第40讲　圆的方程课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“圆的方程”专题，覆盖圆的定义、标准与一般方程、点与圆位置关系、轨迹方程及最值问题等高考核心考点，依据高考评价体系梳理出“方程求解”“轨迹探究”“最值计算”三大高频考查维度，通过教材经典题改编及模拟题分析，明确“轨迹方程”占30%、“最值问题”占40%的考点权重，归纳出几何法、代数法等常考题型解法。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的备考策略，如以2023年全国乙卷参数方程题为例，示范“相关点法”求轨迹方程，培养学生的模型意识和运算能力。针对最值问题，总结“几何性质转化”“参数方程代换”等技巧，结合易错点分析，帮助学生高效突破考点。教师可依托课件系统开展专题复习，提升学生答题规范性和得分率，助力高考冲刺。

第八章 第40讲　圆的方程 解析几何 1 1．(教材经典题改编)已知圆C以P1P2为直径，P1(4,9)，P2(6,3)，则下列各点在圆C外的是 (　　) A．M(6,9)　 B．N(3,3) C．Q(5,3)　 D．R(4,4) 【解析】 B 2．已知方程x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，则k的取值范围是 (　　) 【解析】 　　　　因为x2＋y2－2x＋2＋k＝0表示圆，所以D2＋E2－4F＝(－2)2－4(2＋k)＞0，解得k＜－1，故k的取值范围是(－∞，－1)． C 3．(教材经典题改编)圆心为C(－8，3)，且经过点M(－5，－1)的圆的方程是 (　　) A．(x＋8)2＋(y－3)2＝25 B．(x－8)2＋(y－3)2＝25 C．(x＋8)2＋(y－3)2＝16 D．(x－8)2＋(y＋3)2＝25 【解析】 A 4．(教材经典题改编)若圆C的圆心在x轴上，并且过A(－1,1)和B(1,3)两点，则圆C的方程是_________________． 【解析】 (x－2)2＋y2＝10 5．(教材经典题改编)已知圆C经过点A(3,1)，B(－1,3)，且它的圆心在直线3x－y－2＝0上，则圆C的标准方程为_________________；若D为圆C上任意一点，且点E(3,0)，则线段ED的中点M的轨迹方程为_________________． 【解析】 1．圆的定义、方程 定义 平面内到________的距离等于________的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心：__________ 半径：______ 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 条件：__________________ 圆心：______________ 半径：r＝________________ 定点 定长 (a，b) r D2＋E2－4F＞0 2．点与圆的位置关系 点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系： (1) 若点M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2； (2) 若点M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2； (3) 若点M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2． 3．两个常用结论 (2) 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0． (3) 圆的三个性质 ① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ② 圆心在圆的任意弦的垂直平分线上； ③ 两圆相切时，切点与两圆圆心共线． 目标 1 圆的方程 　　　(1) 经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的标准方程是______________________． 1 【解析】 【答案】(x－2)2＋(y－1)2＝10 【解析】 1 求圆的方程的两种方法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，求出D，E，F的值． 变式1　(2025·临汾三模节选)在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．问：经过A，B，C三点的圆是否经过定点(与m，n无关)? 【解答】 　　　　因为二次函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象与x轴交于两点，所以m2－4n＞0，得4n＜m2，设A(x1,0)，B(x2，0)，则有x1＋x2＝－m，x1x2＝n，由二次函数f(x)＝x2＋mx＋n与y轴交于点C，得C(0，n)． 又因为x1＋x2＝－m，x1x2＝n，解得D＝m，E＝－n－1，F＝n，故所求圆的方程为x2＋y2＋mx－(n＋1)y＋n＝0，即x(x＋m)＋(y－n)(y－1)＝0，所以当x＝0，y＝1时等式恒成立，故圆M恒过定点(0,1)． 目标 2 相关点法求动点轨迹方程 　　　如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C是圆x2＋y2＝1上异于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|＝|BC|，求线段AC与OD的交点P的轨迹方程．　 2 【解答】 相关点法求动点的轨迹方程，只要寻找要求点与已知点之间的关系，代入已知点所满足的关系式即可． 变式2　已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2＋y2＋4x＝0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么． 【解答】 目标 3 与圆有关的最值和范围问题 　　　(1) 已知M(－1,2)，N是曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0上的动点，P为直线x＋2y＋2＝0上的一个动点，则|PM|＋|PN|的最小值为__________． 3 【解析】 　　　　如图，曲线C：x2＋y2－6x－2y＋9＝0是以C(3,1)为圆心，1为半径的圆，则根据圆的性质可知，|PN|的最小值为|PC|－1． 　　　(2)(多选)已知实数x，y满足(x－2)2＋y2＝4，下列说法正确的是 (　 　) 3 【解析】 【答案】BD 【解析】 　　　　因为直线l：ax＋y－2a－2＝0，所以直线恒过点(2，2)．由C：x2＋y2－4x－4y＝1可得圆C的圆心C(2，2)，半径r＝3，则直线l恒过圆心C． 3 与圆有关的最值问题的求解方法 (1) 圆上动点到定直线(与圆相离)距离的最值：圆心到直线的距离加上或减去半径． (3) 求解形如|PM|＋|PN|且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决． 【解析】 B 微探究 圆的参数方程 　　　已知正方形ABCD的边长为2，点P在以A为圆心，1为半径的圆上，则|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的最小值为 (　　) 4 【解析】 【答案】 D 已知点是圆上的动点时，可以利用圆的参数方程设出点的坐标，将问题转化为三角函数问题，通过三角函数的最值(范围)来求解． 变式4　(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是 (　　) 【解析】 　　　　方法一：由题意得实数x，y满足(x－2)2＋(y－1)2＝9，表示圆心为(2,1)，半径为3的圆． 【答案】C 1．(2025·福州一模)已知圆x2＋y2＋4mx－2my＋m＝0(m∈R)与x轴相切，则m＝ (　　) 【解析】 D 2．若点P在圆x2＋y2＝36上运动，它与点Q(4,0)所连线段的中点为M，则点M的轨迹方程为 (　　) A．(x－2)2＋y2＝9 B．(x＋2)2＋y2＝9 C．x2＋(y－2)2＝9 D．x2＋(y＋2)2＝9 【解析】 因为动点P在圆上，所以(2x－4)2＋(2y)2＝36，则(x－2)2＋y2＝9，即点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝9． A 3．已知P是过O(0,0)，M1(－1，3)，M2(－3，－1)三点的圆上的动点，则|PO|的最大值为 (　　) C．5　 D．20 【解析】 B 4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,0)，B(1，0)，P为圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上的动点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为 (　　) A．34　 B．40 C．44　 D．48 【解析】 　　　　设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＝(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝2x2＋2y2＋4x＋10＝2[(x＋1)2＋y2]＋8，即|PA|2＋|PB|2等价于点P到点Q(－1,0)的距离的平方的两倍加8． B 配套练习题 一、单项选择题 1．已知点A(－2,3)在圆C：x2＋y2－2mx－4y＋5＝0外，则实数m的取值范围是 (　　) D 2．设点M，N是圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于 (　　) 【解析】 C 3．(2025·汕头一模)若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为 (　　) A．y＝－x－2　 B．y＝－x C．y＝－x或y＝x＋2　 D．y＝x＋2 【解析】 　　　　圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，所以圆心为(－2，2)． D 4．(2025·临汾二模)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为 (　　) A．1　 B．2 C．3　 D．4 【解析】 D 【解析】 D 6．已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为 (　　) 【解析】 　　　　因为P是x轴上的动点，所以|PM|的最小值为|PC1|－1，同理，|PN|的最小值为|PC2|－3，则|PM|＋|PN|的最小值为|PC1|＋|PC2|－4． A 7．已知实数a，b满足a2＋b2＝a－b，则|a＋b－3|的最小值为 (　　) 【解析】 B 【解析】 又D是圆C上的动点，故(m－3)2＋n2＝9，将(*)代入上式，可得(4－x－3)2＋(8－y)2＝9，整理得(x－1)2＋(y－8)2＝9，即为点M的轨迹方程． B 二、多项选择题 9．已知圆C：(x－3k)2＋(y－4k＋1)2＝1＋25k2，则下列结论中正确的有(　　　) A．圆C过定点 B．点(0,0)在圆C外 C．直线4x－3y－3＝0平分圆周 D．存在实数k，使圆与x轴相切 ACD 10．已知点P(x，y)是圆(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．则下列结论正确的是(　　　) A．点P到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值为2 【解答】 【答案】BCD　 11．(2025·江门模拟)已知曲线Γ：x2＋y2－5＝|2y－2|，则 (　 　) A．曲线Γ关于y轴对称 【解析】 　　　　对于A，令(x，y)是曲线Γ上的任意一点，即x2＋y2－5＝|2y－2|，则(－x)2＋y2－5＝|2y－2|成立，即点(－x，y)在曲线Γ上，因此曲线Γ关于y轴对称，A正确． 【答案】AD 三、填空题 12．(2025·南京二模)若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A(1,2)，则圆心C的坐标为________． 【解析】 　　　　设过点A(1,2)且与直线l：x－y＋1＝0垂直的直线为x＋y＋m＝0，则1＋2＋m＝0，解得m＝－3，所以x＋y－3＝0，即圆心在直线x＋ y－3＝0上．又圆心在x轴上，令y＝0，可得x＝3，所以圆心坐标为(3,0)． (3，0) 13．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－3,0)，B(1,0)，P为圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝1上动点，则|PA|2＋|PB|2的最小值为______． 【解析】 40 14．已知直线y＝kx＋2(k∈R)交圆O：x2＋y2＝9于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，则|3x1＋4y1＋16|＋|3x2＋4y2＋16|的最小值为______． 【解析】 【答案】30 $