精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

2025级高一下学期期中检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（   ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的定义判断． 【详解】由题意虚部为． 2. 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】. 3. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体； B中图形绕轴旋转可得圆锥； C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体； D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A. 4. 已知平面向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解. 【详解】已知平面向量，，则 若与垂直，则，即，解得，故C正确. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象的变换，结合函数解析式，直接判断并选择即可. 【详解】， 故只需把函数的图象向左平移个单位即可. 6. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 7. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 8. 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意结合基底的定义逐个分析判断. 【详解】对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，， 所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确； 对于B，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确； 对于C，因为，，所以， 所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误； 对于D，若与共线，则，所以， 因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解， 所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确. 故选：ABD 10. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ） A. B. 点是函数的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴 【答案】AB 【解析】 【分析】先利用题给条件求得的值，进而求得函数的解析式，即可判断选项A；整体代入法验证选项BD，利用正弦函数图像性质判断选项C. 【详解】∵的两条相邻对称轴距离为. ∴，∴.∴. ∵，∴，又，则. ∴.∴选项A正确； 选项B：由， 可得函数对称中心的横坐标：. 当时，对称中心为.B正确； 选项C：当时，，， ∴在上不递增，C错误； 选项D：由，. 可得对称轴：，.∴不是对称轴. 或验证法把代入得，∴不是对称轴. ∴D错误； 故选：AB. 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A项利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理可证；B项利用线面平行的判定定理，得出平面，再根据三棱锥的体积公式求解即可；CD项，通过建立空间直角坐标系，利用向量坐标法表示线线角与线面角，建立函数关系求解范围与最值即可进行判断. 【详解】A项，如图，连接. ，，， 且平面， 平面，平面， ，同理，， ，且平面， 直线平面，故A正确； B项，，且， 四边形是平行四边形. ，平面，平面， 平面，点P在线段上运动， 到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值， 又的面积是定值， 三棱锥的体积为定值. 不妨设正方体的棱长为1， 则， 即三棱锥的体积为定值，故B正确； 如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 点P在线段上运动，则可设， 则. C项，，． 所以， ， 因为，则，， ，因为异面直线与所成角为锐角或直角， 故与所成角的取值范围为，故C错误； D项， ，． 由A选项正确，可知是平面的一个法向量， ∴直线与平面所成角的正弦值为 ， ∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确． 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是实数，则_____ 【答案】1 【解析】 【分析】利用复数运算法则整理原式，结合复数的虚部系数为0求解. 【详解】由题意知，， 因为是实数，根据实数的定义：复数的虚部系数为0， 可得方程：，解得. 13. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由数量积的几何意义计算投影向量可得. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 14. 在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可证垂直平分，同理可得垂直平分，则球心在上，再利用勾股定理求出球的半径即可． 【详解】如图，设的中点分别为，球心为，半径为， ， ，又平面， 平面，又平面， ，则垂直平分， 同理可得垂直平分，故球心在上，设， ，， ， 又，解得，， 则四面体外接球的表面积为． 四、解答题:本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， 求 （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过复数除法计算，再根据共轭复数的定义得到. （2）利用复数模的性质，分别计算分子和分母的模后再相除. 【小问1详解】 由已知，可得， 则 因此. 【小问2详解】 根据复数模的性质，代入已知得： ， 因此： 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据平面向量的数量积的坐标表示、三角恒等变换公式化简可得，再结合正弦函数的单调性求解即可； （2）由可得，再根据诱导公式、二倍角公式求解即可. 【小问1详解】 由 ， 取，解得， 故的单调增区间为， 【小问2详解】 由（1）知，则， 所以. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图， （1）求函数的最小正周期T； （2）在中，，D是的中点，，设，, ，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由图象可得周期 （2）由周期求得，再利用最高点（或最低点）求得得函数解析式，然后结合已知条件求得，设，．利用余弦定理建立的关系求解后，再由三角形面积公式计算面积． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 由图可知，，，解得，．∴， ∵，∴．∴， ∵ ，∴． ∵，即，∴． 设，． ∵，∴， ∵，， ∴分别在和中，由余弦定理得， ∴． 在中，由余弦定理得． ∴，∴（舍），或，即． 所以，的面积为 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，由线面平行的判定定理证明可得； （2）先由线面垂直证明，再由线面垂直的判定定理证明可得； （3）取中点为，连接，利用等体积法可得. 【小问1详解】 证明：连接交于，连接， 是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面. 【小问2详解】 证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面. 【小问3详解】 如图，取中点为，连接， 在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由（2）得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为. 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，进一步整理得，即可求得角； （2）利用正弦定理将所给等式转化为关于的等式，结合余弦定理即可求出； （3）利用三角形面积公式，将角平分线表示为，对边对角模型，，转化为三角函数求值域． 【小问1详解】 由及正弦定理得： ， 因为，所以， 所以，又，所以. 【小问2详解】 由正弦定理，得， 由得：， 即， 由余弦定理得，， 联立解得. 【小问3详解】 如图所示，由（1）知，由于， ， ， 由（2）知， 因为，所以， 则 令，则， 因为是锐角三角形，则， 则， 令，由解析式可知在单调递增， 所以，即 即长度的范围为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一下学期期中检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数（为虚数单位）的虚部为（   ） A. 2 B. C. D. 2. 等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，，若与垂直，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ） A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位 C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位 6. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若，，则. B. 若，，则. C. 若，，，则 D. 若，，则 7. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ） A. B. 点是函数的对称中心 C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴 11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ） A. 直线平面 B. 三棱锥的体积为定值 C. 异面直线与所成角的取值范围是 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数是实数，则_____ 13. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 14. 在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 四、解答题:本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知， 求 （1）； （2）. 16. 已知平面向量，函数. （1）求的单调递增区间； （2）若锐角满足，求的值. 17. 已知函数（，，）的部分图象如图， （1）求函数的最小正周期T； （2）在中，，D是的中点，，设，, ，求的面积． 18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点. （1）求证：平面 （2）求证：平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，. （1）求角的大小； （2）求边的值； （3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $