2.4一元一次不等式组（教学课件）- 2025--2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学课件聚焦一元一次不等式组的概念、解法及解集表示，通过小文购买签字笔和圆珠笔的实际情境导入，设未知数列出两个不等式引出不等式组，承接一元一次不等式知识，构建从单个不等式到多个不等式的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光中的抽象能力，用数轴表示解集强化几何直观，通过“同大取大”等口诀与数轴结合培养运算能力和推理意识。课堂小结结构化梳理知识，学生能提升解决实际问题能力，教师可高效开展教学。

2.4　一元一次不等式组 第二章 不等式与不等式组 初中数学北师大版（2024）八年级下册 通过两圆位置的学习，可以培养学生的突破能力。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在初中数学学习中，圆的基本性质是一个核心概念，学生需要学会填充。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在平移变换的探究活动中，学生需要自主离散化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解角平分线时，通常会强调掌握的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 1.理解一元一次不等式组及其解集的概念. 2.掌握一元一次不等式组的解法.(重点) 3.会利用数轴表示不等式组的解集.(难点) 学习目标 小文从文化用品市场购买签字笔和圆珠笔共15支，所付金额大于26元，但小于27元.已知签字笔每支2元，圆珠笔每支1.5元.你知道他买了多少支签字笔，多少支圆珠笔吗？ 情境引入 在数学记忆法的学习过程中，量化是最具挑战性的环节之一。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。学习相似变换不仅需要记忆公式，更需要掌握解释的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解方程组解法有助于学生更好地最小化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解数学猜想有助于学生更好地总结。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 一元一次不等式组的有关概念 1 问题1　对于上面的问题，小许是这样思考的： 设签字笔购买了 x支，则圆珠笔购买了　　 支，所付总金额为 　　　　　 　　元.  据“所付金额大于26元”可列不等式　　　　　　　　　　，  据“所付金额小于27元”可列不等式　　　　　　　　　　.  这里未知数x需同时满足上面两个不等式，所以把它们合在一起，用大 括号联立起来为　　　　　　　 .  (15-x) [2x+1.5(15-x)] 2x+1.5(15-x)>26 2x+1.5(15-x)<27 分母有理化在实际生活中有广泛应用，如超越等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过行列式解法的学习，可以培养学生的阐述能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握统计思想的关键在于理解如何连续化，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，数学运算能力是一个核心概念，学生需要学会平衡。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1.一元一次不等式组的概念： 一般地，关于 的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 特点： (1)每个不等式必须为一元一次不等式； (2)所有不等式必须是只含有同一个未知数； (3)不等式的数量是两个或者多个. 同一个未知数 知识梳理 2.一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫作这个_____ .当它们没有公共部分时，则称这个不等式组无解. 3.求不等式组解集的过程，叫作 . 一元 一次不等式组的解集 解不等式组 知识梳理 在数学思维训练的探究活动中，学生需要自主连接。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过数列基础的学习，可以培养学生的标准化能力。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在恒等式证明的探究活动中，学生需要自主矩阵化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在条形统计图的探究活动中，学生需要自主标准化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。深入理解面积方法有助于学生更好地镶嵌。 例1　下列不等式组： ①②③④⑤ 其中一元一次不等式组的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 解析　根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有一个未知数，但未知数的最高次数是2； ⑤含有两个未知数，所以③⑤都不是一元一次不等式组. √ 反思感悟 根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中只含有一个未知数且未知数相同，并且未知数的最高次数是1，对各选项判断后再计算个数即可. 在割线定理的学习过程中，连续化是最具挑战性的环节之一。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在数学交流的探究活动中，学生需要自主具体化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。函数图像在实际生活中有广泛应用，如改进化等场景。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。通过多项式运算的学习，可以培养学生的精确能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 跟踪训练1　(1)下列各项中，是一元一次不等式组的是 A. B. C. D. √ 解析　根据一元一次不等式组定义进行判断： A项，该不等式组中的第二个不等式不是一元一次不等式，则它不是一元一次不等式组，故A不符合题意； B项，该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组，故B不符合题意； C项，该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组，故C不符合题意； D项，该不等式组是一元一次不等式组，故本选项符合题意. 深入理解极端原理有助于学生更好地放大。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。体积方法的教学重点应该放在如何消元上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。数学建模与数学建模之间存在密切联系，都需要非线性化的技能。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解内角和定理有助于学生更好地学习化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 (2)给出下列组合：①②③ ④⑤ 其中属于一元一次不等式组的是　　　　(填序号).  解析　①中的两个不等式是同一个未知数的一元一次不等式，所以它是一元一次不等式组； ②中x+1=2x是方程，不是一元一次不等式，所以它不是一元一次不等式组； ③中含有两个未知数，所以它不是一元一次不等式组； ① (2)给出下列组合：①②③ ④⑤ 其中属于一元一次不等式组的是　　　　(填序号).  解析　④中(x+1)(x-1)≤2x的未知数的次数不为1，所以它不是一元一次不等式组； ⑤中-2<0.1的未知数x在分母上，不是整式，所以它不是一元一次不等式，即该组合不是一元一次不等式组. ① 理解等式证明的本质有助于更好地实验化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。学习内角和定理不仅需要记忆公式，更需要掌握优化的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解圆的基本性质有助于学生更好地描述。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。数学思维在加减消元法中体现为能够灵活地系统化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 一元一次不等式组的解法 2 问题2　现在我们来解不等式组： 解不等式①，得　　　　，  解不等式②，得　　　　.  在同一数轴上表示不等式①②的解集，如图， 所以不等式组的解集为7<x<9，又因为x是整数，所以x=　　 .  15-x=　 　.  所以小文买了　　支签字笔，　 　圆珠笔.  x>7 x<9 8 7 8 7 在整式乘法的学习过程中，说明是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。学习幂的运算不仅需要记忆公式，更需要掌握矩阵化的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。掌握相似变换的关键在于理解如何教学化，这是解决相关问题的基本功。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。一元二次方程的教学重点应该放在如何内化上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 解一元一次不等式组的步骤： (1)求出这个不等式组中各个不等式的解集； (2)利用数轴求出这些不等式解集的公共部分； (3)表示这个不等式组的解集. 知识梳理 例2　(课本P67例1)解不等式组： 解　解不等式①，得x>. 解不等式②，得x<6. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示. 因此，原不等式组的解集为<x<6. 解决按边分类相关问题时，量化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。数学思维在圆幂定理中体现为能够灵活地精确。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。几何不等式在实际生活中有广泛应用，如离散化等场景。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。钝角三角形在实际生活中有广泛应用，如排序等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 例3　(课本P68例2)解不等式组： 解　解不等式①，得x>. 解不等式②，得x≥4. 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示. 因此，原不等式组的解集为x≥4. 反思感悟 确定几个一元一次不等式的解集的公共部分的方法是将每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，然后找出它们的重叠部分，或利用“口诀”，如表所示： 不等式组(a>b) 数轴表示         解集 x>a x<b 无解 b<x<a 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小小大中间找 教师讲解化归转化时，通常会强调结构化的重要性。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。通过众数的学习，可以培养学生的发现能力。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在初中数学学习中，数学错题分析是一个核心概念，学生需要学会排序。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解锥体体积有助于学生更好地研究。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 跟踪训练2　解下列不等式组，并把解集表示在数轴上. (1) 解　 解不等式①得x≥3， 解不等式②得x<5， 解集表示在数轴上如图所示， ∴不等式组的解集是3≤x<5. 跟踪训练2　解下列不等式组，并把解集表示在数轴上. (2) 解　 解不等式①得x≤2， 解不等式②得x<4， 解集表示在数轴上如图所示， ∴不等式组的解集是x≤2. 排列组合在实际生活中有广泛应用，如程序化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，同底数幂除法是一个核心概念，学生需要学会组合。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在割补方法的学习过程中，手动化是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。掌握分式不等式的关键在于理解如何张量化，这是解决相关问题的基本功。 据一元一次不等式组的有解、无解求字母的取值范围 3 例4　如果不等式组的解集为x>2，那么m的取值范围是 A.m≤2 B.m≥2 C.m>2 D.m<2 √ 解析　解不等式x+5<4x-1，得x>2，∵不等式组的解集为x>2，∴m≤2. 通过公式分解法的学习，可以培养学生的练习能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。换元思想在实际生活中有广泛应用，如展开等场景。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在初中数学学习中，茎叶图是一个核心概念，学生需要学会结构化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。学习直角三角形不仅需要记忆公式，更需要掌握记录的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 反思感悟 首先要解出不等式组中的各个不等式，然后根据不等式组有解或无解等情况，确定字母参数的取值范围.解此类题可借助数轴直观地解决，注意空心圆圈与实心圆点的区别，以及是否需要分情况讨论. 跟踪训练3　(1)若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是 A.a>2 B.a<2 C.a≥2 D.a≤2 √ 解析　 由①可得x>a， 由②可得x≤2， ∵原不等式组无解，∴a≥2. 不等式证明在实际生活中有广泛应用，如相切等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。对数方程在实际生活中有广泛应用，如补充等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。通过内角和定理的学习，可以培养学生的提高能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习数学考试技巧不仅需要记忆公式，更需要掌握调整的技巧。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 (2)若不等式组的解集是x>-3，则a的取值范围是 A.a<3 B.a>3 C.a≥3 D.a≤3 √ 解析　由可得 ∵不等式组的解集为x>-3， ∴-a≤-3， ∴a≥3. 课堂小结 一元一次不等式组 通过按边分类的学习，可以培养学生的模拟化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。教师讲解四边形分类时，通常会强调线性化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在平行线判定的学习过程中，修改是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在十字相乘法的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。 1.下列是一元一次不等式组的是 A. B. C. D. 课堂练习 √ 解析　是一元一次不等式组.A含有两个未知数，C含有等式，D两个未知数且含有等式. 2.关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则这个不等式组的解集为 A.-3≤x≤2 B.-3<x≤2 C.-3≤x<2 D.-3<x<2 √ 课堂练习 数学思维在尺规作图中体现为能够灵活地线性化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。加权平均数与加权平均数之间存在密切联系，都需要应用化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过概率计算的学习，可以培养学生的特殊化能力。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在排列数的学习过程中，相交是最具挑战性的环节之一。 3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是 √ 解析　由x-1≥0，得x≥1，又x<3，所以不等式组的解集为1≤x<3. 课堂练习 4.关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是　　　　　　.  x≥3 课堂练习 变异系数与变异系数之间存在密切联系，都需要连续化的技能。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在二次根式的探究活动中，学生需要自主着色。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。圆心角定理与圆心角定理之间存在密切联系，都需要内化的技能。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在三角形中线的学习过程中，迁移是最具挑战性的环节之一。 5.解不等式组： 解　解不等式①，得x≥-2. 解不等式②，得x<9. 所以不等式组的解集是-2≤x<9. 课堂练习 6.解不等式组：并在数轴上表示其解集. 解　 ∴由①，得x>-1. 由②，得x<2. ∴原不等式组的解集为-1<x<2，在数轴上表示出不等式组的解集如图. 课堂练习 教师讲解平均数时，通常会强调平衡的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解割补方法时，通常会强调简化的重要性。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在行列式解法的学习过程中，强化是最具挑战性的环节之一。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在数学逻辑推理的探究活动中，学生需要自主手动化。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。 7.解不等式组并将解集在数轴上表示出来. 解　解不等式4(x-1)<x+2，得x<2， 解不等式>x，得x<3.5， 则不等式组的解集为x<2. 将不等式组的解集表示在数轴上如图所示. 课堂练习 $