精品解析：江西省上饶市弋阳县2025-2026学年九年级中考模拟考试题

九年级模拟考试数学 说明：1．满分：120分；时间：120分钟． 2．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正数大于负数，可排除A，D选项，再进一步比较和的大小，即可求解． 【详解】解：和是负数，和是正数， 故和都小于和，排除A，D选项； 又∵， ∴四个数中最大的数是． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； B、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形不是中心对称图形，不符合题意． 3. 年第二届江苏足球超级联赛开幕式暨揭幕战在常州奥体中心隆重举行．赛事官方数据显示：本次开幕式与揭幕战现场观赛人数约人；全平台直播总观看人次突破次；赛事热度创下省内足球联赛新高；将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的一般形式为，其中，为整数，将用科学记数法表示，即可得到结果． 【详解】解：， 即用科学记数法可表示为． 4. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，，利用四边形的内角和得到，再细分成，再由三角形内角和得到，，代入运算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形内角和为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴整理可得：． 5. 年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 万名考生是总体 C. 是样本容量 D. 名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽样调查、总体、样本、样本容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：本次调查从全体考生中抽取部分考生成绩分析，调查方式为抽样调查，故A选项说法正确； 本次调查的对象是考生的数学成绩，因此总体是万名考生的数学成绩，故B选项说法错误； 样本容量是样本中个体的数量，因此是样本容量，故C选项说法正确； 抽取的名考生的数学成绩是总体的一个样本，故D选项说法正确． 6. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，由已知函数图象可得，，即得，进而可得二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上，据此判断即可求解，能从已知函数图象中获取有关信息是解题的关键． 【详解】解：由函数图象可得，，， ∴， 把代入，得， ∴二次函数的图象经过点且与轴交于负半轴上， ∴符合题意的图象为选项， 故选：． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数必须为非负数，据此建立不等式，求解即可． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 8. 因式分解：x2-16x+64=___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式直接进行因式分解，即可解答． 【详解】解： x2-16x+64 =x2-2×8x+82 = (x-8)2 故答案为：（x-8）2． 【点睛】本题主要考查了运用公式法分解因式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴ ． 10. 如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是______． 【答案】1325 【解析】 【分析】本题主要考查规律题型：数字的变化类，找到数字的变化规律是解题的关键．根据前三个图的数字变化，得出数字规律即可求出,的值． 【详解】解：第1个图中，, 第2个图中，, 第3个图中，, ∴第个图中，, ∴第25个图中，． 11. 如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意确定弹簧测力计关于的函数解析式，再根据反比例函数上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：根据题意设反比例函数的解析式为， 根据图乙可得，反比例函数的图象经过点， 把代入求得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，代入得， 解得． 12. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质求出，，分三种情况分析：当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据平行线的判定和性质得出，即可求出；当直线与直线垂直时，根据直角三角形的性质求出，即可求出． 【详解】解：根据题意可得，，， 当直线与直线垂直时， 与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当直线与直线垂直时，与的交点为点，如图所示， 则， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值，再合并即可； （2）分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可. 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为. 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】利用分式的运算法则先算括号里面的，再计算除法完成化简，然后代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 15. 年月日～日，第五届全民阅读大会在南昌盛大举办，全城掀起书香阅读热潮．活动现场招募学生志愿者参与服务，大学生小华和李明随机选择一项志愿服务项目（假设选择每一项的可能性相同），服务项目如下： ．图书上架整理； ．阅读物资补给； ．书籍分类分发； ．读者秩序引导． （1）李明选择项目“：马拉松赛道指引”是_____事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一项志愿者项目活动的概率． 【答案】（1）不可能 （2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）根据不可能事件的定义可得答案； （2）画树状图可得出所有等可能的结果数，以及两人恰好选择同一项志愿者活动的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，李明选择项目“：马拉松赛道指引”是不可能事件． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中小华和李明恰好选择同一项志愿者项目活动（记为事件）的结果有种， ∴． 16. 某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． （1）小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ （2）如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 【答案】（1）小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调 （2）小明家最多可以购买1台节能空调 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意正确列出方程组以及不等式为解题关键． （1）设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调，根据小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，列出方程组求解即可； （2）设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱，根据总补贴金额不超过2000元，列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设小明家购买了x台节能冰箱，y台节能空调， 根据题意，得 解得， 答：小明家购买了3台节能冰箱，2台节能空调． 【小问2详解】 设小明家购买了m台节能空调，则购买了台节能冰箱， 根据题意，得， 解得． 答：小明家最多可以购买1台节能空调． 17. 如图，在中，已知，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点E作的平行线； （2）在图2中，作的高． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】1）连接交于点O，作直线交于点F，根据点E是的中点，得到是的中位线，继而得到，故可判定； （2）连接交于点O，得到是的中线，根据点E是的中点，得到是的中线，设，交于点G，则点G是的重心，连接并延长交于点H，则为边上的中线，因为，根据等腰三角形的三线合一性质即可判定是的高． 【小问1详解】 解：根据平行四边形的性质，三角形中位线的性质，画图如下： 则直线即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示 即为所求 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 【答案】（1）；（） （2） 【解析】 【分析】本题是考查反比例函数，一次函数和几何图形结合的综合题． （1）根据点，的坐标得到一次函数的表达式，根据点的坐标得到反比例函数的表达式． （2）根据，得到点是的中点，继而得到，将点代入反比例函数的表达式得到． 【小问1详解】 解：将点，的坐标代入一次函数， 得，解得， ∴一次函数的表达式为， 将点代入反比例函数（），得， ∴反比例函数的表达式为（）； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴点是的中点， ∵点，， ∴点， ∴点代入反比例函数的表达式，得：， ∴解得：． 19. 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作地面于点，交的延长线于点，根据平行线的性质得出，根据矩形的判定和性质得出米，，根据平行线的性质得出，结合锐角三角函数的定义求得米，求出米，结合锐角三角函数的定义求得米，即可求解． 【详解】解：过点作地面于点，交的延长线于点，如图， 根据题意可得，，米，， ∵，， ∴， 即， ∴四边形为矩形， ∴米，， ∵，， ∴， 在中，， 则（米）， ∴（米）， 在中，，， 则（米）， ∴（米）． 故这棵树的高度约为米． 20. 如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题考查了切线的判定、垂径定理、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握切线的判定、垂径定理是关键． （1）连接，证明．即可证明结论成立； （2）连接，交于点H．证明，，得到，在中，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：证明：如图1，连接，则． ∵垂直平分， ∴ ∴． ∵ ∴， ∵， ∴ ∴，即． ∵是的半径， ∴是的切线． 【小问2详解】 如图2，连接，交于点H． ∵点E是的中点， ∴垂直平分， ∵垂直平分， ∴， ∵点C是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为引导学生明确专业追求，某校以团体进阶模式举办“青春筑梦师”生涯规划大赛，共个团队参赛．大赛分生涯规划导图设计（以下简称导图设计）、现场展示两个阶段，导图设计为等级的团队方能进入现场展示．现对导图设计的成绩进行整理、分析，部分信息如下： ．导图设计成绩分个等级： 等：，等：，等：，等：，等：． b．B等级有个团队，成绩分别为： 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全下边的频数分布直方图； （2）导图设计成绩的中位数是______； （3）根据活动规则，本次获得现场展示资格的五个团队的最终成绩按导图设计与现场展示的比例计算，最高分的两个队代表学校参加市级决赛．现已算出甲、乙、丙三个团队最终成绩，分别是：分，分，分，另外两个团队的两个阶段成绩如下表．请你通过计算，确定代表学校参加市级决赛的团队． 导图设计 现场展示 丁队成绩 戊队成绩 【答案】（1）见解析 （2） （3）丙队、丁队 【解析】 【分析】（1）先求出等级的团队数量，然后补图即可； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）根据加权平均数求出丁、戊两队的成绩，然后比较五个队伍的成绩即可得出答案． 【小问1详解】 解：等级有（个）团队， 补全的频数分布直方图，如图所示． 导图设计成绩频数分布直方图 【小问2详解】 解：个数据按大小顺序排列，最中间的数是第个数据， ∵， ∴第个数据是等级中最小的数，即为， ∴中位数为． 【小问3详解】 解：丁队最终成绩：（分）， 戊队最终成绩：（分）， ∵， ∴代表学校参加市级决赛的团队是丙队、丁队． 22. 年山地自行车世界锦标赛赛道设计中，工程师针对一段越野飞越障碍赛道进行数学建模分析．该赛道包含一段助跑起跳坡面，坡面铅直高度与水平宽度的比为，整体坡度适中，符合专业山地自行车赛事的安全设计标准．为精准模拟运动员飞越障碍的飞行轨迹，工程师在坡面与水平地面的纵向截面内建立平面直角坐标系：以坡底与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为y轴正方向．已知运动员从坡面上的起跳点A处加速腾空飞越，起跳点到坡底的距离，自行车在空中的飞行路线可近似看作抛物线（忽略空气阻力、风力及车体自重等因素影响）． 请解决下列问题： （1）求起跳点A的坐标； （2）①求a与c满足的数量关系式； ②若运动员恰好落在原点O处的专业缓冲区域，求此时抛物线的函数解析式； （3）赛道在点O右侧处设置了高为的安全防护墙．若要求飞行轨迹能越过防护墙，求a的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设铅直高度为，水平宽度为（），结合勾股定理列出方程，求出，求出水平宽度和铅直高度，即可求解； （2）①将点的坐标代入抛物线中，得出，即可求解； ②将点的坐标代入抛物线中，得出，代入，求出即可求解； （3）先求出抛物线的解析式为，根据题意可得时，，据此列出不等式，求得。即可求解． 【小问1详解】 解：已知坡面铅直高度与水平宽度的比为，设铅直高度为，水平宽度为（）， 由勾股定理，得坡面长度， ∵， ∴， 解得． ∴水平宽度为，铅直高度为， 即点A的坐标为． 【小问2详解】 解：①∵抛物线过点， 将，代入，得， 整理，得， 即a与c满足的数量关系式为． ②∵抛物线过原点， 将代入，得． 结合（2）①中，得， 解得， ∴抛物线的解析式为． 【小问3详解】 解：由（2）①知，因此抛物线的解析式为， 防护墙在点O右侧处，即，要求时，， 即， 解得． ∴a的取值范围是． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为______； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 【答案】（1）平行四边形；（2）；（3）①，见解析；②2 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得，，从而，可证四边形是平行四边形； （2）连接，设，则，根据列方程求解即可； （3）①由线段垂直平分线的性质得，证明即可证； ②延长，分别与相交于点，证明四边形为矩形得，证明得，从而，再证明可得． 【详解】解：（1）由旋转的性质得，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． （2）如图1，连接，设． ∵四边形为矩形， ∴， 即． ∵， ∴在中，， 即， 解得， 即． （3）①． 证明如下：∵，点P为的中点， ∴． 由旋转可得，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． ②如图2，延长，分别与，相交于点H，R，设与的交点为点E． ∵，， ∴四边形为平行四边形． 又∵， ∴四边形为矩形， ∴． 又∵为的角平分线， ∴． ∴， ∴，， ∴． 由（3）①得，， ∴． 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定与性质，矩形的性质与判定，勾股定理，线段垂直平分线的性质，多边形内角和，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级模拟考试数学 说明：1．满分：120分；时间：120分钟． 2．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 年第二届江苏足球超级联赛开幕式暨揭幕战在常州奥体中心隆重举行．赛事官方数据显示：本次开幕式与揭幕战现场观赛人数约人；全平台直播总观看人次突破次；赛事热度创下省内足球联赛新高；将用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是某品牌商标抽象出来的几何图形，已知，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（ ） A. 这种调查方式是抽样调查 B. 万名考生是总体 C. 是样本容量 D. 名考生的数学成绩是总体的一个样本 6. 已知二次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 8. 因式分解：x2-16x+64=___________ 9. 若，是一元二次方程的两个实数根，则______． 10. 如图，填在各方格中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，n的值是______． 11. 如图甲，根据杠杆原理，我们知道当杠杆水平平衡时，弹簧测力计的示数（单位：）与弹簧测力计与支点的距离（单位：）成反比例函数关系．已知它们之间的函数关系如图乙所示，那么当为时，弹簧测力计与支点的距离为______． 12. 将一副直角三角尺按如图所示的方式叠放在一起，点在上．现将三角尺（）固定不动，将三角尺（）绕顶点顺时针旋转，则在整个旋转过程中，当直线与三角尺三边所在直线垂直时，的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算和解不等式组 （1）； （2） 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 年月日～日，第五届全民阅读大会在南昌盛大举办，全城掀起书香阅读热潮．活动现场招募学生志愿者参与服务，大学生小华和李明随机选择一项志愿服务项目（假设选择每一项的可能性相同），服务项目如下： ．图书上架整理； ．阅读物资补给； ．书籍分类分发； ．读者秩序引导． （1）李明选择项目“：马拉松赛道指引”是_____事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人恰好选择同一项志愿者项目活动的概率． 16. 某市为响应国家家电补贴政策，推出了购买节能家电的补贴方案．补贴方案具体如下：购买1台节能冰箱可获得300元补贴，购买1台节能空调可获得500元补贴，每户家庭购买节能家电的总补贴金额不超过2000元． （1）小明家购买了若干台节能冰箱和节能空调，共获得补贴1900元，且小明家购买的节能冰箱比节能空调多1台，小明家购买了节能冰箱和节能空调各多少台？ （2）如果小明家希望购买节能冰箱和节能空调的总台数为6台，且总补贴金额不超过2000元，求小明家最多可以购买多少台节能空调？ 17. 如图，在中，已知，点E是的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）在图1中，过点E作的平行线； （2）在图2中，作的高． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，一次函数的图象经过点，交反比例函数（）的图象于点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）点在轴的负半轴上，交反比例函数（）的图象于点，若，求的值． 19. 某科研考察队发现一棵巨树．为预估巨树的高度，该科研队利用无人机在距离地面米高的点A处，测得该树底端点B的俯角为，无人机向树的方向水平飞行秒到达点处，此时测得该树顶端点的俯角为，已知无人机的飞行速度为米/秒．计算这棵树的高度约为多少米？（参考数据：，，） 20. 如图，是的弦（非直径），点C是半径上的一个动点（不与线段两端点重合），过点C作的垂线，交于点D，交于点E，交的垂直平分线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）若点E是的中点，且点C是的中点，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 为引导学生明确专业追求，某校以团体进阶模式举办“青春筑梦师”生涯规划大赛，共个团队参赛．大赛分生涯规划导图设计（以下简称导图设计）、现场展示两个阶段，导图设计为等级的团队方能进入现场展示．现对导图设计的成绩进行整理、分析，部分信息如下： ．导图设计成绩分个等级： 等：，等：，等：，等：，等：． b．B等级有个团队，成绩分别为： 根据以上信息，回答下列问题： （1）请补全下边的频数分布直方图； （2）导图设计成绩的中位数是______； （3）根据活动规则，本次获得现场展示资格的五个团队的最终成绩按导图设计与现场展示的比例计算，最高分的两个队代表学校参加市级决赛．现已算出甲、乙、丙三个团队最终成绩，分别是：分，分，分，另外两个团队的两个阶段成绩如下表．请你通过计算，确定代表学校参加市级决赛的团队． 导图设计 现场展示 丁队成绩 戊队成绩 22. 年山地自行车世界锦标赛赛道设计中，工程师针对一段越野飞越障碍赛道进行数学建模分析．该赛道包含一段助跑起跳坡面，坡面铅直高度与水平宽度的比为，整体坡度适中，符合专业山地自行车赛事的安全设计标准．为精准模拟运动员飞越障碍的飞行轨迹，工程师在坡面与水平地面的纵向截面内建立平面直角坐标系：以坡底与水平地面的交点为坐标原点，水平向右为轴正方向，竖直向上为y轴正方向．已知运动员从坡面上的起跳点A处加速腾空飞越，起跳点到坡底的距离，自行车在空中的飞行路线可近似看作抛物线（忽略空气阻力、风力及车体自重等因素影响）． 请解决下列问题： （1）求起跳点A的坐标； （2）①求a与c满足的数量关系式； ②若运动员恰好落在原点O处的专业缓冲区域，求此时抛物线的函数解析式； （3）赛道在点O右侧处设置了高为的安全防护墙．若要求飞行轨迹能越过防护墙，求a的取值范围． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【综合与实践】 如图，为直角三角形纸片，其中．在数学活动课上，进行如下探究活动． 【观察发现】 活动一：点O为上一点，将绕点O旋转，得到，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F，连接，． （1）如图1，四边形的形状为______； 【深入探究】 （2）在（1）的条件下，如图2，若，，当四边形为矩形时，求的长； 【拓展提高】 活动二：如图3，取的中点P，连接，将绕点P顺时针旋转角（），得到，点A，C的对应点分别为点M，N，连接，． （3）①猜想与的位置关系，并给予证明； ②如图3，当时，的角平分线，若点P到的距离为1，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $