上的动点，且，求出的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据二次根式有意义的条件可得，即可求解； （2）先证明，可得，再证明，可得，然后在中，利用勾股定理求出的长，即可求解； （3）连接交于点P，结合矩形的性质可得为等边三角形，从而得到，作，交y轴上于点G，连接，则，根据直角三角形可得，从而得到，进而得到，，可证明四边形为平行四边形，可得，从而得到，即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵点， ∴点； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 由（1）得：点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴点； （3）解：如图，连接交于点P， ∵点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 如图，作，交y轴于点G，连接，则， ∴， ∴， ∵点K是的三等分点（靠近点B处）， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即当点A，T，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∴， ∴的最小值为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $