福建厦门市海沧中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

**基本信息** 融入《九章算术》“刍甍”、窗花剪纸等传统文化素材，通过基础巩固（如复数坐标）、能力提升（如解三角形）、创新应用（如动态向量投影）的梯度设计，全面考查高一（下）数学核心知识与数学眼光、思维、语言素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数、向量基底、解三角形、立体几何|第8题结合“刍甍”体积公式，体现文化传承| |多选题|3/18|复数几何意义、向量运算、正方体线面关系|第11题综合空间线面角与共线问题，考察逻辑推理| |填空题|3/15|圆台侧面积、复平面向量、动态向量投影|第14题以窗花为背景，考察向量数量积范围| |解答题|5/77|解三角形、立体几何体积、向量运算、面面垂直证明、三角函数综合|第19题结合向量平行条件求角及线段最值，体现模型应用|

2025-2026学年厦门市海沧中学高一（下）期中考试 数学试卷 考试时间：120分钟 总分：150分 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 2．设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（    ） A．与 B．与， C．与 D．与 3．已知，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 4．已知：向量､，且，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．2 B．2或4 C．4 D． 6．若圆锥轴截面的面积为，母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知是两个平面，是两条直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中的多面体ABCDEF为“刍甍”，书中描述了刍甍的体积计算方法：求积术曰，倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一，即，其中h是刍甍的高，即点F到平面ABCD的距离.若底面ABCD是边长为4的正方形，且平面ABCD，和是等腰三角形，，则该刍甍的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9．设复数在复平面内对应的点为为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（　　） A．若，则 B．若，则或 C．若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D．若，则点的集合所构成的图形的面积为 10．已知向量，则下列说法正确的有（    ） A．若与垂直，则 B．若，则的值为 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量为 11．如图所示，在正方体中，O为DB的中点，直线交平面于点M，则下列结论正确的是（   ） A．直线与直线所成角为 B．平面 C．M、O、三点共线 D．直线与平面所成角的为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．圆台的母线长为6，两底面半径分别为2，7，则圆台的侧面面积是______． 13．已知复平面上平行四边形ABCD的顶点A、B、C的坐标分别为、、，则向量所对应的复数是______． 14．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花．图2中正六边形的边长为，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，为圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的取值范围为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15．（13分）在中，角，，所对的边分别是，，．已知，，．求： (1)的值； (2)的值； (3)边上的高． 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，、分别是和的中点．    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 17．（15分）如图，中，是中点，，设. (1)用表示； (2)若与夹角为，且，是否存在使得，若存在求出值，不存在说明理由. 18．（17分）三棱柱，侧棱底面 (1)若，求证平面平面 (2)若平面平面，求证 19．（17分）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且． (1)求角； (2)若，的周长为，求的面积； (3)若，过点在所在平面内作，且，求线段的最大值． 参考答案 1．C 【分析】应用复数的乘法计算，再应用复数的几何意义得出坐标即可. 【详解】因为，所以复数对应点的坐标为. 2．C 【分析】判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底． 【详解】、是平面内所有向量的一组基底， 与，不共线，可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， ，故与共线，不可以作为基底， 与，不共线，可以作为基底， 故选：C． 3．D 【分析】利用三点共线时，由三点确定的两个向量共线进行判断即可 【详解】对于A，因为，且，所以与不共线，所以A，B，C三点不共线，所以A错误， 对于B，因为，所以， 因为，所以与不共线，所以A，B，D三点不共线，所以B错误， 对于C，因为，且，所以与不共线，所以B，C，D三点不共线，所以C错误， 对于D，因为，所以，因为，所以，所以与共线，因为与有公共端点，所以A，C，D三点共线，所以D正确， 故选：D 4．C 【分析】首先根据平面向量数量积的运算求出，再根据计算可得； 【详解】解：因为，，，所以，所以，所以，又，所以 故选：C 5．B 【分析】由余弦定理即可代入求值. 【详解】由余弦定理得：,即，化简得，解得或， 故选：B 6．A 【分析】由母线与底面所成角为，可得圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为，则，从而可求出，再求出圆锥的高，进而可求出圆锥的体积 【详解】解：圆锥轴截面面积为，母线与底面所成角为， 则圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为， 则有，解得，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积为． 故选：A． 7．D 【详解】若，则或，A错误； 若，，所以或，B错误； 若，直线只垂直于平面内的一条直线，无法得到，C错误； ，则平面内存在直线l与直线平行，则，可得,D正确. 8．B 【分析】根据给定的几何体，取中点，证明平面平面，求出点到平面的距离，再求出刍甍的体积作答. 【详解】取中点，连接，如图， 由正方形知，，，而为等腰三角形，且， 即有平面，则平面， 同理平面，而，于是平面，则点在平面内， 而平面，于是平面平面，在平面内过作于， 而平面平面，因此平面， 因为，是等腰三角形，则， 因为平面，平面平面，平面， 则，四边形为等腰梯形，， 因此， 所以该刍甍的体积为. 故选：B 9．ACD 【分析】利用复数模的运算即可判断AB，利用复数的几何意义即可判断CD. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，因为当时，满足，故B错误； 对于C，因点的坐标为，则，，则对应的点在第三象限，故C正确； 对于D，由，可知点的集合所构成的图形为圆环,其面积为，故D正确. 故选：ACD. 10．BC 【分析】直接根据向量平行及垂直的条件计算可判断AB；再由向量的模的计算公式可得C；再由投影向量的定义可判断D选项. 【详解】因为向量， 对于A：若与垂直，可得，解得，所以A不正确； 对于B：若，可得，解得，即，则，所以B正确； 对于C：若，可得，则，所以，所以C正确； 对于D：若，可得，则，. 此时投影向量为，所以D不正确， 故选：BC. 11．ABC 【分析】利用几何法求出异面直线的夹角判断A；利用线面垂直的性质判定推理判断B；利用平面的基本事实推理判断C；求出线面角判断D. 【详解】对于A，连接，四边形是正方体的对角面， 则四边形为矩形，，是直线与直线所成角或其补角， 而，因此，A正确； 对于B，平面，平面，则，又， 平面，则平面，又平面， 于是，同理，又，因此平面，B正确； 对于C，由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 则是平面和平面的公共点， 同理，点和都是平面和平面的公共点， 因此三点，，在平面与平面的交线上，即，，三点共线，C正确； 对于D，连接，设，连接，由选项B，同理得平面， 则为直线与平面所成的角，在中，， 因此，，D错误. 故选：ABC 12． 【分析】利用圆台的侧面积公式即可求解. 【详解】圆台的上底面半径，下底面半径，母线长， 则圆台的侧面面积． 故答案为： 13．/ 【分析】由为平行四边形，可得，即可求出，进而可得出答案. 【详解】∵四边形为平行四边形， A、B、C， ∴． 而，， ∴， ∴向量所对应的复数为. 14． 【分析】由图可推得，结合点的位置分析，求出的范围即得. 【详解】由题可知，， 故 ； 由图可知，当点位于正六边形的某个顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取得最小值，即， 所以，，从而. 15．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理求. （2）利用余弦定理求边. （3）利用三角形的面积公式求边上的高. 【详解】（1）由正弦定理，得，解得． （2）由余弦定理得，即， 整理得，解得或（舍去），所以． （3）由（2）知． 三角形面积． 又边即边， 设边上的高为，则 ． 故边上的高为． 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线性质得，进而利用线面平行判定定理得平面； （2）结合锥体体积公式，由等体积法求解三棱锥的体积． 【详解】（1）∵在中，、分别是和的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）∵平面，∴是三棱锥的高， ∵四边形是正方形，， ∴三棱锥的体积为． ∴三棱锥的体积为． 17．(1)，=； (2)存在， 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解， （2）根据向量垂直，结合运算律，即可求解. 【详解】（1）已知D是AB中点，所以，根据向量减法的三角形法则：； E是三等分点，，所以=； （2）存在，理由如下； 由，则，所以，整理得， 已知与夹角为，且，可得， 所以，解得， 因为，所以. 18．(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用线面垂直，面面垂直的判定定理即得； （2）利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理可得平面，进而即得. 【详解】（1）平面平面 ， 又∵，， 平面，又∵平面， ∴平面平面. （2）过A作， ∵平面平面，又平面平面，平面， 平面，又平面， ∴AD⊥BC， 又∵，平面，平面，， ∴平面，平面， ∴. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据平行向量的坐标公式化简，再结合正弦定理即可求解； （2）根据条件及余弦定理求得，再结合三角形的面积公式即可求解； （3）先设，根据正弦定理分别求出，和关于的表达式，从而得到关于的表达式，进而根据正弦函数的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）由，，且， 则， 则由正弦定理得， 又在锐角中，， 则,即，解得． （2）由，的周长为，则， 又由余弦定理有， 即，得， 所以的面积为． （3）在中，，不妨设，则，， 由正弦定理有， 得，， 在锐角中，由，则， 由正弦定理有，得， 所以 ， 又，则，则，所以， 故，即线段的最大值为． - 14 - - 13 - 学科网（北京）股份有限公司 $