精品解析：江西省上饶市弋阳县2025年中考第一次模拟考试数学试题

全县2025年九年级中考第一次模拟考试 数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. “景德镇元明清制瓷业遗址群”入选2024年度全国十大考古新发现，为景德镇申遗提供基础性支撑．某遗址周围摆放了很多匣钵，其中一种匣钵形状如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 5. 在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ） A. 1种 B. 3种 C. 5种 D. 7种 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 8. 节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，占所有已知动物种类的以上，将120万用科学记数法表示应为______． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 10. 古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为______． 11. 已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为______． 12. 如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则______． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 14. 在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； （1）填空：①______；②______；③______； （2）请将化简后的结果求值． 15. 小贾和小许两名游客一起在我市某家本地特色餐厅就餐时，服务员在上菜前准备了4张刮刮乐，对应四种不同的赠品，分别是：A．绿豆汤，B．瓦罐汤，C．小瓷瓶，D．冰箱贴．完成打卡任务，即可参与刮奖．小贾和小许完成任务后各自选择了一张刮刮乐． （1）小贾和小许都刮到“小瓷瓶”是______事件（填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用画树状图法或列表法，求小贾和小许都刮到汤品的概率． 16. 请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． （2）在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 17. 如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． （1）点的坐标为______，反比例函数解析式为______； （2）连接，求的面积． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图①，是液体过滤实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） （1）求漏斗口处点到底座的高度； （2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 19. 如图，四边形内接于，对角线是直径，延长边，交于点，过点作于点，已知； （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 20. 追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，平分，交于点．若，则等于多少度？ 方法应用 （2）如图2，四边形为平行四边形，的平分线交于点，连接，若，．①求的度数；②已知，求的长． 21. 数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 40 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 19 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 0.0669 （1）上述表格中：______，______； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶______”． （填“小”或者“大”） ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的______倍．” （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 22. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面的距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 六、（本题12分） 23. 马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ （1）如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； （2）如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ （3）当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全县2025年九年级中考第一次模拟考试 数学 说明：本卷共有六个大题，23个小题；全卷满分120分；考试时间120分钟． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 的倒数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据乘积互为1的两个数互为倒数，进行作答即可． 【详解】解：∵ ∴的倒数是， 故选：C 2. “景德镇元明清制瓷业遗址群”入选2024年度全国十大考古新发现，为景德镇申遗提供基础性支撑．某遗址周围摆放了很多匣钵，其中一种匣钵的形状如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了几何体的三视图，根据俯视图的意义判断即可．正确理解俯视图是解题的关键． 【详解】解：的俯视图是 ． 故选：D． 3. 下列式子计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的运算性质，准确分析判断是解题的关键．根据同底数幂的乘法和除法法则，积的乘方法则以及完全平方公式逐一计算判断即可． 【详解】解：A、，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，故选项错误，不符合题意． 故选：C． 4. 为进一步促进体教融合，引导广大学生掌握游泳技能，经研究，我市从2025届初中毕业生起，将游泳项目纳入初中学业水平考试的体育选考项目．以下是8名男生在某次训练时50米游泳时间（秒）：48，49，50，48，47，48，49，47，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 47，48 B. 47.5，48 C. 48，48 D. 48，49 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查求一组数据的众数和中位数，熟记众数和中位数的定义是解题的关键．根据众数和中位数的定义求解． 【详解】解：这组数据中出现次数最多的数是48，因此众数是48； 将这组数据从小到大排序为：47，47，48，48，48，49，49，50， 第4，5位是48，48，因此中位数是， 故答案为：C． 5. 在如图所示的电路图中，当开关闭合以后，滑动变阻器从左往右滑动的过程中，电流表的示数与关系用图象可近似表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据，即，当从左往右滑动，即增大时，结合一定，则减小，即可判断出电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，进而得出结果． 【详解】解：根据题意得：，即， 当从左往右滑动，即增大时， 因为一定，则减小， 所以电流表的示数与关系用图象可近似表示为反比例函数图象，只有C选项符合题意． 故选：C． 6. 如图，在正十边形中已有3个小三角形涂上阴影，请你再选择一个三角形涂上阴影，使其阴影部分是轴对称图形，则一共有几种涂法（ ） A. 1种 B. 3种 C. 5种 D. 7种 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案． 【详解】解：如图所示， 一共有3种涂法， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 分析】本题考查因式分解．直接利用平方差公式因式分解即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，占所有已知动物种类的以上，将120万用科学记数法表示应为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：120万． 故答案为：． 9. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 10. 古巴比伦有这样一个有趣的问题：“有二田，其一比其二广五亩．若以其一之十亩予其二，则其二之广不逾其一之倍，问初时其一田最小几何？”其大意为：两块土地，第一块面积比第二块大5亩，若从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，问最初第一块土地的最小面积为______． 【答案】亩 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的实际应用，设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩，根据从第一块取10亩给第二块，则第二块面积不超过第一块的2倍，列出不等式，求解即可． 【详解】解：设第一块土地面积为x亩，则第二块面积为亩， 根据题意：， 解得：， 则最初第一块土地的最小面积为亩， 故答案为：亩． 11. 已知含角的三角板和直尺按如图所示的方式摆放，直角顶点在刻度尺示数处，三角尺的斜边与刻度尺交于点B，示数为，已知，若将三角尺绕点C顺时针旋转，则此时的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，由刻度尺度数可知，，求得，则，过点作，则在中，，，将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，，由旋转可知，，则在中，，即可求解．作出图形，利用直角三角形的边角关系是解决问题的关键． 【详解】解：由刻度尺度数可知，， ∵直尺的两边平行， ∴， 又∵， ∴，则， 过点作，则在中，， ∴， 将三角尺绕点C顺时针旋转，此时点为图中所示位置，则，， 由旋转可知，， ∴， 则在中，， 故答案为：6． 12. 如图，是等腰三角形，，点在边上，，，点为边上一动点，连接，将延翻折，得到，当与腰垂直时，则______． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质先求出，分，，两种情况讨论，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是等腰三角形，， ∴， 当时，设交于点H， 如图，当点在上方时， 则， ∴， 由折叠的性质得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 如图，当点在下方时， 则， 同理得， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； 时，设交于点H， 则， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得：， ∴点三点共线， ∴， ∴； 综上，或或 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，折叠的性质，勾股定理，正确理解题意，画出示意图是解题的关键． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，化简绝对值，解一元一次方程等知识点． （1）根据特殊角三角函数值，零次幂，绝对值分别计算即可求解； （2）利用解一元一次方程的步骤计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，． 14. 在学完分式运算以后，老师布置了一道这样的化简求值题： 化简：，请你从1，2，3这三个数中合适的数代入求值． 以下是夏天同学的化简过程，请你完成下面的填空． ； （1）填空：①______；②______；③______； （2）请将化简后的结果求值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先计算括号，同时将除法转化为乘法，即可求解； （2）根据分式有意义的条件确定的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解． 【小问1详解】 解： ； ， 故答案：，，； 【小问2详解】 ∵，， ∴且， ∴只能取1， 则当时，原式． 15. 小贾和小许两名游客一起在我市某家本地特色餐厅就餐时，服务员在上菜前准备了4张刮刮乐，对应四种不同的赠品，分别是：A．绿豆汤，B．瓦罐汤，C．小瓷瓶，D．冰箱贴．完成打卡任务，即可参与刮奖．小贾和小许完成任务后各自选择了一张刮刮乐． （1）小贾和小许都刮到“小瓷瓶”是______事件（填“随机”或“必然”或“不可能”） （2）请用画树状图法或列表法，求小贾和小许都刮到汤品的概率． 【答案】（1）不可能 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，事件的分类，用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等． （1）根据事件的分类方法进行解答即可； （2）利用画树状图或列表的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【小问1详解】 解：∵只有1张“小瓷瓶” ∴两人都刮到“小瓷瓶”是不可能事件， 故答案为：不可能； 【小问2详解】 由题可知，A．绿豆汤，B．瓦罐汤，为汤品 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中小贾和小许都刮到汤品的结果数为2， 所以小贾和小许都刮到汤品的概率． 16. 请仅用无刻度直尺按下列要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中，已知矩形的顶点在圆上，请找出圆心． （2）在图②中，弦上两点满足，以为斜边作等腰直角三角形，直角顶点在圆上，请找出圆心． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）延长交圆于两点，交于点O，根据矩形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点O为所求； （2）延长交圆于两点，连接交于点G，连接，作射线交于点P，根据全等三角形的性质结合直径所对圆周角为，即可得到点P为所求； 【小问1详解】 解：如图所示，圆心为所求： 【小问2详解】 解：如图所示，点P为所求： 理由：连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，为圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴， ∵ ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴点P为圆心． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，整我圆周角定理是解题的关键． 17. 如图，三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点在轴上，反比例函数经过的中点，交边于点，已知点． （1）点的坐标为______，反比例函数解析式为______； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质结合轴，可得，易证是等腰直角三角形，可得，进而得到，利用待定系数啊即可求出反比例函数解析式； （2）连接，由（1）知，求出直线的解析式为，联立，求出，由即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵三角形为等腰直角三角形，斜边轴，点为的中点， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数经过点， ∴， 解得： ∴反比例函数解析式为； 故答案：，； 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（1）知， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（舍去）； ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，一次函数与反比例函数交点问题，三角形的面积，解一元二次方程，综合应用以上知识点是解题的关键． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图①，是液体过滤的实验装置，图②是其侧面示意图，已知底座高度，烧杯高度，漏斗的一端紧贴烧杯内壁，漏斗的锥形部分，且，漏斗管位于烧杯的上方部分，玻璃棒斜靠在三层滤纸的点处，，玻璃棒长度为． （结果精确到） （1）求漏斗口处点到底座的高度； （2）某次过滤时，玻璃棒与水平方向的夹角为，求此时玻璃棒顶端点到桌面的距离． （参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）由题意可知，，延长交，则，在中， ，根据题意可知点到底座的高度等于，即可求解； （2）过点作，交于，过点作，由题意可知，，在中，，由题意可知，在中，，此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为，由此即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 延长交，则， 在中，，则， ∴， ∴点到底座的高度； 【小问2详解】 过点作，交于，过点作， 由题意可知，， 在中，， ∵，， ∴， 在中，， 此时玻璃棒顶端点到桌面的距离为， 即玻璃棒顶端点到桌面的距离为． 19. 如图，四边形内接于，对角线是直径，延长边，交于点，过点作于点，已知； （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）连接，由，，得，可知，根据，可知，即可证明结论； （2）根据直径所对圆周角为直角可知，由，可知，进而可得，解直角三角形得，即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴，而为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴的半径为． 20. 追本溯源 题（1）是来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． （1）如图1，在中，，平分，交于点．若，则等于多少度？ 方法应用 （2）如图2，四边形为平行四边形，的平分线交于点，连接，若，．①求的度数；②已知，求的长． 【答案】（1）；（2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角，角平分线的定义结合三角形内角和定理推出，再求出，由，得到，即可求解； （2）①设，由角平分线的定义得到，， 根据平行四边形的性质得到，由等边对等角推出，，利用，即可解答；②由①可得，，证明，推出， 设，，，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：①设， ∵平分， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴ ； ②由①可得，， ∴， ∴， 设， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 数学课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动，同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各1片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0 荔枝树叶的长宽比 2.0 2.0 2.0 2.4 1.8 1.9 1.8 2.0 1.3 1.9 分析数据如下： 平均数 中位数 众数 方差 芒果树叶的长宽比 3.74 3.75 0.0424 荔枝树叶的长宽比 1.91 2.0 0.0669 （1）上述表格中：______，______； （2）通过数据，同学们总结出了一些结论： ①A同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶______”． （填“小”或者“大”） ②B同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的______倍．” （3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由． 【答案】（1）1.95，4.0 （2）小，2 （3）芒果树 【解析】 【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，掌握相关定义是解答本题的关键． （1）根据中位数和众数的定义解答即可； （2）根据题目给出的数据判断即可； （3）根据树叶长宽比判断即可． 【小问1详解】 解：把片荔枝树叶的长宽比从小到大排列，1.3，1.8，1.8，1.9，1.9，2.0，2.0，2.0，2.0，2.4 排在中间的两个数分别为1.9、2.0， 故； 片芒果树叶的长宽比中出现次数最多的是4.0，故； 故答案为：1.95，4.0； 【小问2详解】 ∵， ∴从树叶的长宽比的方差来看，芒果树叶的形状差别比荔枝树叶小”； ∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是， ∴从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的2倍． 故答案为：小，2； 【小问3详解】 这片树叶更可能来自荔枝，理由如下： ∵一片长，宽的树叶，长宽比为，接近， ∴这片树叶更可能来自芒果树． 22. 滑板项目自入选奥运会正式比赛项目后便吸引了无数的目光．该项目自诞生起，便在年轻的运动爱好者中迅速传播开来．某商场为吸引顾客，举办了一场滑板挑战游戏．建立如图所示的平面直角坐标系，如图，参赛选手从点出发，沿着斜坡进入“U”型碗池，再从点处滑出，“U”型碗池池面与滑出碗池后的飞行路线均可看成抛物线的一部分，在终点处有一截面为三角形的斜坡，点为斜坡的中点，若参赛选手从点滑出以后，着陆点在斜坡上的段，即为成功．已知碗池边缘，均垂直地面，点与点关于原点对称，且米，米，米，“U”型碗池池面近似看成抛物线． （1）求“U”型碗池最低点到地面的距离； （2）①若甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反，着陆点恰好为点，求此抛物线的解析式； ②若乙选手从点滑出飞行路线抛物线解析式为，若此次挑战成功，求b的取值范围． 【答案】（1）“U”型碗池最低点到地面的距离为米 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，可得两点关于抛物线对称轴对称，利用抛物线的对称性质即可求出，将代入，求出k的值，即可解答； （2）①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为，根据题意设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为，过点作于点H，证明，推出，求出米米，得到，结合，利用待定系数法求解即可； ②由①知，结合，根据题意：，解不等式组即可解答．　　 【小问1详解】 解：∵点与点关于原点对称，米，米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴， ∴两点关于抛物线对称轴对称， ∴， 将代入，则， 解得：， 则“U”型碗池最低点到地面的距离为米； 【小问2详解】 解：①由（1）知“U”型碗池抛物线解析式为， ∵甲选手滑出碗池后的飞行路线与“U”型碗池抛物线大小相同，方向相反， 设甲选手滑出碗池后的飞行路线的解析式为， 过点作于点H， ∵， ∴， ∴， ∵点为斜坡的中点， ∴，即， ∴米，米， ∴米， ∴， ∵， ∴， 解得： ∴此抛物线的解析式为； ②由①知， ∵， 根据题意：， 解得：； ∴若此次挑战成功，b的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，相似三角形的判定与性质，二次函数与不等式，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． 六、（本题12分） 23. 马超同学在上一期探究矩形中的动点问题时，意识到“子母型”相似是一种有效的解题手段，于是，他继续针对相似问题中的“子母型”问题展开综合探究！ （1）如图①，中，，；分别为边、上的点， ①若，且点是的中点，则______； ②若点与点重合，且，则______； （2）如图②，点分别为等腰直角三角形的两直角边上的动点，直角边且始终满足，以点为圆心，的长为半径画弧并交线段于点，连接；若四边形是菱形，则的长是多少？ （3）当图②中的点运动到如图③所示位置时，取的中点，连接，若满足，则此时的长是多少？ 【答案】（1）①；② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①证明，推出，即可求解；②同理①即可解答； （2）根据等腰直角三角形的性质结合菱形的性质可得，推出是等腰直角三角形，设，则，在根据，建立方程求解即可； （3）根据题意得，，设，则， ，，证明，推出，进而得到，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴； ②同理①得， ∴， ∵，点与点重合， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意得， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：根据题意得， ∵点是的中点， ∴， 设，则， ，， ∴， ∵，而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，菱形的性质，解一元二次方程，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$