等差数列及其前n项和 课件-2027届高三数学一轮复习

第37讲 等差数列及其前 项和 1 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义. 2.探索并掌握等差数列的前 项和公式,理解等差数列的通项公式与前 项和公式的关系. 3.能在具体的问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题. 4.体会等差数列与一元一次函数的关系. 课 标 要 求 2 1.等差数列中的有关公式 已知等差数列的首项为，公差是，前项和为 ，则 等差数列定义式 ______________为常数 等差中项 _ ___是与的等差中项 通项公式 __________________或______________________ _________________________ 前 项和公式 _ _______ ______________ ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 2.等差数列的性质 已知是等差数列,其公差为,是的前 项和. （1）通项公式的推广：__________ ． （2）若 ，则__________________. （3），，， 是公差为____的等差数列. （4）数列，，， 也是等差数列． （5） . （6） 为等差数列. 课 前 基 础 巩 固 4 3.等差数列与函数的关系 （1）等差数列的通项公式可写成____________，当 时，它是关于的__________，它的图象是直线 上 横坐标为正整数的均匀分布的一群______的点. 一次函数 孤立 （2）前项和公式可变形为_ _______________，当 时，它 是关于 的常数项为0的__________，它的图象是抛物线 上横坐标为正整数的均匀分布的一群______的点. 二次函数 孤立 课 前 基 础 巩 固 5 （3）单调性：当时，是递增数列，若,则 存在最 小值；当时，是递减数列，若，则 存在最大值； 当时， 是常数列. 课 前 基 础 巩 固 6 常用结论 1.已知数列的通项公式是（其中， 为常数），则 数列一定是等差数列，且公差为 . 2.数列是等差数列，为常数 ，这里公差 . 3.若，均为等差数列且其前项和分别为， ，则 . 课 前 基 础 巩 固 7 4.若等差数列的项数为偶数 ，则 （1） ； （2）， . 5.若等差数列的项数为奇数 ，则 （1） ； （2） . 课 前 基 础 巩 固 8 题组一 常识题 1.［教材改编］已知在等差数列中，， ，则 ___. 6 [解析] 设等差数列的公差为，则 解得 所以 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 9 2.［教材改编］设等差数列的公差为，前项和为 ，若 ,，则 ___. 1 [解析] 由，得, 由 ， 得，所以 . 课 前 基 础 巩 固 10 3.［教材改编］一物体从的高空降落,如果第1秒降落 ,以 后每秒比前一秒多降落 ,那么经过____秒该物体降落到地面. 20 [解析] 设物体经过 秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的 距离依次构成首项为 ,公差为9.8的等差数列, 所以,即,可得 . 课 前 基 础 巩 固 11 题组二 常错题 ◆ 索引：忽视等差数列中项为0的情况;考虑不全公差的取值范围;等 差数列中各项的符号判断不正确. 4.在等差数列中，，公差，则使数列的前 项和取最大值的正整数 的值是______. 5或6 [解析] 由，得， 解得 或（舍去），则， 又，所以使前项和 取最大值的正整数 的值是5或6. 课 前 基 础 巩 固 12 5.若一个等差数列的首项为 ，从第10项起开始比1大，则这个等差 数列的公差 的取值范围是_ __________. [解析] 由题意可得即 所以 . 课 前 基 础 巩 固 13 6.已知等差数列的通项公式为 ,则 ____， _____. -10 100 [解析] 设数列的前项和为 ， 则. 令 ，得， 所以当时，,当时，， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 14 探究点一 等差数列基本量的运算 例1 （1）[2024·全国甲卷]记为等差数列的前项和. 已知 ,,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为 , 所以,则 , 又因为,所以公差, 所以 ,故选B. √ ［思路点拨］根据已知条件，先求出公差，再结合等差数列的性质， 即可求解; 课 堂 考 点 探 究 15 （2）已知等差数列的前项和为，且 ，则 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 [解析] 由题意设等差数列的公差为 ， 因为， 所以 ， 从而 .故选D. √ ［思路点拨］由数列的前项和公式列出关于公差的方程，求出 , 从而利用 求解即可. 课 堂 考 点 探 究 16 [总结反思] 解决等差数列基本量运算问题的思想方法 （1）方程思想:等差数列的基本量为首项和公差 ,通常利用已知条 件及通项公式或前项和公式列方程（组）求解,等差数列中包含 , ,,, 五个量,可“知三求二”. （2）整体思想:当所给条件只有一个时,可将已知和所求都用, 表 示,寻求两者间的联系,整体代换即可求解. 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）[2024· 新课标Ⅱ卷] 记为等差数列的前 项和，若 ,,则 ____. 95 [解析] 设等差数列的公差为， 则 ,, 所以， , 所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）已知等差数列的首项，公差，在 中每相 邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 设的公差为，则， ， 所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 19 探究点二 等差数列的判定与证明 例2 [2025·广州模拟] 记为数列的前项和，已知 ， ，且数列{}是等差数列，证明： 是等差数列. ［思路点拨］设等差数列{}的公差为，可用，求出 ， 得到的通项公式，利用可求出 的通项公式， 从而证明 是等差数列. 课 堂 考 点 探 究 20 证明：设等差数列{}的公差为， 因为 ，所以 ， 则 ， 所以，所以 ， 当时， ， 由得 ③， . 经检验，当 时也满足③，所以， . 当时， ， 所以数列 是等差数列. 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 判定数列 是等差数列的常用方法 ①定义法：对任意， 是同一常数． ②等差中项法：对任意，，满足 . ③通项公式法：对任意，都满足，为常数 ． ④前项和公式法：对任意，都满足 ，为常数 ． 课 堂 考 点 探 究 22 变式题（1）[2023· 新课标Ⅰ卷]记为数列的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 √ 课 堂 考 点 探 究 23 [解析] 若为等差数列，则设数列的公差为 ， 可得，则， 所以为首项为 ，公差为的等差数列，即甲是乙的充分条件. 反之，若 为等差数列，则可设的公差为， 故 ，即 ， 利用公式可得 ， 所以，即为公差为 的等差数列， 所以甲是乙的必要条件. 综上，甲是乙的充要条件.故选C. 课 堂 考 点 探 究 24 （2）[2025·江苏南通模拟] 记为数列的前项和， 为数列 的前项积，已知 . ①证明：数列 是等差数列； 证明：当时， ， 由，解得 ， 当时，，代入，消去可得 ， 所以，所以是以为首项， 为公差的等差数列. 课 堂 考 点 探 究 25 ②求 的通项公式. 解：由题意得，由①可得 ， 由，可得 . 当时， ， 所以 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 等差数列性质的应用 角度1 等差数列项的性质 例3（1）在等差数列中， , ，则数列 的前20项和等于( ) A.160 B.180 C.200 D.220 ［思路点拨］根据等差数列的性质，两式相加得到 ， 再求 即可. √ 课 堂 考 点 探 究 27 [解析] 由题得 ， 所以,所以 ， 所以 .故选B. 课 堂 考 点 探 究 28 （2）已知数列，都是等差数列，且 ， ，则 ______. 2029 ［思路点拨］由已知推出数列 为等差数列,由已知等式求 出的公差 ,即可作答. [解析] 因为数列，都是等差数列， 所以数列 也为等差数列， 设其公差为，因为， ， 所以， 解得 ，故 . 课 堂 考 点 探 究 29 [总结反思] 在等差数列中,若 ,则 . 课 堂 考 点 探 究 30 变式题 [2025·山东泰安模拟]已知等差数列的前项和为 ，若 ，则 ( ) A.44 B.33 C.66 D.77 [解析] 因为 ， 所以，所以 .故选D. √ 课 堂 考 点 探 究 角度2 等差数列前 项和的性质 例4（1）[2025·黑龙江鸡西期末]已知等差数列和的前 项和 分别为，，若，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］由已知，根据等差数列的性质，把转化为 进行 求解. [解析] 因为，所以 ， 又，所以 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 32 （2）[2025· 全国二卷]记为等差数列的前项和，若 , ，则 ( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：由等差数列前项和的性质求出， ，进而 求出公差，再利用前 项和公式求解； 思路二：由等差数列前项和的性质知 为等差数列，进而求出数 列的公差，利用等差数列的通项公式求出 . √ 课 堂 考 点 探 究 33 [解析] 方法一：因为,所以， 因为 ，所以， 所以数列的公差，所以 ， 所以 . 方法二：因为为等差数列的前项和，所以 为等差数列. 设等差数列的公差为,则，解得 ， 故,解得 . 课 堂 考 点 探 究 34 [总结反思] 1.前项和的性质:在各项均不为0的等差数列中,为其前 项和,则 ; ; ,,, 成等差数列. 2.熟练掌握等差数列前 项和的性质是解决此类试题的关键,解题时注 意化归与转化思想的合理运用. 课 堂 考 点 探 究 35 变式题（1）[2025·江苏南京一调]已知数列为等差数列，前 项 和为.若，，则 ( ) A. B. C.9 D.18 [解析] 易知，， 成等差数列， 所以 ， 则 .故选B. √ 课 堂 考 点 探 究 36 （2）已知各项均为正数的等差数列 满足 ，则 ( ) A.2 B.2024 C.1012 D.4048 [解析] 因为为等差数列， 所以 ，， 则 ，则， 所以，所以 . 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 37 角度3 等差数列和的最值 例5（1）（多选题）等差数列的前项和为，若 ，公差 ，且 ，则下列说法正确的有( ) A.是数列中的最大项 B.是数列 中的最大项 C. D.满足的 的最大值为13 [解析] ，， ，， ， . √ √ √ 课 堂 考 点 探 究 38 对于A， ， ， 当时， 取得最大值， 是数列 中的最大项，故选项A正确； 对于B，，， 等差数列是递减数列， 数列 中的最大项为，故选项B错误； 对于C， ，故选项C正确； 对于D， ，， 解得 ， ， 满足的的最大值为13，故选项D正确.故选 . 课 堂 考 点 探 究 （2）[2025·福州质检] 已知等差数列的前项和为, ， 当且仅当时取得最小值，则的公差 的取值范围为____ ____. [解析] 由题意可得，，，即 解得，故的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 40 [总结反思] 求等差数列前项和 最值的两种方法: 课 堂 考 点 探 究 41 变式题（1）[2025·湖北随州模拟]已知等差数列的前项和为 ， 且有最小值，若，则使成立的 的最大值为( ) A.17 B.16 C.15 D.14 [解析] 因为等差数列的前项和有最小值， 所以, ，所以， 又，所以，，且 ， 所以， ， 所以当时，所以使成立的 的最大值为15. 故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 42 （2）（多选题）[2025·河南郑州模拟]在等差数列 中， ，，若， ，则 ( ) A.有最小值，无最小值 B.有最小值， 无最大值 C.无最小值，有最小值 D.无最大值， 有最大值 √ √ 课 堂 考 点 探 究 43 [解析] 在等差数列中，由，，得 ， 可得，， 有最小值，无最大值. ， 易知等差数列的前五项小于0，自第六项起大于0，且， 当 时，， ，， ，， ，当时，， 有最大值 ，无最小值.故选 . 课 堂 考 点 探 究 44 【备选理由】例1考查对等差数列基本量的计算. 例1 ［配例1使用］ （1）[2025·山东名校联考]在等差数列中， 已知 ，，，则 ( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 由，，得公差 ， 故，解得 .故选A. √ 教 师 备 用 习 题 45 （2） 皖南八校开学考试］已知等差数列的前项和为 ， 且，，则 ( ) A.6 B.10 C.12 D.20 [解析] 设等差数列的公差为 ， 因为， ， 所以，， 所以 . 故选B. √ 教 师 备 用 习 题 46 例2 ［配例1使用］（多选题）[2025·江苏南通统考]在我国古代著名 的数学专著里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安 一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初 日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.则 ( ) A.驽马第七日行九十四里 B.第七日良马先至齐 C.第八日二马相逢 D.二马相逢时良马行一千三百九十五里 √ √ 【备选理由】例2考查等差数列的实际应用及求等差数列的前 项和. 教 师 备 用 习 题 47 [解析] 由题意可知，两马日行里数均成等差数列， 记数列 为良马的日行里数，其中首项，公差， 所以数列 的通项公式为， 记数列 为驽马的日行里数，其中首项，公差， 所以数列 的通项公式为 . 驽马第七日的日行里数为 ， 即驽马第七日行九十四里，故A正确； 良马七日行走的总里数 ， 因为，所以第七日良马未至齐，故B错误； 教 师 备 用 习 题 48 设第 日两马相逢， 由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍， 即， 解得 或 （舍去），即第九日二马相逢，故C错误； 由C可知，第九日二马相逢，此时良马行走的总里数 ， 所以二马相逢时良马行一千三百九十五里，故D正确.故选 . 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例2使用］（多选题）[2025·湖南长郡中学月考]设 为数列 的前项积，若，其中常数，数列 为等差 数列，则 的值可能为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 √ √ 【备选理由】例3考查等差数列的性质. 教 师 备 用 习 题 50 [解析] 当时， ， 则，所以 . 因为数列 为等差数列，所以为常数. ①若，则恒成立， 即恒成立，所以； ②若 ，则， 所以解得 综上所述，或.故选 . 教 师 备 用 习 题 51 例4 ［补充使用］ 新课标Ⅰ卷］设等差数列的公差为 ,且 .令，记，分别为数列，的前 项和. （1）若，，求 的通项公式； 【备选理由】例4考查等差数列的性质. 教 师 备 用 习 题 52 解：因为，所以， 即 ，故 . 所以，是首项为，公差为 的等差数列， 所以， . 因为，所以 ， 即，解得或 （舍去）， 故的通项公式为 . 教 师 备 用 习 题 53 （2）若为等差数列，且，求 . 解：若为等差数列，则 ， 即 ， 即，所以或 . 当时，， ， 故， . 教 师 备 用 习 题 54 又，所以 ， 即，解得或（舍去）. 当 时，，， 故， . 又，所以 ， 即，解得（舍去）或 （舍去）. 综上， . 教 师 备 用 习 题 作业手册 56 1.在等差数列中，，，则 ( ) A. B. C.1 D.2 [解析] 方法一：设数列的公差为，因为， ， 所以，解得， 所以 .故选B. 方法二：在等差数列中，， 又 ，所以 .故选B. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 2.[2026·广西南宁二中月考]已知等差数列的前项和为 ， ，，则 的公差为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 [解析] 设的公差为, 则①， ②， 由①②可得 .故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 3.[2025·石家庄二中一模]“”是“数列 为等差数列”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若,则数列 不一定是等差数列, 如数列1,2,1,4,1,6,1,1, ; 若数列 为等差数列,则由等差中项可知. 所以“”是“数列 为等差数列”的必要不充分条件.故选B. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 4.已知是等差数列的前项和，若,，则 ( ) A.44 B.52 C.68 D.84 [解析] 由题意可得，， 成等差数列， 所以， 因为， ，所以，解得 . 故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 5.[2025·湖北黄冈模拟]已知等差数列的前项和为 ，若 ,,，则 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5 [解析] 方法一：由题意得 ， ， 则等差数列 的公差， 则 ，，所以 .故选C. 方法二：由等差数列的性质得为等差数列， 则 ，得，解得 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 6.（多选题）[2025·江苏扬州模拟]已知等差数列的前项和为 ， 公差为，，， ，则下列结论正确的是 ( ) A.， B. C. D.当时， 最大 √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 [解析] 若，则为递增数列， 则 ，与矛盾， 若，则为常数列，所以 ，与矛盾， 若，则为递减数列，则 ， 由可得 ，符合题意，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为 为递减数列，且，所以最大，故D错误.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 7.设等差数列，的前项和分别为，，若 ，则 __. [解析] 因为等差数列，的前项和分别为，且 ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 8.[2025·河南信阳模拟] 已知等差数列的项数为 ， 其中奇数项之和为140，偶数项之和为120，则 ___. 6 [解析] 项数为的中奇数项共有 项， 其和为, 项数为 的中偶数项共有 项， 其和为, 所以 ,解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 9.已知等差数列的前项和为，， . （1）求数列 的通项公式； 解：设等差数列的公差为 ， 由，，得, ， 解得,， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 （2）求的最小值及取得最小值时 的值. 解：方法一：由知 是递增数列. 当时，；当时， . 所以 ， 所以当时，最小，最小值为 . 方法二： ， 又，所以当时，最小，最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 10.[2025·山西太原一模]已知等差数列的前项和为 ，且 ， 是以1为公差的等差数列，则下列结论正确的是 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 68 [解析] 设等差数列的公差为，因为 ， 所以，即， 因为 是以1为公差的等差数列，所以， 即 ，即， 又，所以 ，所以. 对于A， ，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C， ，故C错误； 对于D， ，故D错误.故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 11.[2026·杭州一模]若对于任意的等差数列，总有 是等差 数列，则称函数具有“保等差性”.则下列函数 具有“保等差性” 的是( ) A. B. C. D. [解析] 若是等差数列，则 . 对于A，取等差数列，则, ， ,则 ，故A不正确； √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 对于B，取等差数列，则, , ，则 ，故B不正确； 对于C，取等差数列，则, , ,则 ，故C不正确； 对于D,， ,, 所以 ，， 因为 为等差数列，所以， 所以 ，故D正确.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.（多选题）已知是等差数列，是其前项和，且 , ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D.与均为 的最大值 [解析] 因为,所以. 因为 ，所以. 因为，所以 ， 所以数列是递减数列，所以 ，故A，B正确； √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 因为 所以 ，故C不正确； 因为,,， 所以与均为 的最大值，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.[2026·浙江名校协作体联考]已知等差数列的前项和 满足 ，则数列 的最小项的项数为( ) A.2026 B.2027 C.4048 D.4049 √ [解析] 由，得 ， ， ， 所以等差数列 为递增数列， 因为 ， ， 所以当 时，，，则， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 当时，，要使 最小，则， 此时. 数列为递增数列，随着 的增大，增大，减小，增大， 但，，则 增大， 所以当时， 最小.故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 14.渐进式延迟退休方案是指采取较缓而稳妥的方式逐步延长退休年 龄.对于男职工，新方案将延迟法定退休年龄每4个月延迟1个月，逐 步将男职工的法定退休年龄从原六十周岁延迟至六十三周岁.如果男 职工延迟法定退休年龄部分对照表如表所示： 出生时间 1965年1 月 月 1965年5 月 月 1965年9月 月 1966年1月 月 … 新方案法定 退休年龄 60岁 个月 60岁 个月 60岁 个月 60岁 个月 … 那么1970年5月出生的男职工退休年龄为 ( ) A.61岁个月 B.61岁个月 C.61岁个月 D.61岁 个月 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 76 [解析] 方法一：根据题意，出生年月在1965年1月 月的人的法定 退休年龄记为， 出生年月在1965年5月 月的人的法定退休年龄记为， 出生年月在1965年9月月的人的法定退休年龄记为 ， ， 则构成等差数列，首项岁个月，公差 为1个月， 可得岁 个月. 依此规律，1970年5月出生的男职工，他的退休年龄应该是的 第17项，即他的退休年龄为岁 个月岁 个月. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 77 方法二：（利用枚举法）出生年龄每延后一年，退休年龄延后三个月. 出生年龄 退休年龄 1965.5 60岁 个月 1966.5 60岁 个月 1967.5 60岁 个月 1968.5 60岁 个月 1969.5 61岁 个月 1970.5 61岁 个月 故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 15.已知数列的前项和为.若为等差数列，且满足 ， . （1）求数列 的通项公式； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 79 解：由题意，设等差数列的公差为， 又， ，, ， ， ， 则， ， ，， 又 符合上式， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 （2）设，求 . 解：由（1）得， ， 当 时， ， 当 时， , 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 16.[2025·安徽部分示范性高中联考]已知等差数列的前 项和为 ，，，将数列与数列 的公共项从小到大排列得到新数列，则 ( ) A. B. C. D. √ ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 [解析] 设的公差为，，由 ， 可得 ， ， 解得， ，所以. 由题可得 ，则 ， 所以 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 17.已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于 ，定义 集合，设为集合中元素的个数，若 时，规定 . （1）若，则 ___； 3 [解析] 由题可知，, 又因为，所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 （2）若数列是等差数列，则数列 的前20项和为_____. 210 [解析] 由题可知，所以 ，所以. 若 ，则 ，， 所以，，与 是等差数列矛盾，所以. 设， 因为 是各项均为正整数的递增数列，所以. 假设存在使得 ，设， 由得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 由，得，， 与 为等差数列矛盾. 所以对任意都有， 所以数列 是等差数列，， 所以数列 的前20项和 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 【 知识聚焦】 1.<m></m> <m></m> <m> </m> <m></m> <m></m> <m></m> 2.（1）<m></m> （2）<m></m> （3）<m></m> 3.（1）<m></m> 一次函数 孤立 （2）<m></m> 二次函数 孤立 【对点演练 】 1. 6 2. 1 3. 20 4. 5或6 5. <m></m> 6. -10 100 课堂考点探究 例1（1）B （2）D 变式题（1）95 （2）B 例2 证明略. 变式题（1）C （2）①证明略. ②</m> 例3（1）B （2）2029 变式题 D 例4（1）B （2）B 变式题（1）B （2）C 例5（1）ACD （2）<m></m> 变式题（1）C （2）AD 答 案 核 查 87 基础热身 1.B 2.D 3.B 4.D 5.C 6.BC 7.<m></m> 8.6 9.（1）<m></m>.（2）</m>. 综合提升 10.B 11.D 12.ABD 13.A 14.B 15.（1）<m></m>.（2）</m> 答 案 核 查 88 $