精品解析：四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年高一下学期半期考试 数学试题 满分 150分 考试时间 120分钟 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，满分150分，检测时间120分钟. 注意事项： 1、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 2、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ） A. 7 B. 10 C. 14 D. 70 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. （ ） A. B. C. D. 7 若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 8. 已知是内一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是 A. B. C. D. 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量的长度相等 B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C. 零向量的长度都为0 D. 两个单位向量的长度相等 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B. 所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 13. 已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______. 14. 如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知平面向量. （1）若，求的值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 16. 如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 17. 在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 18. 如图所示，在中，，，与相交于点，设，. （1）试用向量表示； （2）过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，定值. 19. 已知，其图象一个对称轴， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期半期考试 数学试题 满分 150分 考试时间 120分钟 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共4页，满分150分，检测时间120分钟. 注意事项： 1、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 2、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 3、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1. 若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数相等直接求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 故选：C 2. 已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（ ） A. 7 B. 10 C. 14 D. 70 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的公式直接计算即可. 【详解】根据向量的数量积，做的功为cos 60°＝. 故选：D 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦的二倍角公式求值即可. 【详解】由， 故选：D. 4. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法，结合复数的几何意义求解判断. 【详解】复数在复平面内对应点位于第一象限. 故选：A 5. 已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据在上的投影向量公式即可求解. 【详解】在上的投影向量的坐标为. 故选：C. 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的余弦公式即可求解. 【详解】. 故选：B 7. 若，则（ ） A. 0 B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和正切公式展开后再代入即可. 【详解】，即， 则， . 故选：C. 8. 已知是内的一点，且，若和 的面积分别为，则的最小值是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：利用向量的数量积的运算求得bc的值，利用三角形的面积公式求得x+y的值，进而把转化为利用基本不等式求得的最小值即可． 因为，， 所以 故选B． 考点：平面向量；均值不等式 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 向量与向量的长度相等 B. 两个有共同起点，且长度相等向量，它们的终点相同 C. 零向量长度都为0 D. 两个单位向量的长度相等 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由向量的概念逐一判断，即可得到结果. 【详解】向量与向量互为相反向量，所以模长相等，故A正确； 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的方向不一定相同，终点也不一定相同，故B错误； 零向量的模都是0，故C正确； 单位向量的长度都是1，故D正确； 故选：ACD 10. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B. 所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 【答案】AC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案. 【详解】将函数的图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，A正确. 将函数的图象所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，可以得到函数的图象，B不正确. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数的图象，C正确. 将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可以得到函数， D不正确. 故选：AC 11. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ） A. 若A >B， 则 B. ，则 C. 若，则定为直角三角形 D. 若且该三角形有两解，则b的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正弦定理、余弦定理，结合各选项条件逐项求解判断. 【详解】对于A，在中，，A正确； 对于B，由余弦定理得，即， 而，解得，B错误； 对于C，由余弦定理得，整理得，为直角三角形，C正确； 对于D，有两解，则，而，因此，D正确. 故选：ACD 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12. 已知，求与向量方向相同的单位向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 13. 已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 14. 如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】由向量的加法原则求解即可. 【详解】因为， 因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以， 所以. 故答案为：2. 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. 已知平面向量. （1）若，求值； （2）若求的值； （3）若向量，若与共线，求 【答案】（1） （2） （3）18 【解析】 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【小问1详解】 因为，所以，则，解得， 故，. 【小问2详解】 因为，所以，则，. 【小问3详解】 ，， 若与共线，则，解得，即， 故. 16. 如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 【答案】（1）；；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 17. 在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】 （1）由向量平行的性质，正弦定理可得，由余弦定理得：，即可得解的值． （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解． 详解】解：（1）由向量，，且， 得： 由正弦定理，得： 化为：，由余弦定理，得：， 所以，； （2）因为，所以，，由，得：， 由正弦定理，得：， 的周长为： ， 由，得：，， 所以，周长，． 【点睛】本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18. 如图所示，在中，，，与相交于点，设，. （1）试用向量表示； （2）过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解； （2）设，由及三点共线联立即可求解. 【小问1详解】 因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. 【小问2详解】 设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用. 19. 已知，其图象一个对称轴为， （1）求的解析式及单调递减区间； （2）若函数上有个不同的零点，求的取值范围； （3）若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围； （3）将看做整体，结合函数的最小值，确定，即可求解不等式的解集. 【小问1详解】 根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以， 所以； 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：. 【小问2详解】 因为，所以， 又因为函数上有个不同的零点， 令，即， 根据题意有：，即，解得， 所以. 【小问3详解】 因为，所以， 所以，解得， 所以， ，即，所以， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为：. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将看成整体，再根据正弦函数的单调性，值域解析本题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$