第28讲　等差数列及其前n项和课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等差数列”专题，依据高考评价体系梳理了基本量运算、判定证明、性质应用三大核心考点，通过近五年真题分析明确“性质应用”占45%、“基本量运算”占30%的高频考点分布，归纳出通项公式、前n项和公式应用等常考题型。 课件亮点在于“真题精讲+变式训练+素养提升”策略，如以2024全国甲卷S5=S10题为例，示范“性质转化法”求首项，培养学生数学思维与运算能力。特设“易错点警示”和“答题模板”，助力学生掌握“知三求二”等技巧，教师可依托分层训练精准指导，提升复习效率。

第六章 第28讲　等差数列及其前n项和 数　列 1 1．(2024·全国甲卷理)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝S10，a5＝1，则a1＝ (　　) C．1　 D．2 【解析】 B 2．已知数列{an}，{bn}均为等差数列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝120，则a37＋b37＝ (　　) A．760　 B．820 C．780　 D．860 【解析】 　　　　因为数列{an}，{bn}均为等差数列，所以数列{an＋bn}为等差数列，设其公差为d．因为a1＋b1＝100，a2＋b2＝120，所以d＝120－100＝20，所以a37＋b37＝100＋20×36＝820． B 3．(教材经典题改编)在7和21之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则这个等差数列的公差是_______． 【解析】 3.5 4．(教材经典题)在等差数列{an}中，an＝m，am＝n，且n≠m，则am＋n＝_____． 【解析】 0 5．(教材经典题)在等差数列{an}中，若S15＝5(a2＋a6＋ak)，则k＝______． 【解析】 16 1．等差数列的有关公式 (1) 通项公式：___________________，其推导方法是累加法． 若视作关于n的一次函数，则一次项系数为______，常数项为__________． (2) 前n项和公式：_______________________________，其推导方法是倒序相加法． 若视作关于n的一元二次函数，则二次项系数为_____，一次项系数为__________，无常数项． an＝a1＋(n－1)d d a1－d 2．等差数列的常见性质 (1) 已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和． ①通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)； ②若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则__________________； ③ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为_______的等差数列； ④若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列； ⑤数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列； ak＋al＝am＋an md (2) 等差数列奇数项和与偶数项和的性质 (4) 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，若a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值． 目标 1 等差数列的基本量运算 　　　(1) (2025·南昌一模)已知等差数列{an}的各项均不为零，前n项和为Sn，若Sn ＝anan＋1，则a13＝______． 1 【解析】 　　　　在等差数列{an}中，an≠0，设公差为d，因为Sn＝anan＋1，令n＝1，S1＝a1＝a1a2，所以a2＝1． 　　　(2) (2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若S3＝6，S5＝－5，则S6＝ (　　) A．－20　 B．－15 C．－10　 D．－5 【解析】 1 B (1) 等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2) 确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d． 变式1　(2025·天津卷)若Sn＝－n2＋8n，则数列{|an|}的前12项和为 (　　) A．112　 B．48 C．80　 D．64 【解析】 　　　　因为Sn＝－n2＋8n，所以当n＝1时，a1＝S1＝－1＋8＝7．当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－n2＋8n)－[－(n－1)2＋8(n－1)]＝－2n＋9，当n＝1时，也满足上式，所以an＝－2n＋9． 当n≤4时，an＞0，当n≥5时，an＜0，所以{|an|}的前12项和为|a1|＋|a2|＋…＋|a4|＋|a5|＋…＋|a12|＝a1＋a2＋a3＋a4－(a5＋a6＋…＋a12)＝2(a1＋a2＋a3＋a4)－(a1＋a2＋…＋a12)＝2S4－S12＝2×(－16＋32)－(－144＋96)＝80． C 目标 2 等差数列的判定与证明 (1) 求t的值； 2 【解答】 (2) 求证：{an}为等差数列． 2 【解答】 判断数列{an}是等差数列的常用方法：(1) 定义法；(2) 等差中项法；(3) 通项公式法(客观题中判断)；(4) 前n项和公式法(客观题中判断)． (1) 求数列{an}的通项公式； 【解答】 (2) 求Sn． 【解答】 目标 3 等差数列的常见性质 视角1　项的性质 　　　　　(1) (2025·合肥一检)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝9，则S9＝ (　　) A．9　 B．18 C．27　 D．36 【解析】 3－1 C 　　　　　(2)(2026·肇庆一模)(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝10，S9＝18，则 (　 　) A．a5＝0 B．S11＝0 C．当n＝5或n＝6时，Sn取最大值 D．Sn的最小值为0 【解答】 3－1 由an＝－2n＋12≥0⇒n≤6，所以当n＝5或n＝6时，Sn取最大值，即S6＝S5，故C正确；由Sn＝－n2＋11n知Sn无最小值，故D错误． BC 变式3　(1) 设等差数列{an}的前n项和为Sn，且2a5＝a4＋5，则S11的值是 (　　) A．11　 B．50 C．55　 D．60 【解析】 C 变式3　(2) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a6＝－600，当且仅当n＝30时Sn取得最小值，则{an}的公差d的取值范围为___________． 【解析】 (24，25) 视角2　和的性质 　　　　　(1) (2026·邯郸期初)(多选)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，则(　 　) A．若Sn＝2n2＋n，则an＝2n＋1 B．S3n，S6n－S3n，S9n－S6n成等差数列 C．Sn，S2n，S3n可能成等差数列 D．Sn，S2n，S3n可能成等比数列 【解析】 　　　　对于A，因为Sn＝2n2＋n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2＋1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋n)－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，n＝1也适合，所以an＝4n－1，故A错误． 3－2 对于C，设等差数列{an}的公差为d，则S1＝a1，S2＝2a1＋d，S3＝3a1＋3d，若S1，S2，S3成等差数列，则2S2＝S1＋S3，即2(2a1＋d)＝a1＋3a1＋3d，解得d＝0，所以Sn＝na1，S2n＝2na1，S3n＝3na1，S2n－Sn＝na1，S3n－S2n＝na1，所以S3n－S2n＝S2n－Sn，所以Sn，S2n，S3n成等差数列，故C正确． 【答案】 BC 【解析】 3－2 C 1．(2025·武汉2月调研)记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝0，S6＝2S3－12，则a1＝ (　　) A．6　 B．8 C．10　 D．12 【解析】 　　　　设等差数列{an}的公差为d，由S6＝2S3－12，得6a1＋15d＝2(3a1＋3d)－12，得9d＝－12．由S10＝0，得10a1＋45d＝0，则2a1＝－9d＝12，所以a1＝6． A 2．(2025·秦皇岛一模)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝ (　　) A．18　 B．27 C．45　 D．63 【解析】 　　　　由题意得S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即9,36－9，a7＋a8＋a9成等差数列，即2×(36－9)＝9＋a7＋a8＋a9，解得a7＋a8＋a9＝45． C 3．(2026·新乡期初)某会场的座位呈扇形分布，第一排有15个座位，从第二排起，每一排都比前一排多两个座位，已知该会场能容纳一个700人的代表团，则该会场的座位至少有 (　　) A．20排　 B．21排 C．22排　 D．23排 【解析】 B 【解析】 　　　　因为{an}为等差数列，a3＝2，所以an＝a3＋(n－3)d＝nd＋2－3d，因为{Sn}严格递增，所以Sn＋1－Sn＝an＋1＝(n＋1)d＋2－3d＝(n－2)d＋2＞0恒成立． [1，2) 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．(2025·南京期初)已知数列{an}为等差数列，前n项和为Sn．若S3＝6，S6＝3，则S9＝ (　　) A．－18　 B．－9 C．9　 D．18 【解析】 　　　　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d． 方法二：因为{an}是等差数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，即6，－3，S9－3成等差数列，所以－6＝6＋S9－3，解得S9＝－9． B 2．已知{an}是公差不为0的等差数列，a1＝－2，若a3，a4，a6成等比数列，则a10＝ (　　) A．－20　 B．－18 C．16　 D．18 【解析】 C 【解析】 D 4．(2025·张家口期末)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，S10＝4a4，则an＋Sn取最大值时n的值是 (　　) A．4　 B．5 C．6　 D．10 【解析】 B 二、多项选择题 5．(2025·青岛期末)已知等差数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则 (　 　) A．a1＝－3　 B．d＝－2 【解析】 AC 6．(2025·茂名二模)已知等差数列{an}中，a2＋a3＝－12，a5＋a7＝2．记数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法正确的是 (　 　) A．数列{an}的公差为2 B．Sn取最小值时，n＝6 C．S4＝S7 【解析】 对于C，S4＝42－10×4＝－24，S7＝72－10×7＝－21，则S4≠S7，故C错误； 【答案】 AD 7．已知递增数列{an}满足an＋2＝2an＋1－an(n∈N*)，其前n项和为Sn，则下列说法正确的是 (　 　) 【解析】 对于D，因为S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，所以2(S6－S3)＝S3＋S9－S6，可得S9＝3(S6－S3)，故D错误． 【答案】BC 三、填空题 8．(2024·新高考Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＋a4＝7,3a2＋a5＝5，则S10＝______． 【解析】 95 【解析】 6 072 【解析】 四、解答题 【解答】 　　　　因为3a2＝3a1＋a3，所以3d＝a1＋2d，解得a1＝d，所以S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d． (1) 若3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式； 【解答】 (2) 若{bn}为等差数列，且S99－T99＝99，求d． 【解答】 【解答】 (2) 求数列{anan＋1}的前n项和Sn． B组　创新题体验 13．(2025·肇庆一模)对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋an＋1，则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列，再令cn＝bn＋bn＋1，则数列{cn}是数列{an}的二阶和数列，以此类推，可得数列{an}的p阶和数列． (1) 若{an}的二阶和数列是等比数列，且a1＝0，a2＝1，a3＝0，a4＝3，求a7； 【解答】 　　　　由题意得b1＝a1＋a2＝1，b2＝a2＋a3＝1，b3＝a3＋a4＝3，所以c1＝b1＋b2＝2，c2＝b2＋b3＝4． 13．(2025·肇庆一模)对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋an＋1，则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列，再令cn＝bn＋bn＋1，则数列{cn}是数列{an}的二阶和数列，以此类推，可得数列{an}的p阶和数列． (2) 若an＝n，求{an}的二阶和数列的前n项和； 【解答】 13．(2025·肇庆一模)对于一个给定的数列{an}，令bn＝an＋an＋1，则数列{bn}称为数列{an}的一阶和数列，再令cn＝bn＋bn＋1，则数列{cn}是数列{an}的二阶和数列，以此类推，可得数列{an}的p阶和数列． (3) 若{an}是首项为1的等差数列，{bn}是{an}的一阶和数列，且3ak－1≤2bk－1，a1＋a2＋…＋ak＝1 000，求正整数k的最大值及k取最大值时{an}的公差． 【解答】 10．(2025·新乡二模)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，数列{an}的公差为d(d≠0)，且{}是等差数列，则＝______． $