第25讲　平面向量数量积的应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量数量积的应用”专题，依据高考评价体系梳理了数量积运算、投影向量、模长与夹角、最值范围四大核心考点，通过近五年全国卷真题分析明确数量积运算占35%、模长问题占30%的高频分布，归纳坐标法、基底法等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题精讲+方法提炼+素养落地”，如以2023全国乙卷正方形数量积题为例，对比坐标法与基底法的解题路径，培养学生运算能力与推理意识，渗透数学模型观念。特设易错点警示（如投影向量公式误用）和极化恒等式速解模板，助力学生掌握得分技巧，教师可依托此课件实现考点精准突破，提升复习效率。

第五章 第25讲　平面向量数量积的应用 平面向量与复数 1 1．(教材经典题)已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则|a|＝_____，|b|＝______，a·b＝_______． 【解析】 5 －7 2．(教材经典题)已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝2e1＋e2与b＝－3e1＋2e2的夹角为 (　　) A．30°　 B．60° C．120°　 D．150° 【解析】 C 【解析】 【解析】 D 【解析】 1．向量的夹角 [0，π] 2．投影向量 3．平面向量的数量积 已知两个非零向量a，b，θ为a，b的夹角，那么数量|a||b|cos θ叫做向量a，b的数量积，记作a·b． 4．平面向量数量积的性质 (1) 若e是单位向量，则a·e＝e·a＝|a|cos θ(θ为a，e的夹角)； (2) a⊥b⇔a·b＝0； －|a||b| (5) |a·b|≤_________． |a||b| 5．平面向量数量积的运算律 (1) 交换律：a·b＝b·a； (2) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c； (3) 对任意λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)． 6．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1) 数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝______________； x1x2＋y1y2 x1x2＋y1y2＝0 目标 1 平面向量的数量积运算 1 【解析】 【答案】B　 1 【解析】 【答案】D　 (1) 基底法：当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题． (2) 坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解． 变式1　(1)(2024·新高考Ⅰ卷)已知向量a＝(0,1)，b＝(2，x)，若b⊥(b－4a)，则x＝ (　　) A．－2　 B．－1 C．1　 D．2 【解析】 　　　　因为b⊥(b－4a)，所以b·(b－4a)＝0，所以b2－4a·b＝0，即4＋x2－4x＝0，解得x＝2． D 【解析】 【答案】AC　 目标 2 投影向量 　　　(1)(2025·泉州期初)已知|b|＝2|a|，若a与b的夹角为60°，则2a－b在b上的投影向量为 (　　) 2 【解析】 B 2 【解析】 【答案】D (1) 向量a在b上的投影向量为|a|cos θ e(其中e为与b同向的单位向量)，它是一个向量，且与b共线，其大小由向量a和b的夹角θ的余弦值决定． 【解析】 B 目标 3 数量积的应用 视角1　向量的模长问题 【解析】 3－1 　　　　　(2)(2024·新高考Ⅱ卷)已知向量a，b满足|a|＝1，|a＋2b|＝2，且(b－2a)⊥b，则|b|＝ (　　) 【解析】 3－1 B 【解析】 A 【解析】 3－2 【答案】D 　　　　　(2) 已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，若2a－3b与c的夹角为钝角， 则k的取值范围是________________________． 【解析】 　　　　由a＝(k,3)，b＝(1,4)，得2a－3b＝(2k－3，－6)．因为2a－3b与c的夹角为钝角，所以(2a－3b)·c＜0，即(2k－3，－6)·(2,1)＝4k－6－6＜0，解得k＜3． 3－2 (1) 求平面向量的夹角的方法 (2) 两个非零向量垂直的充要条件 a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|． (3) 两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b＞0(a·b＜0)，反之不一定成立． 变式3－2　(2026·唐山期初)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，a－5b与2a＋3b垂直，则a与b的夹角为 (　　) 【解析】 　　　　易知(a－5b)·(2a＋3b)＝0，即2a2＋3a·b－10a·b－15b2＝0．又|a|＝2|b|，所以－7a·b－7|b|2＝0，即a·b＝－|b|2． C 视角3　最值与范围 3－3 【解析】 【答案】BCD A．[－5,3]　 B．[－3,5] C．[－6,4]　 D．[－4,6] 【解析】 【答案】 D 微探究 极化恒等式与矩形恒等式 4 【解析】 【答案】C 【解析】 4 在处理数量积(范围)问题时，若发现题干有“共起点，定底边”的特征，我们就可尝试使用极化恒等式，找出中线． A．－32　 B．－27 C．－18　　　　　D．－12 【解析】 B 1．(2025·河南五市联考(一))若|a|＝2，|b|＝1，(a－b)⊥b，则向量a在向量b上的投影向量为 (　　) 【解析】 D 2．(2025·福州二模)已知|a|＝3，|b|＝2，(a－3b)·(a＋2b)＝－18，则a与b的夹角为 (　　) A．45°　 B．60° C．90°　 D．120° 【解析】 B 【解析】 C 【解析】 【答案】A 配套练习题 【解析】 C 【解析】 C 3．已知平面向量a＝(2，－2)，b＝(－1,3)，则向量a＋b在向量b上的投影向量为 (　　) 【解析】 C 4．(2025·沈阳三模)已知向量a，b满足|a|＝2，(a＋b)·b＝2，则|a＋2b|＝(　　) A．12　 B．10 【解析】 C 【解析】 D A．－8　 B．8 C．10　 D．3 【解析】 B 7 【解析】 【答案】C 二、多项选择题 8．(2025·厦门一模)已知平面向量a＝(2，sin θ)，b＝(1，cos θ)，则 (　　　) A．a，b不可能垂直 B．a，b不可能共线 C．|a＋b|不可能为5 【解析】 若向量a，b共线，则2cos θ－sin θ＝0，解得tan θ＝2，所以向量a，b可能共线，B错误； 【答案】ACD 【解析】 　　　　若m＝1，a－c＝(－1,1)，b＝(1,1)，所以(a－c)·b＝－1×1＋1×1＝0，所以(a－c)⊥b，故A正确． 【答案】ACD 【解析】 【答案】AC 【解析】 4 12．(2025·武汉二模)已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，则向量a 与向量b夹角的余弦值为__________． 【解析】 【解析】 【解析】 【解析】 一、单项选择题 1．(2025·佛山二模)已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，若(ka＋b)⊥b，则实数k＝ (　　) A．－2　 B．－1 C．1　 D．2 【解析】 　　　　因为a＝(1,0)，b＝(1,1)，所以ka＋b＝(k＋1,1)．若(ka＋b)⊥b，则(ka＋b)·b＝0，所以(k＋1)×1＋1×1＝k＋2＝0，解得k＝－2． A 【解析】 【答案】B 3．(2025·南京、盐城一模)已知a，b，c均为单位向量．若a＝b＋c，则b与c夹角的大小是 (　　) 【解析】 【答案】C 【解析】 D A．为定值4　 B．为定值8 C．最大值为4　 D．最大值为8 【解析】 A 【解析】 C 【解析】 【答案】D 【解析】 【答案】C 二、多项选择题 9．(2025·泰安期末)已知向量a＝(3，－1)，b＝(1,2)，则下列选项正确的是(　 　) 【解析】 BC 【解析】 【答案】AD 【解析】 【答案】AC 【解析】 0 【解析】 【解析】 13．如图，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点， ||＝2||＝2，则(＋)·＝______． $