平面向量数量积的应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量数量积的应用”专题，依据高考评价体系梳理了数量积运算、模长与夹角、几何意义及实际应用四大考查维度，通过真题分析明确高频考点占比超60%，归纳出坐标法、几何转化法等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题溯源+素养导向+技巧提炼”，如以2024九省联考轨迹问题为例，运用坐标法建立方程，培养数学思维与数学语言表达能力，针对向量与几何综合题总结“基底转化—模长配方—最值分析”三步法，结合实际情境题提升数学眼光，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准复习，高效备战。

平面向量数量积的应用 一、单项选择题 1.在梯形ABCD中,AB∥CD,=0,||=||=||=1,则=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 基础过关 解法一:由AB∥CD,=0可知,梯形ABCD是直角梯形,如图①所示,易得<,>=45°,||=,||=1,则=||·||cos 45°=1.故选A. 解析 解法二:由AB∥CD,=0可知,梯形ABCD是直角梯形,如图②,以点A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,可知B(2,0),C(1,1),D(0, 1),所以=(-1,1),=(-1,0), 所以=-1×(-1)+1×0 =1.故选A. 解析 2.已知力F=(2,3)作用于某一物体,使该物体从A(-1,0)移动到B(1,2),则力F对该物体做的功为(　　) A.2 B.4 C.6 D.10 因为=(2,2),所以力F对该物体做的功为F·=2×2+3×2=10.故选D. 解析 3.已知点O为△ABC的外心,AB的边长为2,则=(　　) A.-1 B.1 C.2 D.4 因为点O为△ABC的外心,设AB的中点为D,连接OD,则OD⊥AB,如图,所以=·(+ )=+=+0=× 22=2.故选C. 解析 4.若O为△ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 在△ABC中,|-|=|+-2|,即||=|(-)+(-)|,即|-|=|+|,所以(-)2=(+)2,即||2-2+||2=||2+2+||2,得4=0.因为均为非零向量,则⊥,即∠BAC=90°,所以△ABC是直角三角形. 解析 5.某智能物流车的“实际配送向量D”“规划路线向量R”“交通拥堵修正向量J”满足关系式:D=3R+2J.已知条件如下:实际配送向量D=(15,9),交通拥堵修正向量J与向量(3,-3)垂直,|J|=3.配送效率等级通过“规划路线向量R的模(单位:km)”判定,标准如下表(一般情况下,认定“停滞”属于无效配送): 若此次配送为有效配送,则此次配送的效率等级为(　　) A.超高效 B.高效 C.常规 D.低效 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 [0,2.0) [2.0,4.0) [4.0,6.0) [6.0,8.0) [8.0,+∞) 设向量J=(x,y),因为向量J与向量(3,-3)垂直,所以(x,y)·(3,-3)=0,即3x-3y=0,化简得x=y,又|J|=3,可得J=(3,3)或J=(-3,-3),由D=3R+2J,得R=(D-2J),当J=(-3,-3)时,R=(D-2J)=(7,5),|R|=≈8.6>8.0;当J=(3,3)时,R=(D-2J)=(3,1),|R|=≈3.16,在[2.0~4.0)内,由题意知此次配送效率等级为高效. 解析 6.如图,正六边形的边长为2,半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心,若点M在正六边形的边上运动,动点A,B在圆O上运动且关于圆心O对称,则的最大值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 如图所示,连接OE,OF,AB,OM,则O为AB的中点,则∠EOF=60°,且|OE|=|OF|,故△EOF是边长为2的等边三角形,易知||=1,则=(+)·(+)=(+)·( -)=||2-||2=||2-1≤||2-1=12-1=11, 当且仅当M与正六边形的顶点重合时, 取最大值11.故选C. 解析 7.(2024·九省联考)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足=(1,-3),记P的轨迹为E,则(　　) A.E是一个半径为的圆 B.E是一条与l相交的直线 C.E上的点到l的距离均为 D.E是两条平行直线 设Q(-1-2a,a)(a∈R),P(x,y),故=(x+1+2a,y-a)=(1,-3),所以消去a可得x+2y+6=0,所以轨迹E的方程为x+2y+6=0,易知E为一条与直线l平行的直线,所以A,B,D都是错误的.直线x+2y+6=0与直线x+2y+1=0的距离d==,因此E上的点到l的距离均为,故C正确.综上所述,选C. 解析 8.(2026·济南调研)平面向量a,b满足|a|=3|b|,且|a-b|=4,则a与a-b夹角的正弦值的最大值为(　　) A. B. C. D. 如图所示,设a=,b=,则a-b=,设|b|=m,|a|=3m,1≤m≤2, cos∠OAB ===+≥2=,当且 解析 仅当=,即m=时等号成立,故∠OAB∈,当cos∠OAB最小时,sin ∠OAB最大,故a与a-b夹角的正弦值的最大值为=. 解析 9.如图,AB是圆O的一条直径且AB=2,EF是圆O的一条弦且EF=1,点P在线段EF上,则的最小值是(　　) A. 　　　B.- C.- 　　　D.- 由题意可得,=(+)·(+)=(+)·(-)= ||2-||2=||2-1,为使最小,只需||最小,只需OP⊥EF,根据圆的性质可得,此时P为EF中点,又EF=1,因此||min= =,所以的最小值为-.故选B. 解析 10.(2026·中山调研)已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=,a·b=-,<a-c,b-c>=30°,则|c|的最大值为(　　) A.2 B. C.2 D. 设=a,=b,=c,则a-c=,b-c=,由题意cos<a,b>==-,而0°≤<a,b>≤180°,则<a,b>=150°.又因为<a-c,b-c>=30°,所以 解析 O,A,B,C四点共圆,如图所示.要使|c|取得最大值,则OC必过圆心G,此时在△OAB中,AB2= OA2 +OB2-2OA·OBcos∠AOB=1+3-2cos 150°=7,即AB=,由正弦定理可得OC=2R==2. 解析 二、填空题 11.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=2,M点是线段AC上一动点,若以M为圆心,半径为1的圆与线段AC交于P,Q两点,则的最小值为　　　　.  2 连接BM,则=(+)·(+)=(+)·(-)=||2-||2=||2-1,由||最小值为Rt△ABC中以AC为底的高,则=-1≥-1= -1=2,经检验等号成立时满足题意. 解析 12.在如图所示的天平中,左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入重量为60 N的物品,在另一个秤盘中放入重量60 N的砝码,天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1,F2,F3),若3根细绳两两之间的夹角均为,不考虑秤盘和细绳本身的重量,则F1的大小为　　　　N.  10 依题意,|F1|=|F2|=|F3|且|F1+F2+F3|=60,所以|F1+F2+F3|2=|F1|2+|F2|2+ |F3|2+2F1·F2+2F2·F3+2F3·F1=3 600,即3|F1|2+3×2|F1|2×= 3 600,解得|F1|=10. 解析 13.已知△ABC满足AB=3,BC=6,∠ABC=60°,M,N为直线BC上的动点,且S△AMN=3,则的最小值为　　　　.  过A作AD⊥BC于D,因为△ABC满足AB=3,BC=6,∠ABC=60°,所以AD=AB·sin∠ABC=3×=,则S△AMN=MN·AD=MN· =3,所以MN=4,不妨设点M靠近点B,则=,设=λ,则λ∈R,所以=+=-+λ,=+=-+ 解析 ,因为=3×6×cos 60°=9,则=(-+ λ)·=+λ-=32+λ×62-×9=36λ2+6λ+ 3因为λ∈R,故当λ= -=-时, 的最小值为36×+6×+3=. 解析 14.(2026·大连模拟)如图,在△ABC中,已知AB=1,AC=2,∠BAC=60°,BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值为　　　.  在△ABC中,由余弦定理可得,BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=1+ 4-2×1×2×=3,即BC=.因此满足BC2+AB2=AC2,可得△ABC是 解析 ∠ABC=90°的直角三角形.以B为坐标原点,BA,BC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,A(1,0),B(0,0),M, N,=,=,易知∠MPN即为 向量,的夹角,所以cos∠MPN=cos<,>= ==. 解析 15.(2026·内江模拟)已知向量a=(m,n),b=(cos θ,sin θ),其中m,n,θ∈R.若|a|=4|b|,则当a·b<λ2恒成立时,实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,-)∪(,+∞) B.(-∞,-2)∪(2,+∞) C.(-,2) D.(-2,2) 素养提升 解法一:因为b=(cos θ,sin θ),|a|=4|b|,所以设a=4(sin α,cos α),则a·b=4sin α·cos θ+4cos α·sin θ=4sin(α+θ)∈[-4,4],若a·b<λ2恒成立,则λ2>4,解得λ>2或λ<-2. 解法二:因为b=(cos θ,sin θ),所以|b|==1,又|a|=4|b|,所以|a|=4,所以a·b的最大值为4,则λ2>4,解得λ>2或λ<-2. 解析 16.(多选题)如图,在边长为2的正方形ABCD中,P为以A为圆心、AB为半径的圆弧(包含B,D)上的任意一点,且=x+y,则下列结论正确的是(　　) A.x+y的最大值为 B.x+y的最小值为 C.的最大值为4 D.的最小值为4-4 分别以AB,AD所在直线为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D(0,2).设P(2cos θ,2sin θ),θ∈,则=(2,0),=(0, 2), =(2cos θ,2sin θ),所以=cos θ+ sin θ,=(2-2cos θ,-2sin θ), =(-2cos θ,2-2sin θ),由条件知x=cos θ,y=sin θ,x+y= 解析 sin∈ [1,],故A正确,B错误;=4sin θ∈[0,4],=4-4sin∈[4-4,0],故C,D正确. 解析 $