随机事件与概率、古典概型 课件-2027届高三数学一轮复习

随机事件与概率、古典概型 课 前 基 础 巩 固 1.样本空间与样本点 （1）样本点：随机试验 的每个可能的__________称为样本点,常用 表示. （2）样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间,常用 表示. （3）有限样本空间:如果一个随机试验有个可能结果,, , , 则称样本空间,, , 为有限样本空间. 基本结果 课 前 基 础 巩 固 2 2.随机事件、必然事件与不可能事件 （1）随机事件：样本空间 的 ______称为随机事件，常用大写字 母,,, 表示.在每次试验中，当且仅当___________________时， 称为事件 发生. （2）随机事件的特殊情形:必然事件 （含有全部样本点）、不可 能事件 （不包含任何样本点）、基本事件（只包含一个样本点）. 子集 中某个样本点出现 课 前 基 础 巩 固 3 3.事件的关系和运算 定义 符号表示 包含（或包含于） 若事件发生,则事件 __________ _______ （或 ） 相等 若事件包含事件，事件 也包 含事件，即且 ,则称 事件与事件 相等 _______ 并事件（或和事件） 事件与事件 ____________发生 （或 ） 一定发生 至少有一个 课 前 基 础 巩 固 4 定义 符号表示 交事件（或积事件） 事件与事件 ______发生 （或 ） 互斥（或互不相容） 事件与事件 ______________ 互为对立 事件和事件 在任何一次试验中 有且仅有一个发生 ，且 同时 不能同时发生 续表 注：事件的对立事件记为 ，对立事件是互斥事件的特殊情况. 课 前 基 础 巩 固 5 4.古典概型 特征 （1）有限性：样本空间的样本点只有________ （2）等可能性：每个样本点发生的可能性______ 概率 公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含 个样本 点，事件包含其中的个样本点，则定义事件 的概率 _ _ _ ____ 有限个 相等 课 前 基 础 巩 固 6 5.概率的基本性质 性质1 非负性 对任意的事件，都有 性质2 极端性 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为 0，即, 性质3 互斥可加性 如果事件与事件互斥，那么 ____________ 性质4 对立互补性 如果事件与事件 互为对立事件，那么 ，即 , _________ 课 前 基 础 巩 固 7 性质5 “单调”性 如果，那么___ 性质6 容斥性 设， 是一个随机试验中的两个事件，有 _______________________ 续表 课 前 基 础 巩 固 8 6.频率与概率 （1）概率：对随机事件发生____________的度量. 可能性大小 （2）概率与频率的关系：随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅 度会缩小,即事件发生的频率会逐渐________事件 发生的概 率.我们称频率的这个性质为频率的稳定性，可以用频率 估 计概率 . 稳定于 课 前 基 础 巩 固 9 常用结论 互斥事件概率加法公式的推广：若事件,，， ， 两两互 斥，则 . 课 前 基 础 巩 固 10 ◆ 对点演练 ◆ 题组一 常识题 1.［教材改编］向一个目标射击两次，用表示“命中目标”， 表示 “没有命中目标”，则该试验的样本空间 ______________. ,,, [解析] 由题意可知该试验的样本空间,,, . 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］在10件产品中有8件一级品，2件二级品，从中任取3 件，若记“3件都是一级品”为事件，则 的对立事件是____________ ____________. 3件中至多 有2件一级品 [解析] 由题可知，“3件都是一级品”为事件，则 的对立事件为“3 件不都是一级品”，即“3件中至多有2件一级品”. 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］某商场共有三层，最初规划第一层为35家生活用品店， 第二层为35家服装店，第三层为30家餐饮店.招商后，最终各层各类 店铺的数量（单位：家）统计如下表： 生活用品店 服装店 餐饮店 第一层 25 7 3 第二层 4 27 4 第三层 6 1 23 课 前 基 础 巩 固 13 若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的概率为 __；若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致 的概率为__. [解析] 若从第一层店铺中随机抽一家，则该店铺与最初规划一致的 概率为 .若从该商场所有店铺中随机抽一家，则该店铺与最初 规划一致的概率为 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：对古典概型的特征掌握不牢;对样本空间或指定事件包含 的样本点个数计算错误;确定事件间的关系时出错,进一步导致应用概 率性质出错. 课 前 基 础 巩 固 15 4.下列试验中，属于古典概型的是____. ①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率； ②向正方形内任意抛掷一点，求点恰与点 重合的概率； ③从1，2，3，4四个数中任取两个数，求所取两数之一是2的概率； ④在上任取一数，求 的概率. ③ [解析] ①中,硬币质地不均匀,不是等可能事件,所以不是古典概型； ②④的样本空间的样本点不是有限个，不是古典概型； ③符合古典概型的特点，是古典概型.故填③. 课 前 基 础 巩 固 16 5.博览会安排了序号分别为1，2，3的三辆车，等可能随机前往酒店 接嘉宾.某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案.方案一：不乘坐第一辆 车，若第二辆车的序号大于第一辆车的序号，则乘坐此车，否则乘 坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车.按照方案一、方案二乘坐 到序号为3的车包含的样本点个数分别是______. 3，2 [解析] 三辆车的出车顺序的样本空间 . 按方案一乘坐到序号为3的车包含的样本点有132,213,231，共3个； 按方案二乘坐到序号为3的车包含的样本点有312,321，共2个. 课 前 基 础 巩 固 17 6.抛掷一个均匀的正方体玩具（各面分别标有数字1，2，3，4，5， 6），事件“朝上一面的数是奇数”，事件 “朝上一面的数不超 过3”，则 __. [解析] 记事件“朝上一面的数是1，2，3”，事件 “朝上一面的 数是5”，则，且与 两个事件互斥，所以 . 课 前 基 础 巩 固 18 探究点一 事件的关系与运算 例1（1）[2025·山东潍坊模拟]从装有3个红球和3个黑球的口袋内任 取3球，那么互斥而不对立的两个事件是( ) A.至少一个红球和都是红球 B.至少一个黑球和都是红球 C.至少一个黑球和至少一个红球 D.恰有一个红球和恰有一个黑球 ［思路点拨］由互斥事件及对立事件的定义进行依次判断. √ 课 堂 考 点 探 究 19 [解析] 对于A，至少一个红球和都是红球不互斥， 同时发生的情况是都是红球，所以A不符合题意； 对于B，至少一个黑球和都是红球互斥并对立，所以B不符合题意； 对于C，至少一个黑球和至少一个红球不互斥，一个黑球、 两个红球这种情况同时发生，所以C不符合题意； 对于D，恰有一个红球和恰有一个黑球，互斥但不对立， 所以D符合题意.故选D. 课 堂 考 点 探 究 20 （2）食用油有两种制取工艺：压榨法和浸出法.压榨法由于不涉及添 加任何化学物质，榨出的油各种成分保持较为完整，但缺点是出油 率低；浸出法制油粕中残油少，出油率高，油料资源得到了充分的 利用.我国植物油料种类繁多，而压榨法和浸出法这两种油脂制取工 艺分别适用于不同的油料，常见的采用压榨法的有芝麻油、花生油 等，常见的采用浸出法的有油菜籽油，大豆油等.现有4个完全相同的 不透明油桶里面分别装有芝麻油、花生油、油菜籽油、大豆油，从 中任取一桶，则下列两个事件互为对立事件的是( ) 课 堂 考 点 探 究 21 A.“取出芝麻油”和“取出花生油” B.“取出浸出油”和“取出大豆油” C.“取出油菜籽油”和“取出大豆油” D.“取出压榨油”和“取出浸出油” ［思路点拨］根据互斥事件和对立事件的定义，结合生活常识直接 判断即可. √ 课 堂 考 点 探 究 22 [解析] 对于A，“取出芝麻油”和“取出花生油”互斥但不对立； 对于B，“取出浸出油”和“取出大豆油”不互斥，也不对立； 对于C，“取出油菜籽油”和“取出大豆油”互斥但不对立； 对于D,“取出压榨油”和“取出浸出油”是对立事件.故选D. 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] 互斥事件、对立事件的判定 定义法 不可能同时发生的两个事件为互斥事件； 两个事件中，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立 事件； 对立事件一定是互斥事件 集合法 ①若，满足 ，则， 是互斥事件； ②若，满足 则， 是对立事件 课 堂 考 点 探 究 24 变式题（1）若干人站成一排，其中为互斥事件的是( ) A.“甲站排头”与“乙站排头” B.“甲站排头”与“乙站排尾” C.“甲站排头”与“乙不站排头” D.“甲不站排头”与“乙不站排头” √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 对于A，因为“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生， 为互斥事件，所以选项A正确； 对于B，因为“甲站排头”与“乙站排尾”可能同时发生， 不是互斥事件，所以选项B不正确； 对于C，因为“甲站排头”与“乙不站排头”可能同时发生， 不是互斥事件，所以选项C不正确； 对于D，因为“甲不站排头”与“乙不站排头”可能同时发生， 不是互斥事件，所以选项D不正确.故选A. 课 堂 考 点 探 究 26 （2）把语文书、数学书、英语书这三本书随机地分给甲、乙、丙三 位同学，每人一本，记事件“甲分得语文书”，事件 “乙分得数 学书”，事件 “丙分得英语书”，则下列说法正确的是( ) A.与 是不可能事件 B. 是必然事件 C.与 不是互斥事件 D.与 既是互斥事件又是对立事件 √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 事件，， 都是随机事件，可能发生， 也可能不发生，故A选项不正确； 不一定发生，故B选项不正确； 与 可能同时发生，故与不是互斥事件，故C选项正确； 与 既不是互斥事件也不是对立事件，故D选项不正确.故选C. 课 堂 考 点 探 究 28 探究点二 古典概型 例2（1）[2024·全国甲卷]甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在 排头，且甲或乙在排尾的概率是( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：画出树状图列出所有结果即可, 适合数据较小不复杂的情况； 思路二:先考虑排尾,安排甲或乙,再考虑丙的位置, 最后安排剩余两人即可. √ 课 堂 考 点 探 究 29 [解析] 方法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、 丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排 尾的排法共有8种，故所求概率 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 30 方法二：当甲排在排尾，乙排在排头时，丙有2种排法， 丁有1种排法，此时有2种排法； 当甲排在排尾，乙排在第二位或第三位时，丙有1种排法， 丁有1种排法，此时有2种排法. 故甲排在排尾共有 （种）排法. 同理，乙排在排尾共有4种排法.故丙不在排头，且甲或乙在排尾共 有 （种）排法.根据古典概型的概率计算公式， 丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 31 方法三：当甲在排尾时，丙有2种排法，乙、丁有 （种）排法， 此时共有 （种）排法； 当乙在排尾时，丙有2种排法，甲、丁有（种）排法， 此时共有 （种）排法. 故丙不在排头，且甲或乙在排尾共有 （种）排法. 根据古典概型的概率计算公式，丙不在排头， 且甲或乙在排尾的概率是 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 32 （2）现有7名学生，其中学生,,的数学成绩优秀，学生, 的物理成绩优秀，学生, 的化学成绩优秀.现要从中选出数学、物 理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛， 被 选中的概率为__. ［思路点拨］列举出数学、物理、化学成绩优秀者各1名的情况数， 并得到 被选中的情况数，进而得到概率. 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，样本空间中包 含的样本点有，，， ， ，，，， ， ，，，共12个， 其中 被选中包含的样本点有，，， ，，，共6个， 故被选中的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 解决古典概型的概率问题的一般步骤: （1）判断本试验是否为古典概型，并通过列举或计算得到样本空间 中样本点的总数 ; （2）找出事件所包含的样本点,得到包含的样本点个数 ; （3）利用公式 ,求出概率 . 课 堂 考 点 探 究 35 变式题（1）将三个1和两个2随机排成一行，则两个2不相邻的概率 为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 36 [解析] 方法一：由题意，该试验的样本空间中的样本点共有 （个），将2个2放入3个1排好后形成的4个空隙中，包含 （个） 样本点， 所求概率 .故选A. 方法二：由题意，将三个1和两个2随机排成一行，包含的样本点有 22111,21211,21121,21112,12211,12121,12112,11221,11212,11122，共 10个，其中两个2不相邻包含的样本点有21211,21121,21112,12121, 12112,11212，共6个，故两个2不相邻的概率为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2026·皖江名校联盟联考］第九届亚洲冬季运动会于2025年2月 7日至2月14日在哈尔滨举行，期间将3名志愿者小李、小张、小明分 配到， 两个场馆服务，每个场馆至少分配1名志愿者，恰好小李 与小明分到一个场馆的概率为_ _. [解析] 将小李、小张、小明分为两组,一组一人,另外一组两人,共有 （种）分法,再将两组人分配到, 两个场馆,共有（种） 分法,根据分步乘法计数原理可知,共有 （种）分法. 小李和小明分到一个场馆的分法有 （种）， 故小李与小明分到一个场馆的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 38 探究点三 概率的基本性质的应用 例3（1）掷两枚质地均匀的骰子，观察掷得的点数.设事件 “至少 有一个点数是奇数”，事件“点数之和是偶数”，事件 发生的概率 为，事件发生的概率为，则 是下列哪个事件 发生的概率( ) A.两个点数都是偶数 B.至多有一个点数是偶数 C.两个点数都是奇数 D.至多有一个点数是奇数 ［思路点拨］由题意，根据交事件的运算，结合概率与事件的关系， 可得答案. √ 课 堂 考 点 探 究 39 [解析] 由题意知，事件“两个点数都为奇数”， 指的是事件的对立事件的概率，事件 的对立事件为至少 有一个点数为偶数，或者至多有一个点数为奇数.故选D. 课 堂 考 点 探 究 40 （2）已知某艺术协会的会员中，有的会员喜爱书画或戏曲，有 的会员喜爱书画，有 的会员同时喜爱书画、戏曲.现从该协会中随机 抽取一名会员，该会员喜爱戏曲的概率为__. ［思路点拨］应用概率的性质列方程求会员喜爱戏曲的概率即可. 课 堂 考 点 探 究 41 [解析] 记事件“该会员喜爱书画”，事件 “该会员喜爱戏曲”， 由题意知，， . 由，得 ， 解得 ，故从该协会中随机抽取一名会员， 该会员喜爱戏曲的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法： （1）直接法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率 的和； （2）间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由 求解，当题目涉及“至多”“至少”型问题时，多考虑 用间接法. 课 堂 考 点 探 究 43 变式题（1）随机事件发生的概率为，随机事件发生的概率为 ， 则事件， 同时发生的概率的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 依题意，, ，由 ，得. 因为 ，所以， 所以事件， 同时发生的概率的取值范围是 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 44 （2）（多选题）某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修 记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占 ， 需要维修2次的占，需要维修3次的占 ，且最多需要维修3次.设 事件“一年内需要维修次”， ,1,2,3，则下列事件的概率正 确的是( ) A.在一年内需要维修的概率为0.25 B.在一年内不需要维修的概率为0.75 C.在一年内维修不超过1次的概率为0.90 D.在一年内最多需要维修2次的概率为0.94 √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 45 [解析] 依题意得,, , 因为最多需要维修3次， 所以 . 对于A，记事件“在一年内需要维修”，则 ， 所以 ， 故A正确； 对于B，记事件“在一年内不需要维修”，则 ， 所以，故B正确； 课 堂 考 点 探 究 46 对于C，记事件 “在一年内维修不超过1次”，则 ， 所以 ，故C正确； 对于D，记事件“在一年内最多需要维修2次”，则 ， 所以 ，故D错误. 故选 . 课 堂 考 点 探 究 探究点四 频率与概率 例4（1）某种心脏手术，成功率为 ，现采用随机模拟的方法估计 “3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生 之间取整数值的随机数，由于成功率是 ，故我们用0，1，2，3表 示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机数 为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812， 832，569，683，271，989，730，537，925，907.由此估计“3例心脏 手术全部成功”的概率为( ) A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5 √ 课 堂 考 点 探 究 48 ［思路点拨］根据频率与概率的关系，由题意，在10组随机数中找出 表示3例心脏手术全部成功的随机数，再利用古典概型的概率公式求解. [解析] 由10组随机数知， 中恰有三个的随机数有569，989两组， 故“3例心脏手术全部成功”的概率为 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 49 （2）（多选题）利用计算机模拟掷两枚硬币的试验，在重复试验次 数为20，100，500时各做5组试验，得到事件 “一个正面朝上，一 个反面朝上”发生的频数和频率表如下： 序 号 频数 频率 频数 频率 频数 频率 1 12 0.6 56 0.56 261 0.522 2 9 0.45 50 0.5 241 0.482 3 13 0.65 48 0.48 250 0.5 4 7 0.35 55 0.55 258 0.516 5 12 0.6 52 0.52 253 0.506 课 堂 考 点 探 究 50 根据以上信息，下列说法正确的有( ) A.试验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有 随机性 B.试验次数较小时，频率波动较大，试验次数较大时，频率波动较 小，所以试验次数越少越好 C.随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在一个固定 值附近 D.要得到某事件发生的概率，只需要做一次随机试验，得到事件发 生的频率即为概率 ［思路点拨］根据频率与概率的关系判断. √ √ 课 堂 考 点 探 究 51 [解析] 对于A，试验次数相同时，频率可能不同， 说明随机事件发生的频率具有随机性，故A正确； 对于B，试验次数较小时，频率波动较大,试验次数较大时， 频率波动较小，所以试验次数越多越好，故B错误； 对于C，随机事件发生的频率会随着试验次数增加而逐渐稳定在 一个固定值附近，故C正确； 对于D，要得到某事件发生的概率，需要多次试验才能得到概率 的估计值，故D错误.故选 . 课 堂 考 点 探 究 52 [总结反思] 随机模拟估计概率需注意以下三点:（1）当试验的样本点等可能时,样 本空间即为产生随机数的范围,每个随机数代表一个样本点;（2）研究 等可能事件的概率时,用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个 数及总个数;（3）当每次试验结果需要个随机数表示时,要把 个随机 数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数能否重复. 课 堂 考 点 探 究 53 变式题（1）从某自动包装机包装的奶粉中，随机抽取20袋，测得各 袋的质量（单位： ）如下表： 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 用频率估计概率，该包装机包装的袋装奶粉质量在 （单位： ）内的概率为( ) A.0.1 B.0.15 C.0.25 D.0.5 √ 课 堂 考 点 探 究 54 [解析] 在所给的数据中，在 内的数据有 498,501,500,501,499，共5个，所以在 内的频率为 ，用频率估计概率，则所求概率为0.25.故选C. 课 堂 考 点 探 究 （2）在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛 （比赛采用3局2胜制），假设每局比赛甲获胜的概率为 ，现采用 随机模拟的方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生 之间 的整数随机数，指定1，2，3表示一局比赛中甲胜，4，5表示一局比 赛中乙胜、经随机模拟产生了如下20组随机数： 334 221 433 551 454 452 315 142 331 423 212 541 121 451 231 414 312 552 324 115 据此估计甲获得冠军的概率为_____. 0.65 课 堂 考 点 探 究 56 [解析] 20组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312, 324,115共13组数据表示甲获得冠军， 故估计甲获得冠军的概率为 . 课 堂 考 点 探 究 57 【备选理由】例1考查事件的关系与运算; 例1 ［配例1使用］（多选题）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落 地时朝上的面的点数，其样本空间为 ，有如下事件： “点数为 ”，其中，2，3，4，5，6，“点数不大于2”， “点数大 于2”， “点数大于4”.则下列说法正确的是( ) A.与互斥 B. ， C. D.， 为对立事件 √ √ √ 教 师 备 用 习 题 58 [解析] 由题知与不可能同时发生，所以与 互斥，故A正确； 事件包含事件,，事件包含事件,,, ， 因此 ， ，故B正确； 事件包含事件, ，故，故C正确； 与 不可能同时发生，但也可能都不发生， 不互为对立事件，故D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 59 例2 ［配例2使用］抛掷一枚均匀的正四面体骰子，骰子静止后，认 为朝下的面所包含的三条棱接触过地面，则经过3次抛掷后，存在从 未接触过地面的棱的概率是( ) A. B. C. D. [解析] 记均匀的正四面体 的4个面分别为1,2,3,4，抛掷3次的样 本点记为,,,，所有不同的样本点有 （个），它们等可能发生，抛掷3次，若正四面体 的每条棱都 接触过地面，则,,互不相等，共有 个样本点，所以存在从未接 触过地面的棱的概率是 .故选D. √ 【备选理由】例2考查古典概型; 教 师 备 用 习 题 60 例3 ［配例3使用］（多选题）已知事件, 发生的概率分别为 , ，则下列说法正确的是( ) A. B. C.若，则 D.一定有 √ √ 【备选理由】例3考查概率的基本性质. 教 师 备 用 习 题 61 [解析] 对于A， ，故A正确； 对于B，因为,，所以 ， 所以 ，故B正确； 教 师 备 用 习 题 62 对于C，因为 ， 所以，故C错误； 对于D，记事件 “掷一枚骰子，朝上面的点数小于3”， 则，记事件 “掷一枚骰子，朝上面的点数为6”, 则，但不成立，故D错误.故选 . 教 师 备 用 习 题 63 $