第05讲平面向量的数量积与坐标运算（知识清单+9典例精讲+5方法技巧+分层训练）-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦平面向量数量积与坐标运算核心考点，涵盖向量夹角、数量积定义及几何意义、运算律、坐标表示等近3年高频考查内容，按“知识清单-典例精讲-方法技巧-分层训练”逻辑架构，通过考点梳理、题型突破、方法指导和真题训练，帮助学生系统构建知识网络，精准突破模长计算、垂直判定等难点。 资料创新设计5大解题大招，如“夹角问题先判符号再平方”避免增根，“坐标运算优先化简”减少运算量，结合分层训练（基础/拔高/错题）和真题变式，培养学生数学思维与运算能力，助力高效突破高频考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

第05讲平面向量的数量积与坐标运算 （知识清单+9典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 数量积坐标运算、向量垂直判定、模长计算 单选题/填空题 5分 向量垂直的坐标表示、数量积运算、模长与夹角求解 单选题/多选题/填空题 5分/6分 数量积坐标运算、向量夹角与模长、垂直关系判定 单选题/填空题 5分 【知识点01】向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 【例1】已知向量，，求与的夹角。 【知识点02】平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 【例2】已知，，与的夹角为，求；若，，求。 【知识点03】平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  【例3】已知，，求在方向上的投影；若，，求在方向上的投影。 【知识点04】向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【例4】已知，，，验证，并计算。 【知识点05】平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【例5】已知，，若，求k的值；若，求k的值。 【题型一】平面向量数量积的定义 【例1】（2026·福建三明·二模）已知，向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1】（2023·山西·模拟预测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【题型二】用定义求向量的数量积 【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【变式1】（多选）（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则_____________. 【变式3】（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【题型三】数量积的运算律 【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量，非零向量，满足，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知点 在单位圆的内接正方形 的边 上运动，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知向量在上投影数量为，，则_____ 【变式3】（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【题型四】垂直关系的向量表示 【例4】（2026·河北沧州·三模）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1】（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在和，使得 【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）若平面向量满足，则的最大值为________． 【题型五】数量积的坐标表示 【例5】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【变式1】（2026·山东青岛·二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（    ） A．－10 B．5 C．15 D．20 【变式2】（2026·山东淄博·二模）已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·山东济南·三模）已知向量，，则的值为________． 【题型六】坐标计算向量的模 【例6】（2026·吉林·三模）已知，，且，则（    ） A．4 B．1 C． D． 【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，且，则______. 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，，若，则______. 【题型七】向量垂直的坐标表示 【例7】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A．6 B． C． D． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，若，则实数________. 【变式3】（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.    (1)求的面积； (2)求. 【题型八】向量夹角的坐标表示 【例8】（2026·河北张家口·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2026·河北·一模）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为，则______． 【变式3】（2026·广东揭阳·二模）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. (1)求中线BN的长； (2)求的余弦值. 【题型九】投影向量 【例9】（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【变式2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【解题大招01】巧用化简求值 当题干中出现向量模长、向量自身数量积时，优先利用变形，将模长转化为数量积，简化运算，避免复杂开方或平方运算。 【例1】已知，，与的夹角为，求和的值。 【解题大招02】坐标运算优先化简表达式 涉及向量坐标运算时，先利用平方差、完全平方等公式化简表达式（如），再代入坐标计算，减少坐标运算量，避免符号出错。 【例2】已知，，求的值。 【解题大招03】 夹角问题“先判符号，再平方” 求解向量夹角时，若需对夹角公式平方求解，需先判断的符号（夹角为锐角时正、钝角时负、直角时0），避免平方后产生增根，确保夹角范围与计算结果一致。 【例3】已知，，且与的夹角为锐角，求实数k的取值范围。 【解题大招04】 垂直问题“转化为数量积为0” 无论向量是直接垂直（），还是间接垂直（如），均转化为“数量积为0”的方程求解，结合坐标运算或定义运算，快速建立关系式。 【例4】已知，，且，求t的值。 【解题大招05】 投影问题“巧用数量积变形” 技巧说明：求解向量投影（或投影模长）时，无需单独求夹角，直接利用数量积几何意义变形：，代入已知条件快速求解，简化运算。 【例5】已知，，，求在方向上的投影模长。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 6．（2026·河北邢台·二模）已知向量，若，则__________. 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）设、为单位向量，若，则________. 四、解答题 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知. (1)判断四边形ABCD的形状，并证明； (2)求与夹角的余弦值. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量在向量方向的投影向量为，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 二、多选题 3．（2026·重庆·三模）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 三、填空题 4．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 四、解答题 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C．5 D．10 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则（   ） A．1 B． C． D． 二、多选题 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 三、填空题 4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 四、解答题 5．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲平面向量的数量积与坐标运算 （知识清单+9典例精讲+5方法技巧+分层训练） 近3年考查情况 题型 分值 数量积坐标运算、向量垂直判定、模长计算 单选题/填空题 5分 向量垂直的坐标表示、数量积运算、模长与夹角求解 单选题/多选题/填空题 5分/6分 数量积坐标运算、向量夹角与模长、垂直关系判定 单选题/填空题 5分 【知识点01】向量的夹角 已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角. 【例1】已知向量，，求与的夹角。 解析：设与的夹角为，由向量夹角公式： 先计算数量积： 再计算模长：， 代入公式得： 又，故（或）。 【知识点02】平面向量的数量积 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cos θ叫做向量a与b的数量积，记作a·b. 【例2】已知，，与的夹角为，求；若，，求。 解析： 1. 由数量积定义：； 2. 由坐标运算公式：。 【知识点03】平面向量数量积的几何意义 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，＝a，＝b，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量.记为|a|cos θ e.  【例3】已知，，求在方向上的投影；若，，求在方向上的投影。 解析： 1. 由投影公式，在方向上的投影为； 2. 先计算，， 故在方向上的投影为。 【知识点04】向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ∈R). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 【例4】已知，，，验证，并计算。 解析： 1. 验证运算律： ，则； ，则，故成立。 2. 计算： 方法一（分配律）：； 方法二（先算向量和）：，则。 【知识点05】平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 几何表示 坐标表示 数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的 充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与 |a||b| 的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 【例5】已知，，若，求k的值；若，求k的值。 解析： 1. 由垂直结论：，即； 2. 由模长结论：，两边平方得。 【题型一】平面向量数量积的定义 【例1】（2026·福建三明·二模）已知，向量在向量上的投影向量为，则的值为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】设与的夹角为，在上的投影向量为， 故，故. 【变式1】（2023·山西·模拟预测）美术课对于陶冶人的情操､发展学生的艺术兴趣和爱好､培养学生的艺术特长､提高学生的审美素养具有积极作用.如图，这是某学生关于“杯子”的联想创意图，它是由一个正方形和三个半圆组成的，其中，是正方形的两个顶点，是三段圆弧上的动点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数量积的几何意义，为在上的投影，数形结合，确定的最大值和最小值，即可求得答案. 【详解】如图，作，垂足分别为，且与左半圆相切， 切点为与右半圆相切，切点为. ，其中为在上的投影， 因为，所以. 当与重合时，最大，最大值为， 此时取得最大值，最大值为； 当与重合时，最小，最小值为， 此时取得最小值，最小值为； 故的取值范围是， 故选：B 【变式2】（多选）如图，在方格中，向量的始点和终点均为小正方形的顶点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】结合向量的线性运算法则及数量积的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】如图所示，向量与向量方向不同，所以，故A错误， 将向量平移至向量的起点，可得，且，以向量为邻边的平行四边形为正方形，对角线垂直且相等，所以，故B与C正确， 由以上可知，，且向量与向量的夹角相等，所以，故D错误.    故选：BC 【变式3】（2026·广东汕头·一模）为圆O的一条弦，且，则的值为_______. 【答案】2 【分析】根据向量的数量积的几何意义直接可得. 【详解】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图. 因为,所以. 根据向量数量积的几何意义：    【题型二】用定义求向量的数量积 【例1】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知向量满足，则（    ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【分析】通过已知条件，利用向量的数量积化简求解即可. 【详解】平面向量的夹角为，，， 则向量. 【变式1】（多选）（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C正确； 对于D， ，故D错误. 【变式2】（2026·云南·模拟预测）已知正六边形的边长为1，则_____________. 【答案】3 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 【变式3】（2026·江西九江·二模）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知． (1)求； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理可得，结合，即可求出； （2）由数量积的定义可求出，再由余弦定理求出，即可求出的周长. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 因为，所以，即， 又因为，所以. （2）由， 所以，又因为， 由余弦定理可得：， 所以， 所以，所以， 所以的周长为：. 【题型三】数量积的运算律 【例3】（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面向量，非零向量，满足，，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的三角不等式求出的范围，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得，则， 由，得，即， 而，则，又， 因此，， 所以的取值范围是. 【变式1】（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知点 在单位圆的内接正方形 的边 上运动，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律列式，再利用二次函数求出值域即可. 【详解】由单位圆的内接正方形，得，设，则， 由，得 ，同理， 因此 . 【变式2】（2026·四川遂宁·模拟预测）已知向量在上投影数量为，，则_____ 【答案】 【分析】根据题意，利用投影数量的公式，求得，结合数量积的运算律，即可求解. 【详解】因为向量在上投影数量为，，所以， 所以，所以. 【变式3】（2025·福建福州·一模）在中，，为的中点，. (1)若，求的长； (2)若，求的长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）在中，利用余弦定理可求得，在中，再利用余弦定理，即可求得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，进而可得，则，则，结合平面向量基本定理，可得，联立即可求解. 【详解】（1）如图，在中，，，， 根据余弦定理，得， 又在中，，，， 根据余弦定理，得， 解得； （2）如图，延长，使，则为等腰三角形，， ， 又，所以，所以， 所以，则，即， 所以，则， 又，， 所以， ， 所以， 所以，即，解得或（舍）. 【题型四】垂直关系的向量表示 【例4】（2026·河北沧州·三模）已知平面向量，，且，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用向量垂直求出，再用模长公式计算结果. 【详解】， 所以， 因为，则，即：. 解得：. 所以. 【变式1】（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：， 整理可得：， 根据数量积定义可得：， 又因为， 所以， 又因为为非零向量，所以， 所以等式约去，整理可得：. 【变式2】（多选）（2026·河南洛阳·模拟预测）已知，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．存在和，使得 【答案】AC 【分析】对于A，利用向量的模长公式计算即可； 对于B，由，得,结合三角函数值即可求解； 对于C，利用向量垂直的判定公式即可求解； 对于D，两边平方原等式化简可得,，即可得到与的关系. 【详解】对于A，由，得,, 所以,故A正确； 对于B，由，则,则,即， 因为，所以或,故B错误； 对于C，因为,所以，故C正确； 对于D，若,则，化简得：，所以向量与反向共线，与矛盾，故D错误. 【变式3】（2026·重庆北碚·模拟预测）若平面向量满足，则的最大值为________． 【答案】2 【分析】先通过模长相等推导得两向量垂直，再将所求模长平方后结合已知条件转化为关于的表达式，即可求得最大值． 【详解】由，得， 即， 化简得，即， 由，得， 所以，又，， 所以， 所以， 因为，所以， 所以． 【题型五】数量积的坐标表示 【例5】（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】方法一：以为基底向量，可知， 则， 所以； 方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得， 所以； 方法三：由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B. 【变式1】（2026·山东青岛·二模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量，的起点和终点均在格点上，则（    ） A．－10 B．5 C．15 D．20 【答案】C 【详解】 建立如图所示直角坐标系， 可得，， 故， 所以． 【变式2】（2026·山东淄博·二模）已知复数，，，，复数，，，在复平面内对应的点分别为，，，A，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意得，， 则，故A正确； ， ， 故不一定相等，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 【变式3】（2026·山东济南·三模）已知向量，，则的值为________． 【答案】5 【详解】因为， 所以. 【题型六】坐标计算向量的模 【例6】（2026·吉林·三模）已知，，且，则（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，解得， ，. 【变式1】（2026·辽宁铁岭·模拟预测）已知平面向量，，满足，，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，再根据，，结合数量积的运算律即可得解. 【详解】因为，，，， 所以， ，得， 显然，所以． 【变式2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知向量，，且，则______. 【答案】 【分析】先根据向量共线的坐标表示得，再结合向量的模的坐标公式求解即可. 【详解】因为向量，，且 所以，解得， 所以， 因此. 【变式3】（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知向量，，，若，则______. 【答案】10 【分析】根据向量的坐标运算、向量平行的坐标表示及向量的模计算即可. 【详解】. 因为，所以，解得. 所以，故. 【题型七】向量垂直的坐标表示 【例7】（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 【答案】 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则. 故答案为：. 【变式1】（2026·江西宜春·模拟预测）已知向量，，且，则（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量，，， 所以，解得，故． 【变式2】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知，，若，则实数________. 【答案】1 【详解】因为，， 所以，， 且， 所以，即，解得. 【变式3】（2026·湖北荆州·一模）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.    (1)求的面积； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，设，由题意列方程可求出的值，根据三角形面积公式，即可求得答案； （2）求出，根据三角形面积求解，即可得答案. 【详解】（1）以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则，设，由于，则， 则，故， 而，故， 即，即， 结合，得，即得，则， 故的面积为； （2）结合（1）的分析可知， 的面积为,则，即, 故. 【题型八】向量夹角的坐标表示 【例8】（2026·河北张家口·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 设与的夹角为，则， 又，所以. 【变式1】（多选）（2026·河北·一模）已知向量，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上的投影向量为 C．与夹角的余弦值为 D．若与垂直，则实数 【答案】AC 【详解】对A，，则，故A正确； 对B，在上的投影向量为，故B错误； 对C，与夹角的余弦值为，故C正确； 对D，，若与垂直， 则，解得，故D错误. 【变式2】（2026·广东·模拟预测）已知向量，，且与的夹角为，则______． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值. 【详解】向量，，则. 【变式3】（2026·广东揭阳·二模）如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. (1)求中线BN的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可. 【详解】（1）由，BN为中线，则， 在中，由余弦定理得， 则. （2）以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由，，，得， 则， 则，即， 所以， ，， 则， 所以的余弦值为. 【题型九】投影向量 【例9】（2026·福建厦门·模拟预测）已知，，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】在上的投影向量为 即 因为，所以 代入等式得 【变式1】（2026·陕西榆林·三模）已知不共线向量满足，且在上的投影向量为单位向量，则（    ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】A 【详解】由题知，，， 则. 设，即，，即，解得或. 当时，，则，此时共线，不合题意； 当时，，符合题意. 【变式2】（2026·重庆渝中·模拟预测）已知，，，若，则在方向上的投影向量的坐标为_____. 【答案】/ 【详解】由，得， 即，解得， 所以. ， ，. 所以在方向上的投影向量为 . 【变式3】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则______． 【答案】 【分析】由投影向量的计算式求得，计算即可得出的结果. 【详解】∵向量在向量上的投影向量为， ∴， ∴，，则， ∴. 【解题大招01】巧用化简求值 当题干中出现向量模长、向量自身数量积时，优先利用变形，将模长转化为数量积，简化运算，避免复杂开方或平方运算。 【例1】已知，，与的夹角为，求和的值。 解析：利用变形，结合数量积运算律展开： 1. 计算： 代入已知条件：，， ， 故； 2. 计算： 代入得：。 【解题大招02】坐标运算优先化简表达式 涉及向量坐标运算时，先利用平方差、完全平方等公式化简表达式（如），再代入坐标计算，减少坐标运算量，避免符号出错。 【例2】已知，，求的值。 解析：先化简表达式，再代入坐标计算： 计算相关量：，， ， 代入得：。 【解题大招03】 夹角问题“先判符号，再平方” 求解向量夹角时，若需对夹角公式平方求解，需先判断的符号（夹角为锐角时正、钝角时负、直角时0），避免平方后产生增根，确保夹角范围与计算结果一致。 【例3】已知，，且与的夹角为锐角，求实数k的取值范围。 解析：夹角为锐角需满足两个条件：① ；② 与不共线（共线时夹角为，非锐角）。 1. 由：； 2. 由与不共线：； 综上，k的取值范围为且。 【解题大招04】 垂直问题“转化为数量积为0” 无论向量是直接垂直（），还是间接垂直（如），均转化为“数量积为0”的方程求解，结合坐标运算或定义运算，快速建立关系式。 【例4】已知，，且，求t的值。 解析：由，得： 1. 先求； 2. 代入数量积为0：； 整理得：。 【解题大招05】 投影问题“巧用数量积变形” 技巧说明：求解向量投影（或投影模长）时，无需单独求夹角，直接利用数量积几何意义变形：，代入已知条件快速求解，简化运算。 【例5】已知，，，求在方向上的投影模长。 解析：由投影公式，在方向上的投影模长为： 1. 计算； 2. 代入公式得：（投影模长为非负数，取绝对值）； 故在方向上的投影模长为3。 【基础过关】（共8题） 一、单选题 1．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知平面向量， ，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，且，所以，，所以． 2．（2026·甘肃金昌·三模）已知向量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据向量减法法则，计算出的坐标，再利用向量垂直的性质（两个向量垂直，则它们的数量积为0），列方程求出参数的值和的坐标，并计算的坐标，最后根据向量模长公式，求出的值即可. 【详解】由题知， 因为， 所以，解得 所以，则：， 所以. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 二、多选题 4．（2026·贵州六盘水·一模）已知向量，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】由向量平行、垂直的坐标表示可得. 【详解】向量，， 若，则，即，所以A正确，B错误； 若，则，即，所以D正确，C错误. 5．（2026·云南昭通·模拟预测）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据平面向量基本运算的坐标表示，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，向量，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，所以，故B正确； 对于C选项，向量，，所以， 又，所以与不共线，故C错误； 对于D选项，因为，，所以， 所以，故D正确. 综上所述，选项ABD均正确. 三、填空题 6．（2026·河北邢台·二模）已知向量，若，则__________. 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即. 7．（2026·贵州安顺·模拟预测）设、为单位向量，若，则________. 【答案】（或） 【分析】利用向量数量积的运算性质和定义可求得，结合向量夹角的取值范围可得答案. 【详解】因为、为单位向量，，则， 所以， 因为，故. 四、解答题 8．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知. (1)判断四边形ABCD的形状，并证明； (2)求与夹角的余弦值. 【答案】(1)平行四边形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量的坐标表示证明即可. （2）根据向量坐标表示以及向量夹角的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为， 所以. 因为，所以四边形是平行四边形. （2）因为， 所以，进而. 【拔高选练】（共6题） 一、单选题 1．（2026·辽宁锦州·二模）已知向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示、向量的线性运算及向量的模计算即可. 【详解】由，得，即，解得，此时. 所以，则. 2．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量在向量方向的投影向量为，且，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题目可知，即， 因为，， 所以，解得. 二、多选题 3．（2026·重庆·三模）已知向量，则（    ） A．当时， B．存在，使 C．当时， 在方向上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时， 【答案】AD 【分析】根据向量共线的坐标表示判断A，根据向量模的坐标运算判断B，根据投影向量的计算公式求解判断C，根据数量积的坐标运算判断D. 【详解】对A，，则，解得，A正确； 对B，，若，则， 即，故不存在，使，B错误； 对C，当时，，， 在方向上的投影向量为，C错误； 对D，当与夹角为锐角时，且不共线， 即且，解得，D正确． 三、填空题 4．（2026·河北保定·二模）已知向量满足，，则的取值范围是________. 【答案】 【分析】通过已知条件得到的表达式，利用向量三角不等式确定的范围进行求解. 【详解】因为，两边平方得到， 整理得， 又根据向量三角不等式， 代入，，解得， 所以 5．（2026·山东聊城·模拟预测）已知向量，且，则向量在向量上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【详解】    ，解得， ，, 向量在向量上的投影向量为． 四、解答题 6．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量. (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，正弦二倍角公式即可求解； （2）由向量平行的坐标表示及两角和的正切公式即可求解. 【详解】（1）由，可得：， 化简可得：， 即； （2）由，可得， 即，显然， 即， 所以. 【错题复盘】（共5题） 一、单选题 1．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知向量，满足，，且，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【详解】因为，所以，即得，又，所以． 因为，则，所以，解得（负值舍去）． 2．（2026·安徽合肥·模拟预测）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， 由，， 又为角平分线，所以， ，即是边长为2的等边三角形， 设为中点，   是外接圆的圆心， 在的角平分线上， 且，，， ． 二、多选题 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知平面向量，若，则（   ） A． B．向量与平行 C．向量与的夹角的余弦值为 D．当时， 【答案】ACD 【详解】由得，所以A正确； 因为， 又，所以与不平行，故B错误； ，故C正确； 由，得， 所以，所以，故D正确． 三、填空题 4．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知向量，，若，则_________． 【答案】 【分析】先根据平行的坐标关系得出，最后应用数量积坐标公式计算求解. 【详解】因为，，， 所以，即， 从而． 四、解答题 5．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合两角和差的正弦公式对已知条件进行化简整理，得到，即可求解. （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【详解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 $