随机事件与概率考点归纳 课件-2027届高三数学一轮复习

随机事件与概率考点归纳 1.样本点和样本空间 (1)定义:我们把随机试验E的每个可能的　　　　　　称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的　 .  (2)表示:一般地,我们用Ω表示样本空间,用ω表示样本点.如果一个随机试验有n个可能结果ω1,ω2,…,ωn,则称样本空间Ω={ω1,ω2,…,ωn}为有限样本空间. 基本结果 样本空间 2.事件的分类 确定事件 必然 事件 Ω作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以Ω总会发生,我们称Ω为必然事件 不可能 事件 空集⌀不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称⌀为不可能事件 随机事件 我们将样本空间Ω的子集称为随机事件,简称事件 基本事件 把只包含一个样本点的事件称为基本事件 3.事件的关系与运算 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 包含关系 A发生,则B一定发生 　　　　    相等关系 B⊇A且A⊇B 　　　　    并事件(和事件) A与B至少有一个发生 A∪B或A+B   A⊆B A=B 事件的关系或运算 含义 符号表示 图形表示 交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB   互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B=⌀   互为对立 A与B有且 仅有一个发生 A∩B=⌀, A∪B=Ω   事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集 4.频率与概率 (1)定义 一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小 (2)概率的基本性质 性质1:对任意的事件A,都有P(A)　　　;  性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=　　　,P(⌀)=　　　;  性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=　　　　　　;  性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=　　　　,P(A)=　　　　　;  性质5:如果A⊆B,那么　　　　　　,由该性质可得,对于任意事件A,因为⌀⊆A⊆Ω,所以0≤P(A)≤1;  性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,有P(A∪B)=　　　　　　　　　　.  ≥0 1 0 P(A)+P(B)　 1-P(A) 1-P(B) P(A)≤P(B)　 P(A)+P(B)-P(A∩B) 微思考概率与频率有什么区别? 提示 (1)概率是一个确定的数,是客观存在的,与试验次数无关,它度量该事件发生的可能性; (2)频率本身是随机的,在试验前不能确定,做同样次数的重复试验得到的事件的频率不一定相同; (3)频率是概率的近似值,在实际问题中,仅当试验次数足够多时,频率可近似地看作概率. 5.古典概型 (1)具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型. ①有限性:样本空间的样本点只有　　　　　;  ②等可能性:每个样本点发生的可能性　　　　　.  　 判断一个试验是否是古典概型的关键点 (2)古典概型的概率公式 一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的 k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=　　　　　　　　　　.其中,n(A)和 n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.  有限个　 相等 [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的.(　　) (2)在大量的重复试验中,概率是频率的稳定值.(　　) (3)若P(A)+P(B)=1,则A,B互相对立.(　　) (4)6张奖券中只有一张有奖,甲、乙先后各抽取一张,则甲中奖的概率小于乙中奖的概率.(　　) × 解析 随机事件的概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值,不一定相同. √ × 解析 P(A)+P(B)=1时,A,B不一定对立,如掷骰子一次A为“掷出偶数点”,B为“掷出点数不大于3”,P(A)+P(B)=1,但A,B不对立. × 解析 甲、乙中奖的概率相同. 2.(人A必修二教材习题改编)从装有3个红球和5个黄球的口袋内任取3个球,那么“至少有1个红球”的对立事件是(　　) A.至多有2个红球 B.至少有2个黄球 C.都是黄球 D.至多有1个红球 C 解析 由对立事件的性质得“至少有1个红球”的对立事件为取不到红球,即取到的都是黄球,故C正确.故选C. 3.(多选题)(人A必修二教材习题改编)将一枚骰子向上抛掷一次,设事件A=“向上的一面出现奇数点”,事件B=“向上的一面出现的点数不超过2”,事件C=“向上的一面出现的点数不小于4”,则下列说法中正确的有(　　) A.B=⌀ B.C=“向上的一面出现的点数大于3” C.AC=“向上的一面出现的点数不小于3” D.AC=“向上的一面出现的点数为2” BC 解析 由题意知事件A=“向上的一面出现的点数为1,3,5”;事件B=“向上的一面出现的点数为1,2”;事件C=“向上的一面出现的点数为4,5,6”,所以B=“向上的一面出现的点数为2”,故A错误;C=“向上的一面出现的点数为4,5,6”,故B正确;AC=“向上的一面出现的点数为3,4,5,6”,故C正确;AC=“向上的一面出现的点数为5”,故D错误.故选BC. 4.(人A必修二教材例题改编)从大于1且小于50的整数中任意选取1个,则被选取的整数是质数的概率为(　　) A.　　　　　B. C.　　　　　D. C 解析 大于1且小于50的整数共有48个,其中质数包含2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,共15个,因此所求概率为故选C. 5.(2023·全国甲,文4)某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. D 解析 由题意,设高一年级2名学生为A,B,高二年级2名学生为C,D,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,这2名学生来自不同年级的组合有AC,AD,BC,BD,共4种,故所求的概率P=故选D. 6.抛掷一枚骰子,记事件A=“出现点数是奇数”,事件B=“出现点数是3的倍数”,则P(A∪B)=　　　,P(A∩B)=　　　.  解析 抛掷一枚骰子,所有可能出现的点数是1,2,3,4,5,6,共6个样本点,事件A∪B包括的点数是1,3,5,6,共4个样本点,故P(A∪B)=;事件A∩B包括的点数是3,共1个样本点,故P(A∩B)= 微点拨 定义多个事件的和事件以及积事件.例如,对于三个事件A,B,C,A∪B∪C(或A+B+C)发生当且仅当A,B,C中至少一个发生, A∩B∩C(或ABC)发生当且仅当A,B,C同时发生. 常用结论 1.当随机事件A,B互斥时,不一定对立;当随机事件A,B对立时,一定互斥,即两事件互斥是对立的必要不充分条件. 2.若事件A1,A2,…,An两两互斥,则P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An). 研考点•精准突破 考点一　随机事件间关系的判断 例1　(1)(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两弹都击中飞机”,事件B=“两弹都没击中飞机”,事件C=“恰有一弹击中飞机”,事件D=“至少有一弹击中飞机”,则下列关系正确的是(　　) A.A∩D=⌀ B.B∩D=⌀ C.A∪C=D D.A∪B=B∪D BC 解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中、第二枚没击中或第一枚没击中、第二枚击中,“至少有一弹击中飞机”包含两种情况,一种是恰有一弹击中,另一种是两弹都击中,故A∩D≠⌀,B∩D=⌀,A∪C=D,A∪B≠B∪D.故选BC. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(多选题)下列结论正确的有(　　) A.若A,B互为对立事件,P(A)=1,则P(B)=0 B.若事件A,B,C两两互斥,则事件A与B∪C互斥 C.若事件A与B对立,则P(A∪B)=1 D.若事件A与B互斥,则它们的对立事件也互斥 ABC 解析 由题意得,P(B)=1-P(A)=0,故A正确;若事件A,B,C两两互斥,则事件A,B,C不可能同时发生,则事件A与B∪C也不可能同时发生,则事件A与B∪C互斥,故B正确;若事件A与B对立,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故C正确;若事件A,B互斥但不对立,则它们的对立事件不互斥,故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　判断事件关系的策略 (1)判断事件的互斥、对立关系时一般用定义法:不可能同时发生的两个事件为互斥事件;有且仅有一个发生的两个事件为对立事件. (2)判断事件的交、并关系时,一是紧扣运算的定义,二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果,必要时可列出全部的试验结果进行分析,也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练1](多选题)抛掷一枚质地均匀的骰子,有如下事件: Ω={1,2,3,4,5,6},Ci=“点数为i”,其中i=1,2,3,4,5,6,D1=“点数不大于2”, D2=“点数大于2”,D3=“点数大于4”,则(　　) A.C1与C2互斥 B.D1∪D2=Ω,D1D2=⌀ C.D3⊆D2 D.C2,C3为对立事件 ABC 解析 由题知C1与C2不可能同时发生,所以C1与C2互斥,故A正确;事件D1={1,2},D2={3,4,5,6},因此D1∪D2=Ω,D1D2=⌀,故B正确;事件D3={5,6},故D3⊆D2,故C正确;C2与C3不可能同时发生,但也可能都不发生,不互为对立事件,故D错误.故选ABC. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点二　随机事件的频率与概率 例2　如图,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间/min 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 选择L1的人数 6 12 18 12 12 选择L2的人数 0 4 16 16 4 考点一 考点二 考点三 考点四 (1)试估计40 min内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率; (3)现甲、乙两人分别有40 min和50 min用于赶往火车站,为了尽可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径. 解 (1)由已知共调查了100人,其中40 min内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),用频率估计相应的概率为p==0.44. (2)选择L1的有60人,选择L2的有40人,故由调查结果得频率为 所用时间/min 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 L1的频率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的频率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 考点一 考点二 考点三 考点四 (3)设事件A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40 min内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50 min内赶到火车站.结合(2)中的表格知P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,P(A2)=0+0.1+0.4=0.5. ∵P(A1)>P(A2),∴甲应选择L1.同理,P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P(B2)=0+0.1+0.4+0.4=0.9. ∵P(B1)<P(B2),∴乙应选择L2. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　计算简单随机事件的频率或概率的解题步骤 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练2]在滑翔伞定点比赛中,飞行员在降落时一般会踩中半径为16 cm的电子靶,以距靶心距离的远近作为打分依据.若某次比赛中规定:降落时距靶心的距离小于8 cm,会获得“优秀飞行员”称号.现随机抽取了100名飞行员此次比赛降落时距靶心距离(单位:cm)的数据如下表: 降落时距靶心距离/cm [0,4) [4,8) [8,12) [12,16] 人数 18 21 39 22 用频率估计概率,若随机抽取1人,则此人为“优秀飞行员”的概率为(　　) A.0.18 B.0.21 C.0.39 D.0.40 C 解析 由题可知,样本容量为100人,获得“优秀飞行员”称号的人数为18+21=39(人),所以随机抽取1人,此人为“优秀飞行员”的概率P==0.39.故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点三　互斥事件与对立事件的概率 例3　经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队等候的人数及相应的概率如下: 排队人数 0 1 2 3 4 5及以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求:(1)至多2人排队等候的概率; (2)至少3人排队等候的概率. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 记“0人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A,B,C,D,E,F彼此互斥. (1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A∪B∪C,所以P(G)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56. (2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D∪E∪F,所以P(H)=P(D∪E∪F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44. (方法二)记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44. 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　求复杂互斥事件的概率的两种方法 (1)直接法 (2)间接法 求所求事件的对立事件的概率,特别是“至多”“至少”型题目,一般用间接法求解更简单. 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练3](多选题)已知随机事件A,B满足P(A)=,P(B)=,则(　　) A.若事件A,B互斥,则P(A+B)= B.若B⊆A,则P(AB)= C.若B⊆A,则P(A+B)= D.若事件A,B互斥,则P()= AC 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 对于A,因为事件A,B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=,故A正确;对于B,因为B⊆A,所以P(AB)=P(B)=,故B错误;对于C,因为B⊆A,所以P(A+B)=P(A)=,故C正确;对于D,事件A与事件B是互斥事件,则为必然事件,所以P()=1,故D错误.故选AC. 考点一 考点二 考点三 考点四 考点四　古典概型 例4　(1)(2024·全国甲,文4)某独唱比赛的决赛阶段共有甲、乙、丙、丁四人参加,每人出场一次,出场次序由随机抽签确定,则丙不是第一个出场,且甲或乙最后出场的概率是(　　) A. B. C. D. C 考点一 考点二 考点三 考点四 解析 (方法一)画出树状图,如图, 由树状图可得,出场次序共有24种,其中符合题意的出场次序共有8种,故所求概率P=故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (方法二)当甲最后出场,乙第一个出场,丙有2种排法,丁就1种,共2种;当甲最后出场,乙排第二位或第三位出场,丙有1种排法,丁就1种,共2种;于是甲最后出场共4种方法,同理乙最后出场共4种方法,于是共8种出场顺序符合题意.共有=24(种)出场次序,根据古典概型的计算公式,所求概率为故选C. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)(2024·全国甲,理16)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中无放回地随机取3次,每次取1个球.记m为前两次取出的球上数字的平均值,n为取出的三个球上数字的平均值,则m与n之差的绝对值不大于的概率为　　　　　.  解析 记先后取出的三个球上的数字分别为a,b,c,则共有=120种可能,令|m-n|=||=||,则|a+b-2c|≤3,根据对称性可知,当c=1或6时,均有2种可能;当c=2或5时,均有10种可能;当c=3或4时,均有16种可能.故满足条件的情形共有56种,故所求概率P= 考点一 考点二 考点三 考点四 教考衔接 (人A必修二10.1.3例8)抛掷两枚质地均匀的骰子(标记为Ⅰ号和Ⅱ号),观察两枚骰子分别可能出现的基本结果. (1)写出这个试验的样本空间,并判断这个试验是否为古典概型; (2)求下列事件的概率: A=“两个点数之和是5”; B=“两个点数相等”; C=“Ⅰ号骰子的点数大于Ⅱ号骰子的点数”. 考点一 考点二 考点三 考点四 解 (1)抛掷一枚骰子有6种等可能的结果,Ⅰ号骰子的每一个结果都可与Ⅱ号骰子的任意一个结果配对,组成掷两枚骰子试验的一个结果.用数字m表示Ⅰ号骰子出现的点数是m,数字n表示Ⅱ号骰子出现的点数是n,则数组(m,n)表示这个试验的一个样本点.因此该试验的样本空间Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4,5,6}},其中共有36个样本点.由于骰子的质地均匀,所以各个样本点出现的可能性相等,因此这个试验是古典概型. 考点一 考点二 考点三 考点四 (2)因为A={(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},所以n(A)=4,从而P(A)=; 因为B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},所以n(B)=6, 从而P(B)=; 因为C={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2), (6,3),(6,4),(6,5)},所以n(C)=15,从而P(C)= 考点一 考点二 考点三 考点四 规律方法　古典概型中样本点个数的探求方法 考点一 考点二 考点三 考点四 [对点训练4](2023·全国乙,文9)某学校举办作文比赛,共设6个主题,每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文,则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　　) A. B. C. D. A 解析 甲、乙两位同学各随机抽取一个主题,共有6×6=36种结果,而甲、乙两位同学抽到同一个主题的结果有6种,所以甲、乙两位同学抽到不同主题的概率P=1-故选A. 考点一 考点二 考点三 考点四 $