第50讲　二项式定理及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二项式定理及其应用”专题，依据高考评价体系梳理了展开式通项公式、二项式系数性质、特定项系数求解、系数和计算四大核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确“特定项系数”“系数和”占比超60%的高频考查方向，归纳了三类展开式（(a+b)^n、(a+b)^m(c+d)^n、(a+b+c)^n）的常考题型。 课件亮点在于“真题解析+技巧建模+素养提升”的备考设计，如以2024全国甲卷系数最值题为例，通过待定系数法推导不等式组，培养学生的运算能力与推理意识。特设“通项公式应用模板”“赋值法速算系数和”等技巧，帮助学生高效突破考点，教师可依托课件系统开展专题复习，助力学生掌握解题规律，提升高考得分率。

第十章 第50讲　二项式定理及其应用 计数原理、概率及其分布 1 1．(教材经典题)(x－1)10的展开式的第6项的系数是 (　　) 【解析】 C 2．(教材经典题)若二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2项的系数为15，则n＝(　　) A．4　 B．5 C．6　 D．7 【解析】 C 3．(1－2x)(x＋2)3的各项系数和为 (　　) A．－27　 B．27 C．16　 D．－16 【解析】 　　　　方法一：(1－2x)(x＋2)3＝－2x4－11x3－18x2－4x＋8，各项系数和为－2－11－18－4＋8＝－27． 方法二：令x＝1，得各项系数和为(1－2)×(1＋2)3＝－27． A 4．(教材经典题改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是 (　　) A．74　 B．121 C．－74　 D．－121 【解析】 D 5．(教材经典题)在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中，含x4的项的系数是________． 【解析】 　　　　在(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)的展开式中含x4的项即从5个因式中取4个x，1个常数，所以含x4的项为－5x4－4x4－3x4－2x4－x4＝－15x4．所以展开式中，含x4的项的系数是－15． －15 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝____________________________________ (n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝____________，它表示第_______项 二项式系数 k＋1 2．二项式系数的性质 2n 2n－1 目标 1 展开式中的特定项 视角1(a＋b)n的展开式 　　　　　(1)(2025·张家口三模)若(2－x)n的展开式中x2项的系数为240，则n＝ (　　) A．4　 B．5 C．6　 D．8 1－1 【解析】 【答案】C 【解析】 1－1 1 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数r＋1，代回通项公式即可． 视角2　(a＋b)m(c＋d)n的展开式 【解析】 D 1－2 A．24　 B．－24 C．－36　 D．－40 (2)(2026·青岛期初)(x＋y)(x－y)5的展开式中，x4y2项的系数是_____． 【解析】 5 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏． 视角3　 (a＋b＋c)n的展开式 【解析】 1－3 【答案】－873 要求三项展开式中指定的项，常有这几种做法： (1) 两项看成一项，利用二项式定理展开； (2) 因式分解，转化为两个二项式再求解； (3) 看作多个相同因式的乘积，用组合的知识解答． 目标 2 二项式系数与项的系数问题 视角1　二项式系数和与所有项系数和 　　　　　(1)(2026·唐山期初)(多选)在(x－y)5的展开式中，下列说法正确的是 (　 　) A．一共有5项 B．第3项为－10x3y2 C．所有项的系数和为0 D．所有项的二项式系数和为32 　　　　(x－y)5的展开式共有6项，故A不正确； 【解析】 　　　　(x－y)5的展开式共有6项，故A不正确； 2－1 令x＝y＝1，可得所有项的系数和为0，C正确； 所有项的二项式系数和为25＝32，D正确． CD 　　　　　(2)(多选)若(1－2x)2 026＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 026x2 026，则下列结果正确的是 (　　　) 2－1 【解析】 　　　　令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 026＝(－1)2 026＝1①，故A正确； 两边对x求导得－4 052(1－2x)2 025＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 026a2 026x2 025，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 026a2 026＝4 052，故D正确． 【答案】ABD 变式2　(2025·上饶二模)(多选)若(x＋2)(x－1)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋a3(x＋1)3＋…＋a9(x＋1)9，则下列结论正确的是 (　 　) A．a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2 B．a7＝96 C．a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝4 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝－15 【解析】 　　　　对于A，令x＝－1，得a0＝28＝256．令x＝0，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2，因此a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2－a0＝－254，A错误； 对于C，令x＋1＝2，即x＝1，得a0＋2a1＋22a2＋23a3＋…＋29a9＝0，C错误； 对于D，原等式两边求导得(x－1)8＋8(x＋2)(x－1)7＝a1＋2a2(x＋1)＋3a3(x＋1)2＋…＋9a9(x＋1)8，令x＝0，得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝(－1)8＋8×2×(－1)7＝－15，D正确． 【答案】BD 视角2　二项式系数与项的系数的最值 　　　　　(1)(3＋2x)n的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则n的值为 (　　) A．8　 B．7 C．6　 D．5 【解析】 2－2 C 【解析】 2－2 5 目标 3 二项式定理的综合应用 　　　(1) 已知今天是星期三，则67－1天后是 (　　) A．星期一　 B．星期二 C．星期三　 D．星期五 3 【解析】 A 【解析】 3 D 【解析】 A 2．(2026·济南期初)(a＋2x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ (　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 B A．n＝8 B．展开式中各项系数的和为38 C．展开式中存在常数项 D．展开式中x6的系数为16 【解析】 　　　　对于A，由二项式系数和的性质得2n＝256，解得n＝8，故A正确； 【答案】AC 4．已知(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，则a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝ (　　) A．9　 B．10 C．18　 D．19 【解析】 　　　　由(2x－3)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8＋a9(x－1)9，得(x－1) (2x－3)9＝a0(x－1)＋a1(x－1)2＋a2(x－1)3＋…＋a8(x－1)9＋a9(x－1)10，分别对两边进行求导得(2x－3)9＋18(x－1)(2x－3)8＝a0＋2a1(x－1)＋3a2(x－1)2＋…＋9a8(x－1)8＋10a9(x－1)9， 令x＝2，得(2×2－3)9＋18×(2－1)×(2×2－3)8＝a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9，得a0＋2a1＋3a2＋…＋9a8＋10a9＝19． D 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题   A．4　 B．5 C．6　 D．8 【解析】 A 2．(2025·福州三模)设(1－2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝ (　　) A．－2　 B．－1 C．0　 D．1 【解析】 　　　　令x＝0，得a0＝1； 令x＝1，得(－1)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－2． A 【解析】 【答案】B A．－840　 B．－420 C．420　 D．840 【解析】 C 5．(2025·镇江期初)若(3＋x)5＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋a3(1＋x)3＋a4(1＋x)4＋a5(1＋x)5，x∈R，则a1－a2＋a3－a4＋a5＝ (　　) A．－31　 B．31 C．－32　 D．32 【解析】 　　　　令x＝－1，得(3－1)5＝a0，即a0＝32；令x＝－2，得(3－2)5＝1＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，即1＝32－a1＋a2－a3＋a4－a5，所以a1－a2＋a3－a4＋a5＝31． B 6．(2025·汕头一模)在(x－2 021)(x＋2 022)(x－2 023)(x＋2 024)(x－2 025)的展开式中，含x4的项的系数是 (　　) A．－2 025　 B．－2 023 C．－2 021　 D．2 025 【解析】 　　　　根据多项式的乘法，5个因式中，4个取一次项x，1个取常数项，相乘可得x4项．常数项共5种取法，合并同类项得x4项的系数为－2 021＋2 022－2 023＋2 024－2 025＝－2 023． B 二、多项选择题 7．(2026·益阳期初)若(x＋1)(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，则 (　 　) A．a0＝64 B．a7＝64 C．a0＋a1＋a2＋…＋a7＝2 D．a1＋a3＋a5＋a7＝a2＋a4＋a6 【解析】 　　　　对于A，令x＝0，得1×(－2)6＝a0，即a0＝64，故A正确． 对于C，令x＝1，得2×(－1)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a7，即a0＋a1＋a2＋…＋a7＝2，故C正确． 【答案】AC 【解析】 对于B，二项式系数的和为26＝64，故B正确； 【答案】 BC 9．已知(x2＋x＋1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18，则下列说法正确的有 (　 　) A．a0＝1 B．a2＝42 【解析】 　　　　对于A，令x＝0，则a0＝(0＋0＋1)9＝1，A正确． 对于D，因为[(x2＋x＋1)9]′＝9(x2＋x＋1)8(2x＋1)，(a0＋a1x＋a2x2＋…＋a18x18)′＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，所以9(x2＋x＋1)8(2x＋1)＝a1＋2a2x＋…＋18a18x17，令x＝1，则a1＋2a2＋3a3＋…＋18a18＝9×38×3＝311，D正确． 【答案】AD 三、填空题 10．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_____，a1＋a2＋a3＋a4＝______． 【解析】 　　　　令x＝0，则a0＝1．又(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，故(1－2x)4＝a0＋a1(－2x)＋a2(－2x)2＋a3(－2x)3＋a4(－2x)4． 令t＝－2x，则(1＋t)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4，令t＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝24，故a1＋a2＋a3＋a4＝15． 1 15 11．(2025·苏州期末)已知x8＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a8(x－1)8，则a2＝______． 【解析】 28 12．(2025·保定二模)若(x－1)n(n∈N*)的展开式各项系数的绝对值之和为512，则(x＋1)8(x－1)n的展开式中x11的系数为________． 【解析】 　　　　(x－1)n的展开式各项系数的绝对值之和等于(x＋1)n的展开式各项系数之和，则(1＋1)n＝512，得n＝9，则(x＋1)8(x－1)n＝(x2－1)8(x－1)． －56 13．(2025·梅州质检)912的末三位数是_______． 【解析】 481 14．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式(a＋b)n(n＝1，2，3，…)展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它“肩上”的两个数值之和，每一行第k(k≤n，k∈N*)个数组成的数列称为第k斜列．该三角形数阵前5行如图所示，则该三角形数阵前2 026行第k斜列与第k＋1斜列各项之和最大时，k的值为__________． 【解析】 【答案】1 013 四、解答题 15．(2026·镇江期初)已知f(x)＝(x－2)n，n∈N*． (1) 当n＝10时，f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，求a0，a1，a2，…，an中的最大值； 【解答】 四、解答题 15．(2026·镇江期初)已知f(x)＝(x－2)n，n∈N*． 【解答】 B组　创新题体验 16．设a，b∈Z，a≠0．如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则 (1) 若数列{an}满足an＝2n－1，其前n项和为Sn，证明：279|S3 000； 【解答】 16．设a，b∈Z，a≠0．如果存在q∈Z使得b＝aq，那么就说b可被a整除(或a整除b)，记作a|b，且称b是a的倍数，a是b的约数(也可称为除数、因数)．b不能被a整除就记作ab．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若a|b，b|c，则 (2) 若n为奇数，求证：an＋bn能被a＋b整除． 【解答】 Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn 展开式中各项的二项式系数为C(k∈{0，1，2，…，n}) a|c；②a，b互质，若a|c，b|c，则ab|c；③若a|bi，则a|ibi，其中ci∈Z，i＝1，2，3，…，n． $