第1节数列的概念与简单表示法课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　数列的概念与简单表示法 考情深度分析 1.考查分布与难度 基础层级:等差、等比数列基本量计算(通项、求和公式)、性质的应用、an与Sn的互化(客观题为主). 中高层级:由数列的递推公式求通项公式(累加、累乘、构造法)、数列求和(裂项相消法、错位相减等). 压轴层级:数列与不等式的综合(放缩法、最值)、新定义数列(周期、分形特征)、实际建模(金融、环保). 趋势:近5年与数列的递推关系有关的题占比较高,跨模块(函数、导数)融合题增幅较大,分类讨论(奇、偶项递推)频率提升. 2.能力与素养要求 突出数学运算(求和精度)、逻辑推理(递推转化、放缩思路)、数学建模(实际问题抽象),尤其注重: (1)递推转化能力:an与Sn互化、复杂递推关系构造等差、等比数列; (2)放缩技巧:裂项放缩、不等式证明. 高效复习策略 1.公式通法夯实 强化等差、等比数列通项公式与前n项和公式的运用,熟练an与Sn的互化(必验n=1时的情况); 突破由数列的递推公式求通项公式的通法:累加法、累乘法、构造法. 2.题型分层突破 基础题:每日训练等差、等比数列的性质、an与Sn的转化; 中档题:专项突破错位相减、裂项相消等数列求和方法; 压轴题:聚焦数列与不等式的综合性题目、与数列有关的新定义题目. 3.关联思维拓展 用导数判断数列的单调性,用导数证明关于数列的不等式. 课标解读　1.了解数列的概念和表示方法(列表、图象、通项公式),了解数列是一种特殊函数.2.能利用an与Sn的关系以及递推关系求数列的通项公式.3.能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题. 1.数列的有关概念 概念 含义 数列 按照　　　　　排列的一列数 数列的项 数列中的　　　　 　　　 数列的通项 数列{an}的第n项an 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,这个式子叫作数列的通项公式 前n项和 数列{an}中,Sn=a1+a2+…+an叫作数列{an}的前n项和 确定的顺序 每一个数 2.an与Sn的关系 若数列{an}的前n项和为Sn,则an= 微点拨 切记公式an=Sn-Sn-1成立的条件是n≥2,当n=1时,只能用a1=S1求解,根据Sn求an时一定要注意检验a1的值是否适合an=Sn-Sn-1. 3.数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数　　　　  无穷数列 项数　　　　  项与项间的大小关系 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1<an 常数列 an+1=an 摆动数列 从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 有限 无限 4.数列与函数的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2,…,n})到实数集R的函数,其自变量是　　　　,对应的函数值是　　　 　　　,记为an=f(n).  5.数列的表示方法 列表法 列表格表示n与an的对应关系 图象法 把点　　　　　画在平面直角坐标系中  公式法 通项公式 数列的通项使用an=f(n)表示的方法 递推公式 使用初始值a1和an+1=f(an)或a1,a2和an+1=f(an,an-1)等表示数列的方法 序号n 数列的第n项an (n,an) [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(　　) (2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　) (3)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　) (4)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对∀n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　) √ × 解析 1,1,1,1,…是按固定顺序排列的一列数,符合数列的定义,所以能构成数列. × 解析 数列具有有序性,即相同的一组数按不同顺序排列时,是不同的数列. √ 2.(多选题)(人A选二例题改编)已知数列{an}的通项公式an=cos,则下列各数中,是{an}的项的是(　　) A.1　　　　　　　 B.0 C.-1 D.2 ABC 解析 当通项公式中的n=1,2,3时,a1=cos=1,a2=cos=0, a3=cos=-1,则数列{an}的项可以为1,0,-1,由余弦函数的取值范围可知D错误.故选ABC. 3.(人A选二习题改编)已知数列{an}满足a1=3,an=an-1+1(n≥2),则a12=　　　　.  3 解析 a2=a1+1=3,a3=a2+1=3,…,a12=3. 4.(人B选三习题)写出数列2,0,2,0,…的一个通项公式为　　　 　　　　　.  an=(-1)n+1+1或an=(答案不唯一) 5.(多选题)(人A选二习题改编)已知数列{an}的前n项和公式为Sn=,则下列说法正确的是(　　) A.数列{an}的首项为a1= B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递减数列 D.数列{an}为递增数列 ABC 解析 由a1=S1=,知A正确;当n>1时,an=Sn-Sn-1=,当n=1时,a1=,也满足上式,故数列{an}的通项公式为an=,B正确,从而C正确,D错误.故选ABC. 6.(人A选二习题改编)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*),则an的最小值为　　　　　.  解析 由题意得an==1-因为n为正整数,所以2n≥2,则0<, --<0,则an<1,所以an的最小值是 考点一　由an与Sn的关系求通项公式 例1　(1)(2025·江苏连云港模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an+1=2Sn+2,则an=(　　) A.2×3n-1 B.3×2n-1 C.3n D.2n A 考点一 考点二 考点三 解析 在等比数列{an}中,设公比为q,∵an+1=2Sn+2, ∴解得an+2=3an+1, ∴q=3. 当n=1时,a2=2S1+2=2a1+2=3a1,解得a1=2,∴{an}是以2为首项,3为公比的等比数列,∴an=2×3n-1(n∈N*). 故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·陕西安康模拟)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足a1=1,an+1=2Sn,则a2 025=(　　) A.2×32 023 B.32 023 C.32 024 D.2×32 024 A 解析 在数列{an}中,由an+1=2Sn,得Sn+1-Sn=2Sn,即Sn+1=3Sn,而S1=a1=1,所以数列{Sn}是首项为1,公比为3的等比数列,则Sn=3n-1,所以a2 025=S2 025-S2 024 =32 024-32 023=2×32 023.故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　Sn与an的关系问题转化的两个方向: (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解; (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](1)(2025·广东深圳期末)已知数列{an}满足a1+3a2+…+3n-1an =n·3n,则a2 025=　　　　　.  4 051 解析 当n≥2时,a1+3a2+…+3n-2an-1=(n-1)·3n-1,与a1+3a2+…+3n-1an=n·3n两边分别相减得3n-1an=n·3n-(n-1)·3n-1=(2n+1)·3n-1,则an=2n+1, 经检验,当n=1时也成立, 故an=2n+1,即a2 025=4 051. 考点一 考点二 考点三 (2)设数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an(2Sn-1)=2(n≥2,n∈N*),则 an=　 　　　.  解析 由于an(2Sn-1)=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1,所以(Sn-Sn-1)·(2Sn-1)=2,所以2Sn-1Sn=Sn-1-Sn,即2=,故{}是以=1为首项,2为公差的等差数列,所以=1+2(n-1)=2n-1,所以Sn=当n≥2时,an=Sn-Sn-1= =-,所以an= 考点一 考点二 考点三 考点二　由数列的递推关系求通项公式 例2　(1)(2025·河北期末)在数列{an}中,a1=0,an+1=an+ln(1+),则{an}的通项公式为(　　) A.an=ln n B.an=(n-1)ln(n+1) C.an=nln n D.an=ln n+n-1 A 考点一 考点二 考点三 解析 由已知得an+1-an=ln=ln(n+1)-ln n,当n≥2时,有an-an-1=ln n-ln(n-1), an-1-an-2=ln(n-1)-ln(n-2), …, a3-a2=ln 3-ln 2, a2-a1=ln 2-ln 1, 将上述n-1个等式相加,整理得an-a1=ln n-ln 1=ln n. 又a1=0,所以an=ln n,当n=1时,a1=0满足an=ln n,所以an=ln n.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·河北保定模拟)已知数列{an}满足a1=4,且an+1=2an-3,则a211=(　　) A.2210-3 B.2211-1 C.2210+3 D.2211+1 C 解析 因为an+1=2an-3,所以an+1-3=2(an-3). 因为a1-3=1,所以数列{an-3}是首项为1,公比为2的等比数列, 所以an-3=2n-1,所以an=2n-1+3, 故a211=2210+3.故选C. 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·江苏连云港期末)已知在数列{an}中,a1=4,(n+1)an+1=(n+2)an,则an=　　　　　.  2n+2 解析 ∵(n+1)an+1=(n+2)an,a1=4, ,当n≥2时,有,…,, ∴an=…a1=…4=2n+2.当n=1时,a1=2×1+2=4,满足an=2n+2,所以an=2n+2. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.形如an+1-an=f(n)的递推关系,用累加法求通项,即利用恒等式an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)(n≥2)求解. 2.形如=f(n)的递推关系,用累乘法求通项,即利用恒等式 an=a1··…·(an≠0,n≥2)求解. 3.带提示的构造法:若题干给出数列{an}的递推公式,我们可以先构造与数列{an}有关的某数列,再证明该数列为等差数列或等比数列,最后求{an}的通项公式. 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](1)(2025·江苏常州模拟)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+,则an等于(　　) A. B. C. D. B 解析 由an+1=an+,可得an+1-an=,则当n≥2时,有a2-a1=1-, a3-a2=,…,an-an-1=, 所以an-a1=1-+…+=1-, 所以an=1+经验证,a1=1也适合an=故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·浙江宁波三模)已知数列{an},a2=1,记Sn为{an}的前n项和,2Sn=nan,则a2 025的值为(　　) A.2 023 B.2 024 C.2 025 D.2 026 B 解析 在数列{an}中,满足2Sn=nan,当n≥3时,可得2Sn-1=(n-1)an-1, 两式相减,可得2an=nan-(n-1)an-1,即(n-2)an=(n-1)an-1,所以,又由a2=1,则a2 025=a2…=1…=2 024.故选B. 考点一 考点二 考点三 (3)(2025·安徽淮南模拟)已知正项数列{an}满足an+1=an,则=(　　) A. B. C. D. B 解析 依题意,,则数列{}是以为公比的等比数列, 所以()4,所以故选B. 考点一 考点二 考点三 考点三　数列的性质 考向1　数列的周期性与斐波那契数列 例3　(1)(2025·安徽滁州一模)已知数列{an}的第1项和第2项均为1,以后各项由an+2=an+1+an(n∈N*)给出.若数列{an}的各项除以3所得余数组成一个新数列{bn},则b2 024+b2 025=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 因为an+2=an+an+1(n∈N*),a1=a2=1,所以数列{an}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,…, 此数列各项除以3的余数依次构成的数列{bn}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0,…,是以8为周期的周期数列, 所以b2 024+b2 025=0+1=1.故选A. 考点一 考点二 考点三 (2)(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是(　　) A.f(10)>100 B.f(20)>1 000 C.f(10)<1 000 D.f(20)<10 000 B 解析 ∵当x<3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2. ∵f(x)的定义域为R,且f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=3, f(4)>f(3)+f(2)>5,f(5)>f(4)+f(3)>8,f(6)>f(5)+f(4)>13,f(7)>f(6)+f(5)>21,f(8)>f(7)+f(6)>34,f(9)>f(8)+f(7)>55,f(10)>f(9)+f(8)>89,f(11)>f(10)+f(9)>144, f(12)>f(11)+f(10)>233,f(13)>f(12)+f(11)>377,f(14)>f(13)+f(12)>610,f(15)>f(14)+f(13)>987,f(16)>f(15)+f(14)>1 000.∴f(20)>1 000.结合各选项知,选项B一定正确. 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](1)(2025·山东淄博模拟)数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*),则a2 026=(　　) A. B.3 C.-2 D.- B 解析 因为数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*), 所以a2==3,a3==-2, a4==-,a5=, 则{an}是以4为周期的周期数列,所以a2 026=a506×4+2=a2=3.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)(多选题)若数列{an}满足a1=a2=1,an=an-1+(n≥3,n∈N*),则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数列的项为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为90°的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以an为边长的正方形中的扇形面积为bn,数列{bn}的前n项和为Sn.下列结论正确的是(　　) A.a9=34 B.a2 026是奇数 C.a2+a4+a6+…+a2 026=a2 027 D. ABD 考点一 考点二 考点三 解析 数列{an}的前几项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,…,所以a9=34,A正确; 由斐波那契数列得从首项开始每三个数中,前两个为奇数,后一个为偶数, 且2 026=3×675+1,所以a2 026是奇数,B正确; 由an-1=an-an-2,得a2=a3-a1,a4=a5-a3,…,a2 026=a2 027-a2 025, 累加得a2+a4+…+a2 026=a2 027-a1,C错误; 由an=an-1+an-2(n≥3),得+…+=a1a2++…+ =a2(a1+a2)++…+=a2a3++…+ =a3(a2+a3)+…+=a3a4+…+=…=a2 025a2 026, 所以S2 025=+…+)=a2 025a2 026, 所以,D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 考向2　数列的单调性与最值 例4　(1)(多选题)(2025·湖北武汉调研)已知数列{an}满足a1=1,=an+,则下列说法正确的是(　　) A.an+1≥2an B.{}是递增数列 C.{an+1-4an}是递增数列 D.an≥n2-2n+2 ABD 考点一 考点二 考点三 解析 对于A,由=an+,得an+1=+1≥1,又an≠0,所以an+1>1, 又a1=1,所以an≥1, 所以=an+2=2, 所以an+1≥2an,当且仅当an=, 即an=1时,等号成立,故A正确. 对于B,由于an+1≥2an,得an+1>an, 所以{an}为递增数列, 由a1=1,y=x+在[1,+∞)内单调递增,可得{}为递增数列,故B正确. 考点一 考点二 考点三 对于C,由an+1=+1,a1=1, 得a2=2,a3=5, 所以a2-4a1=-2,a3-4a2=-3, 所以数列{an+1-4an}不是递增数列,故C错误. 对于D,因为an≥1, 所以an+1-=1≤an+1-an, 所以an+1=(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a3-a2)+(a2-a1) +a1≥n+1, 所以an≥n,所以an+1=+1≥n2+1, 则an≥(n-1)2+1=n2-2n+2,故D正确.故选ABD. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·福建漳州期末)已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n,当取最小值时,n=　　　.  3 解析 因为Sn=n2+n,所以当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n,当n=1时,a1=S1=2,也满足an=2n,故an=2n. 则(n+)+,又y=x+在(1,3)内单调递减,在(3,+∞)内单调递增,故当n=3时,n+取得最小值,即n=3时,取得最小值. 考点一 考点二 考点三 规律方法　1.解决数列单调性问题的三种方法 作差比较法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或常数列 作商比较法 根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断 数形结合法 结合相应函数的图象直观判断 2.求数列的最大项或最小项的常用方法 (1)函数法,利用函数的单调性求最值. (2)利用(n≥2)确定最大项,利用(n≥2)确定最小项. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4](1)(多选题)(2025·河北石家庄三模)已知数列{an}的前n项和为Sn=-n2+11n,则下列说法正确的是(　　) A.数列{}为递减数列 B.当且仅当n=5时,Sn取得最大值 C.an=-2n+12 D.{}是等比数列 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 由题意可知,=-n+11,则=-n+10-(-n+11)=-1<0, 故数列{}为递减数列,故A正确; 因为二次函数y=-x2+11x图象的对称轴为直线x=,且开口朝下,则当n=5或n=6时,Sn取得最大值,故B错误; 当n≥2时,Sn-1=-(n-1)2+11(n-1)=-n2+13n-12, 则an=Sn-Sn-1=-n2+11n-(-n2+13n-12)=-2n+12, 又a1=S1=10,符合上式,故an=-2n+12,n∈N*,故C正确; 令bn==2-2n+12,则=2-2,则{}是等比数列,故D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 (2)(2025·山东菏泽期末)已知递增数列{an}的通项公式为an=3n2+mn,则实数m的取值范围是　　　　　.  (-9,+∞) 解析 由数列{an}是递增数列,可得an+1-an=3(n+1)2+m(n+1)-3n2-mn>0, 即6n+3+m>0, 可转化为m>-6n-3对于∀n∈N*恒成立,故m>-9.所以实数m的取值范围是 (-9,+∞). 考点一 考点二 考点三 $