6.1 数列的概念与简单表示法 课件-2027届高考数学一轮复习

第六章 数列 考 情 清 单 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 等差数列及其前n项和 2023新课标Ⅰ，7 等差数列的判定 10考 数学运算 2021新高考Ⅰ，17(1) 2023新课标Ⅰ，20(1) 等差数列的通项公式 2023新课标Ⅱ.18(1) 2022新高考Ⅰ，17(1) 2021新高考Ⅱ，17(1) 2025全国二卷，7 等差数列的前n项和 2023新课标Ⅰ，20(2) 2021新高考Ⅱ，17(2) 2024新课标Ⅱ，12 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 等比数列及其前n项和 2022新高考Ⅱ，17(1) 等比数列的通项公式 4考 数学运算 2025全国二卷，9 等比数列的前n项和 2025全国一卷，13 2023新课标Ⅱ，8 数列求和 2021新高考Ⅰ，16 错位相减法求和 2考 数学运算 逻辑推理 2021新高考Ⅰ，17(2) 分组、并项法求和 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 数列综合 2025全国一卷，16 数列与函数综合 6考 数学运算 逻辑推理 2023新课标Ⅱ，18(2) 数列与不等式综合 2022新高考Ⅰ，17(2) 2024新课标Ⅰ，19 数列创新 2024新课标Ⅱ，19 2022新高考Ⅱ，3 数列的实际应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 【命题形式】 本章内容是高考必考内容之一，小题重点考查等差、等比数列的概念、性质、通项公式和前n项和公式，解答题常考查求数列的通项公式及求和的方法，重点体现错位相减法、裂项相消法及分组、并项求和法的应用．数列与其他知识相结合的创新题型也是近年考试的热点．复习时应注重基础，提升能力，保证计算的准确性，重视分类讨论、逻辑推理、转化与化归思想的应用． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 第1讲　数列的概念与简单表示法 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[34] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　数列的有关概念 概念 含义 数列 按照____________排列的一列数 数列的项 数列中的____________ 数列的通项 数列{an}的第n项an 通项公式 数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式_______________表示，这个公式叫做数列{an}的通项公式 前n项和 数列{an}中，Sn＝________________叫做数列{an}的前n项和 一定顺序 每一个数 an＝f(n) a1＋a2＋…＋an 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 知识点二　数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点______________画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用________表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法 (n，an) 公式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 知识点三　an与Sn的关系 知识点四　数列的分类 有限 无限 S1 Sn－Sn－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 归 纳 拓 展 1．常见数列的通项公式 (1)自然数列：1,2,3,4，…，an＝n. (2)奇数列：1,3,5,7，…，an＝2n－1. (3)偶数列：2,4,6,8，…，an＝2n. (4)平方数列：1,4,9,16，…，an＝n2. (5)2的乘方数列：2,4,8,16，…，an＝2n. (6)乘积数列：2,6,12,20，…，an＝n(n＋1)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 (8)重复数串列：9,99,999,9 999，…，an＝10n－1. (9)符号数列：－1,1，－1,1，…，或1，－1,1，－1，…，an＝(－1)n或an＝(－1)n＋1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．(　　) (3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对于任意n∈N*，都有an＝Sn－ Sn－1.(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [解析]　(1)因为数列是按一定顺序排列的一列数，正确． (3)数列除递增、递减以外还有常数列和摆动数列． (4)由数列前n项和的定义可知，当n∈N*，且n≥2都有an＝Sn－ Sn－1，而n＝1时a1＝S1，所以不正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 题组二　走进教材 2．(选择性必修2P8T2改编)在数列{an}中，已知a1＝1，a2＝2且an＋2＝an＋1＋2an，则32是数列的(　　) A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 [答案]　C [解析]　由a1＝1，a2＝2，得a3＝a2＋2a1＝4，a4＝a3＋2a2＝8，a5＝a4＋2a3＝16，a6＝a5＋2a4＝32.故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 3．(选择性必修2P9T5改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，那么它的通项公式an等于(　　) A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1 [答案]　B [解析]　∵a1＝S1＝1＋1＝2，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n)－[(n－1)2＋(n－1)]＝2n(n≥2)，当n＝1时，2n＝2＝a1，∴an＝2n. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 题组三　走向考场 5．(2025·浙江名校联考)数列{an}满足an＋2＝2an＋1＋3an，则下列a1，a2的值能使数列{an}为周期数列的是(　　) A．a1＝0，a2＝1 B．a1＝－1，a2＝1 C．a1＝0，a2＝2 D．a1＝－2，a2＝0 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [解析]　对于A，当n＝1时，a3＝2a2＋3a1＝2；当n＝2时，a4＝2a3＋3a2＝7；当n＝3时，a5＝2a4＋3a3＝20，……无周期性，故A错误；对于B，当n＝1时，a3＝2a2＋3a1＝－1；当n＝2时，a4＝2a3＋3a2＝1；当n＝3时，a5＝2a4＋3a3＝－1，……所以数列是以2为周期的周期数列，故B正确；对于C，当n＝1时，a3＝2a2＋3a1＝4；当n＝2时，a4＝2a3＋3a2＝14；当n＝3时，a5＝2a4＋3a3＝40，……无周期性，故C错误；对于D，当n＝1时，a3＝2a2＋3a1＝－6；当n＝2时，a4＝2a3＋3a2＝－12；当n＝3时，a5＝2a4＋3a3＝－42，……无周期性，故D错误．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 考点突破 · 互动探究 返回导航 由数列的前几项求数列的通项公式——自主练透 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式an. (1)－1,7，－13,19，…； (2)3,5,9,17,33，…； (3)5,55,555,5 555，…； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [解析]　(1)符号可通过(－1)n或(－1)n＋1调节，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5)． (2)观察各项的特点：每一项都比2的n次幂多1，所以an＝2n＋1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 1．常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等． 2．具体策略 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征； (4)各项的符号特征和绝对值特征； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 (5)化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； (6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理． 注意：并不是每个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 由an与Sn的关系求通项公式——师生共研 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 2．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨：Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化． 1．利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式． 2．利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 【变式训练】 1．(2026·太原调研)已知数列{an}满足a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2，n∈N*，则{an}的通项公式an＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 2．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 用累加法、累乘法求通项公式——多维探究 角度1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 角度2　形如an＋1＝anf(n)，求an (2025·四川泸州三模)已知Sn是数列{an}的前n项和，a1＝1，nan＋1＝(n＋2)Sn，则an＝_____________. [答案]　(n＋1)·2n－2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [引申]本例中Sn＝________. [答案]　n·2n－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 1．累加法求通项公式 如果数列{an}的递推公式满足an＋1－an＝f(n)的形式，且f(n)可求和，那么就可以运用累加法an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 2．累乘法求通项公式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 【变式训练】 A．2＋ln n B．2＋(n－1)ln n C．2＋nln n D．1＋n＋ln n [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　n·2n－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 数列的函数性质——多维探究 角度1　数列的周期性 [答案]　1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 角度2　数列的单调性 (2026·阜阳模拟)已知数列{an}满足an＝2n2＋λn(λ∈R)，则“{an}为递增数列”是“λ≥0”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C [解析]　由{an}为递增数列得，an＋1－an＝[2(n＋1)2＋λ(n＋1)]－(2n2＋λn)＝λ＋4n＋2>0，n∈N*，则λ>－(4n＋2)对于n∈N*恒成立，得λ> －6，可得λ≥0⇒λ>－6，反之不成立．故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 角度3　数列的最大(小)项问题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 1．解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的方法：(1)作差(或商)法；(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 【变式训练】 1．(角度2)(2026·宁波模拟)已知数列{an}满足an＝λn2－n，对任意n∈{1,2,3}都有an>an＋1，且对任意n∈{n|n≥7，n∈N}都有an<an＋1，则实数λ的取值范围是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　3，－1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　2 028 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 递推数列的通项公式的求法 热点一　an＋1＝Aan＋B(A、B为常数)型 (2026·西北师大附中调研)已知数列{an}满足a1＝－2，且an＋1＝3an＋6，则an＝____________. [答案]　3n－1－3 [解析]　∵an＋1＝3an＋6，∴an＋1＋3＝3(an＋3)，又a1＝－2，∴a1＋3＝1，∴{an＋3}是首项为1，公比为3的等比数列，∴an＋3＝3n－1，∴an＝3n－1－3. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 (2025·江苏南京模拟预测)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1－an＋anan＋1＝0(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 热点三　an＋1＝pan＋f(n)(p为常数)型 (1)在数列{an}中，若a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*，则an＝____________. (2)若a1＝1，an＋1＝2an＋3n，n∈N*，则an＝____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　(1)4n－1＋n　(2)3n－2n 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 名师点拨： 1．形如an＋1＝pan＋An＋B(p、A、B为常数)的类型，可令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝p(an＋λn＋μ)，求出λ、μ的值即可知{an＋λn＋μ}为等比数列，进而可求an. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 【变式训练】 在数列{an}中， (1)若a1＝1，an＋1＝3an＋2，则an＝____________； (3)若a1＝1，an＋1＝2an－3n，n∈N*，则an＝____________； (4)若a1＝1，an＋1＝2an＋3·2n，n∈N*，则an＝____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [解析]　(1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，∴an＝2×3n－1－1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 提能训练　练案[34] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 2．(2025·安徽合肥一六八中学月考)已知数列{an}满足an＋1(1－an)＝1，若a1＝－1，则a10＝(　　) A．2 B．－2 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 A．a1，a100 B．a45，a44 C．a45，a1 D．a44，a100 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 4．(2025·辽宁沈阳联考)已知数列{an}的前n项和为Sn.若an＋an＋1＝2n＋5，a1＝1，则S8＝(　　) A．48 B．50 C．52 D．54 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 5．(2025·重庆西南大学附中阶段性检测)已知数列{an}的首项a1＝ 2 025，其前n项和Sn满足Sn＝n2an，则a2 024＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 6．(2025·辽宁沈阳交联体期中)已知a1＝1，an＝n(an＋1－an) (n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 8．(2025·山东临沂一模)设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋nan＝1，则满足Sn>0.99时，n的最小值为(　　) A．49 B．50 C．99 D．100 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 二、多选题 9．已知数列的前4项为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项可能是(　　) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [解析]　当n为奇数时an＝2，当n为偶数时an＝0，故A正确；当n为奇数时an＝2，当n为偶数时an＝0，故B正确；当n＝3时，a3＝－2不符合，故C错误；当n为奇数时an＝2，当n为偶数时an＝0，故D正确．故选ABD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 A．a6＝19 B．a7>a6 C．S5＝22 D．S6>S5 [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 11．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现．因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．“斐波那契数列”{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋an－2 (n≥3，n∈N*)，记其前n项和为Sn，则下列结论正确的是(　　) A．S7＝33 B．S2 026＋S2 025－S2 024－S2 023＝a2 028 C．a1＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a2 028 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 三、填空题 12．若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝____________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 [答案]　3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 B组能力提升 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 A．[2,4] B．[1,3] C．[3,5] D．[5,9] [答案]　B [解析]　根据数列递推关系写出数列的项．设a4＝m，则m∈[2,3]，得a3＝m－1，a2＝2(m－1)＝2m－2，所以a1＝2m－3∈[1,3]．故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 3．(2025·陕西咸阳三模)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n－1，则a7＝(　　) A．43 B．46 C．37 D．36 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 解法二：由题a1＝1，an＋1－an＝2n－1，所以a7＝(a7－a6)＋(a6－a5)＋…＋(a2－a1)＋a1＝11＋9＋7＋5＋3＋1＋1＝37.故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 4．(多选题)(2026·广东肇庆模拟)将自然数1,2,3,4,5，…按照如图排列，我们将2,4,7,11,16，…称为“拐弯数”，则下列数字是“拐弯数”的是(　　) A．37 B．58 C．67 D．79 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 5．(2025·山东德州期中改编)在数列{an}中，a1＝1，其前n项和为Sn，且nSn－Sn－1＝(n－1)(Sn－1＋an－1)(n≥2且n∈N*)．则an＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 C组拓展应用(选作) A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第六章　数列 谢谢观看 若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝ (7)正整数的倒数列：1，，，，…，an＝. 2．在数列{an}中，若an最大，则(n≥2，n∈N＋)；若an最小，则(n≥2，n∈N＋)． (2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是an＝.(　　) (2)比如数列1,0,1,0，…的通项公式为：an＝或an＝或an＝，所以错误． 4．(选择性必修2P8T3改编)已知数列{an}满足a1＝2，an＝2－(n≥2)，则a5＝________，猜想an＝________. [答案]　　 [解析]　由题意知a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝，a5＝2－＝，猜想an＝. (4)1,0，，0，，0，，0，…； (5)，1，，，…. (3)将原数列改写为×9，×99，×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故原数列的一个通项公式为an＝(10n－1)． (4)把原数列改写成，，，，，，，，…，分母依次为1,2,3，…，而分子1,0,1,0，…周期性出现，因此原数列的一个通项公式为an＝. (5)将原数列改写为，，，，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，故可得原数列的一个通项公式为an＝. 1．Sn是各项均为正数的数列{an}的前n项和，且Sn＝a＋an－14，则an＝(　　) A． B．n＋3 C． D． [解析]　由题得Sn＝a＋an－14，Sn－1＝a＋an－1－14(n≥2)，两式相减得an＝a－a＋an－an－1(n≥2)，所以a－a－an－an－1＝0(n≥2)，所以(an－an－1)(an＋an－1)－(an＋an－1)＝0(n≥2)，所以(an＋ an－1)·＝0(n≥2)．因为数列各项均为正数，所以an＋an－1>0，所以an－an－1－＝0(n≥2)，所以an－an－1＝(n≥2)，所以数列{an}是以 a1为首项，以为公差的等差数列．令n＝1得a1＝a＋a1－14，解得a1＝4或－(舍去)，所以an＝4＋(n－1)＝.故选A. [答案]　 [解析]　由已知，可得当n＝1时，a1＝21＝2，∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n　①，故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)　②，由①－②，得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2)，当n＝1时，不满足上式，∴an＝ [答案]　 [解析]　因为a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－1)an＝(n＋1)2　①，所以a1＝22＝4，当n≥2时，a1＋3a2＋5a3＋…＋(2n－3)an－1＝n2　②，由①－②，可得(2n－1)an＝2n＋1，所以an＝(n≥2，n∈N*)，当n＝1时，不满足上式，所以数列{an}的通项公式是an＝ [答案]　－ [解析]　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由两式联立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.因为Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.又＝－1，所以数列是首项为－1，公差为－1的等差数列．所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－. (2025·河南师大附中月考)已知数列{an}满足an＋1＝an＋，a1＝1，则an＝____________. [答案]　2－ [解析]　由题意知an－an－1＝(n≥2)∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝＋＋…＋＋1＝＝2－. [解析]　当n≥2时，(n－1)an＝(n＋1)Sn－1，即Sn＝an＋1，Sn－1＝an，则Sn－Sn－1＝an＋1－an＝an，即＝，则有＝，＝，…，＝，则an＝××…××a1＝(n＋1)·2n－2，当n＝1时，a1＝1，符合上式，故an＝(n＋1)·2n－2. [解析]　Sn＝＝＝n·2n－1. 如果数列{an}的递推公式满足＝f(n)(an≠0)的形式，且f(n)可求积，那么就可以运用累乘法an＝···…··a1(n≥2)，求出数列{an}的通项公式． 1．(角度1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an等于(　　) [解析]　因为an＋1－an＝ln ＝ln(n＋1)－ln n，所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，则an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也满足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*)． 2．(角度2)已知在数列{an}中，a1＝1，＝，则an＝________. [解析]　an＝···…···a1＝×××…×××1＝2n－1·n，又n＝1时，a1＝1适合上式，所以an＝n·2n－1. (2025·云南大理统测)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝－，则a2 025＝________. [解析]　解法一：由题意知，a1＝1，a2＝2，a3＝－＝－2，a4＝－＝－1，a5＝－＝1，a6＝－＝2，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1. 解法二：把an＋2＝－看作f(n＋2)＝－，则f(n＋4)＝－＝f(n)，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 025＝a506×4＋1＝a1＝1. 数列{bn}满足bn＝，则当n＝________时，bn取最大值为________. [答案]　4　 [解析]　解法一：bn－bn－1＝－＝，所以当n≤4时，bn>bn－1，所以{bn}单调递增，当n≥5时，bn<bn－1，所以{bn}单调递减，故当n＝4时，(bn)max＝b4＝. 解法二：令即解得≤n≤，又n∈N*，故n＝4，故当n＝4时，(bn)max＝b4＝. 3．求数列中最大(小)项的方法：(1)根据数列的单调性判断；(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值． A． B． C． D． [解析]　由题意得λ>0.∀n∈{1,2,3}，an>an＋1⇒>⇒λ<；∀n≥7，an<an＋1⇒<⇒λ>，∴<λ<.故选C. 2．(角度3)已知数列{an}的通项an＝，n∈N*，则数列{an}前20项中的最大项与最小项的值分别为________. [解析]　an＝＝＝1＋，当n≥11时，>0，且单调递减；当1≤n≤10时，<0，且单调递减．因此数列{an}前20项中的最大项与最小项分别为第11项，第10项，则a11＝3，a10＝－1. 3．(角度1)(2026·太原模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝则数列{an}的前2 026项和为________. [解析]　因为a1＝1，an＋1＝所以a2＝3，a3＝－1，a4＝1，a5＝1，a6＝3，a7＝－1，a8＝1，…，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，且a1＋a2＋a3＋a4＝4，因为2 026＝506×4＋2，所以数列{an}的前2 026项和为4×506＋1＋3＝2 028. 形如an＋1＝Aan＋B(其中A，B均为常数，AB(A－1)≠0)，可把原递推公式转化为an＋1－t＝A(an－t)，其中t＝，再利用换元法转化为等比数列求解． 热点二　an＋1＝(A、B、C为常数)型 [答案]　an＝ [解析]　数列{an}中，a1＝1,2an＋1－an＋anan＋1＝0，显然an≠0，则有＝2·＋1，即＋1＝2，而＋1＝2，因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以＋1＝2n，即an＝. 形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解． [分析]　观察递推式特征：an＋1＝pan＋f(n)，类似等比数列，故可尝试化为等比数列求解，以(1)为例可设an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝4(an＋λn＋μ)，整理得an＋1＝4an＋3λn＋(3μ－λ)所以即转化成功． [解析]　(1)∵an＋1＝4an－3n＋1，∴an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，即＝4，又a1＝2，∴a1－1＝1，∴{an－n}是首项为1，公比为4的等比数列，∴an－n＝4n－1.∴an＝4n－1＋n. (2)解法一：∵an＋1＝2an＋3n，令an＋1＋λ·3n＋1＝2(an＋λ·3n)比较系数得λ＝－1.∴an＋1－3n＋1＝2(an－3n)，即＝2，又a1＝1，∴a1－3＝－2，∴{an－3n}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴an－3n＝－2n，∴an＝3n－2n. 解法二：∵an＋1＝2an＋3n，∴＝·＋1， ∴－3＝，又a1＝1， ∴是首项为－2，公比为的等比数列， ∴－3＝－2n－1，∴an＝3n－2n. 2．形如an＋1＝pan＋Aqn(p、A为常数)的类型．当p≠q时，可令an＋1＋λqn＋1＝p(an＋λqn)，求出λ的值即可知{an＋λqn}是等比数列，进而可求an，当p＝q时可化为＝＋A即－＝A(常数)知为等差数列，进而可求an. (2)a1＝1，an＝(n≥2)，则an＝____________； [答案]　(1)2×3n－1－1　(2) (3)－5·2n－1＋3n＋3　(4)(3n－2)·2n－1 (2)将an＝两边取倒数，得－＝2，这说明是一个等差数列，首项是＝1，公差为2，所以＝1＋(n－1)×2＝2n－1，即an＝. (3)∵an＋1＝2an－3n，令an＋1＋λ(n＋1)＋μ＝2(an＋λn＋μ)，则即∴an＋1－3(n＋1)－3＝2(an－3n－3)．又a1＝1，∴{an－3n－3}是首项为－5，公比为2的等比数列，∴an－3n－3＝－5·2n－1∴an＝－5·2n－1＋3n＋3. (4)∵an＋1＝2an＋3·2n，∴－＝3，又a1＝1，∴是首项为1，公差为3的等差数列，∴＝1＋3(n－1)，∴an＝(3n－2)·2n－1. 1．(2025·河南期中)数列，－，，－，…的一个通项公式为(　　) A．(－1)n B．(－1)n－1 C．(－1)n D．(－1)n－1 [解析]　设该数列为{an}，a1＝，a2＝－，a3＝，a4＝－.a1＝－，不满足题意，故A错误；a3＝，不满足题意，故B错误；a1＝－，不满足题意，故C错误；a1＝，a2＝－，a3＝，a4＝－，均满足题意．故选D. C．－1 D． [解析]　因为an＋1＝，a1＝－1，所以a2＝，a3＝2，a4＝－1，所以数列{an}的周期为3，所以a10＝－1.故选C. 3．(2026·广东汕头摸底考)已知数列an＝(n∈N*)，则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) [解析]　an＝＝＝1＋(n∈N*)，因为442<2 024<452，所以n≤44时，数列{an}递增，且an>1；n≥45时，数列{an}递增，且an<1.所以数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45，a44.故选B. [解析]　∵an＋an＋1＝2n＋5，∴an＋2＋an＋3＝2(n＋2)＋5，a1＋a2＝7，∴数列{a2n－1＋a2n}是以7为首项，4为公差的等差数列，∴S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a7＋a8＝4×7＋×4＝52.故选C. A． B． C． D． [解析]　因为Sn＝n2an，所以Sn－1＝(n－1)2an－1(n≥2)，两式相减得an＝n2an－(n－1)2an－1，所以＝(n≥2)，所以··…··＝··…··＝，所以＝(n≥2)，所以an＝(n≥2)，所以a2 024＝.故选C. A．an＝2n－1 B．an＝n－1 C．an＝n D．an＝n2 [解析]　解法一：由an＝n(an＋1－an)，得(n＋1)an＝nan＋1，＝，∴为常数列，即＝＝1，所以an＝n.故选C. 解法二：当n＝1时，a1＝a2－a1，∴a2＝2，否定A、B、D，故选C. 7．已知数列{an}满足an＝(n∈N*)，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A． B． C．(2,3) D．(1,3) [解析]　由题意解得2<a<3.故选C. [解析]　因为Sn＋nan＝1，所以a1＝，当n≥2时，Sn＋nan＝Sn－1＋(n－1)an－1＝1，所以(n＋1)an＝(n－1)an－1，因为a1＝，所以an≠0，所以＝，此时an＝×××…×××a1＝×××…××××＝，当n＝1时，a1＝也满足该式，则an＝，则Sn＝1－nan＝1－，若Sn＝1－>0.99，则n>99且n∈N*，故所求n的最小值为100.故选D. A．an＝(－1)n－1＋1 B．an＝ C．an＝2sin D．an＝cos(n－1)π＋1 10．已知数列{an}的通项公式为an＝则(　　) [解析]　因为an＝所以a1＝4，a2＝－2，a3＝10，a4＝－6，a5＝16，a6＝－10，a7＝22，所以A错误，B正确；S5＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝4＋(－2)＋10＋(－6)＋16＝22，故C正确；因为a6＝－10，所以S6－S5＝a6<0，所以S6<S5，故D错误．故选BC. D．a＋a＋a＋…＋a＝a2 025a2 026 [解析]　S7＝a1＋a2＋a3＋…＋a7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33，A正确；S2 026＋S2 025－S2 024－S2 023＝a2 025＋a2 026＋a2 024＋a2 025＝a2 027＋a2 026＝a2 028，B正确；a1＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a2＋a3＋a5＋…＋a2 027＝a4＋a5＋…＋a2 027＝a6＋…＋a2 027＝a2 026＋a2 027＝a2 028，C正确；a＝a2a1，a＝a2(a3－a1)＝a2a3－a1a2，a＝a3a4－a2a3，a＝a4a5－a3a4，…，a＝a2 025a2 026－a2 024a2 025，a＝a2 026a2 027－a2 025a2 026，所以a＋a＋a＋…＋a＝a2 026a2 027，D错误． [答案]　 [解析]　当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．故数列{an}的通项公式为an＝ 13．已知数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________. [答案]　n－1 [解析]　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，所以a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，所以＝－，所以数列{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，故an＝n－1. 14．(2026·广州模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，当取最小值时，n＝________. [解析]　n＝1时，a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n，n＝1时也满足上式，∴an＝2n，n∈N*，则＝＝＝＋≥.当且仅当n＝3时取“＝”． 1．若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 026的值为(　　) A．2 B．－3 C．－ D． [解析]　由题意知，a1＝2，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，因此数列{an}是周期为4的周期数列，所以a2 026＝a506×4＋2＝a2＝－3. 2．(2025·浙江温州适应考)已知数列{an}满足an＝若a4∈[2,3]，则a1的取值范围是(　　) [解析]　解法一：由题得an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2(n≥2)，所以a7＝72－2×7＋2＝37. [解析]　不妨设第n(n∈N*)个“拐弯数”为an，不难发现a1＝2，a2＝4＝a1＋2，a3＝7＝a2＋3，a4＝11＝a3＋4，…，所以an－an－1＝n(n≥2)，利用累加法得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，因而an＝，当n＝1时，也符合上式，所以an＝(n∈N*)．代入选项验算可知A，C，D三个选项正确．故选ACD. [答案]　 [解析]　因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，代入nSn－Sn－1＝(n－1)(Sn－1＋　　an－1)，整理得an＝an－1(n≥2)，所以an＝an－1，an－1＝an－2，…，a2＝a1，以上(n－1)个式子相乘得，an＝a1···…·＝＝.当n＝1时，a1＝1，符合上式，所以an＝. (2025·陕西榆林二模)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列{bn}：b1＝1＋，b2＝1＋，b3＝1＋，…，依此类推，其中αk∈N*(k＝1,2，…)．则(　　) [解析]　解法一：当n取奇数时，由已知b1＝1＋，b3＝1＋ ，因为>，所以b1>b3，同理可得b3>b5，b5>b7，…，于是可得b1>b3>b5>b7>…，故A不正确；当n取偶数时，由已知b2＝1＋，b4＝1＋，因为>，所以b2<b4，同理可 得b4<b6，b6<b8，…，于是可得b2<b4<b6<b8<…，故C不正确；因为>，所以b1>b2，同理可得b3>b4，b5>b6，b7>b8，又b3>b7，所以b3>b8，故B不正确．故选D. 解法二(特殊值法)：不妨取αk＝1，则b1＝1＋＝2，b2＝1＋＝1＋＝1＋＝，b3＝1＋＝1＋＝1＋＝，所以b4＝1＋＝1＋＝，b5＝1＋＝1＋＝，b6＝1＋＝1＋＝，b7＝1＋＝1＋＝，b8＝1＋＝1＋＝.逐一判断选项可知选D. $