第24讲　平面向量的基本定理与坐标表示课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理、坐标表示与运算、共线条件等核心考点，依据高考评价体系梳理基底判断、线性表示、坐标运算等考查维度，通过近五年真题分析明确基底应用占30%、坐标运算占45%的高频考点分布，归纳“基底法”“坐标法”等解题策略，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”，如以2025广州一模向量分解题为例，用“爪形三角形”模型培养数学思维，通过等和线定理解决最值问题渗透数学眼光。设置共线条件符号陷阱等易错点分析，帮助学生掌握得分技巧，教师可依托课件系统开展专题复习，提升备考效率。

第五章 第24讲　平面向量的基本定理与坐标表示 平面向量与复数 1 1．(教材经典题)在下列各组向量中，可以作为基底的是 (　　) A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) 【解析】 　　　　对于A，因为零向量与任何向量平行，所以选项A中的两个向量不可以作为基底；对于B，e1＝(－1，2)与e2＝(5，7)对应坐标不成比例，两向量不共线，可以作为基底； B 【解析】 A 3．(教材经典题)当x＝_______时，a＝(2，3)与b＝(x，－6)共线． 【解析】 　　　　因为a＝(2，3)，b＝(x，－6)，a∥b，所以2×(－6)－3x＝0，解得x＝－4，所以当x＝－4时，a与b共线． －4 4．(教材经典题)已知a＝(3，2)，b＝(0，－1)，则－2a＋4b＝____________，4a＋3b＝_________． 【解析】 　　　　因为a＝(3，2)，b＝(0，－1)，所以－2a＋4b＝－2(3，2)＋4(0，－1)＝(－6，－4)＋(0，－4)＝(－6，－8)，4a＋3b＝4(3，2)＋3(0，－1)＝(12，8)＋(0，－3)＝(12，5)． (－6，－8) (12，5) 【解析】 1．平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于该平面内任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，满足_________________，我们把不共线向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组基底． a＝λ1e1＋λ2e2 2．向量的坐标运算 (1) 向量加法、减法、数乘及向量的模 (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (2) 向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． 3．平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a，b共线⇔______________． 4．“爪形三角形” x1y2＝x2y1 目标 1 平面向量基本定理的应用 1 【解析】 C (1) 选定基底后，根据向量的加、减、数乘运算法则以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．(2) 强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等． 变式1　(1)(多选)已知等腰梯形ABCD满足AB∥CD，AC与BD交于点P，且AB＝2CD＝2BC，则 (　 　) 【解析】 【答案】AC　 【解析】 B 目标 2 向量的坐标表示及运算 2 【解答】 【解析】 2 (1) 利用向量加、减、数乘运算的法则进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标． (2) 解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解． (1) 求点D的坐标； 【解答】 【解答】 【解答】 目标 3 向量共线的坐标表示 　　　(1)(2025·汕尾、肇庆二模)已知向量a＝(－2，3)，b＝(m－1，3m)，a∥(a＋2b)，则m＝ (　　) 3 【解析】 A 　　　(2) 如图，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，则AC和OB的交点P的坐标为_________． 【解析】 3 (3，3) 两平面向量共线的充要条件有两种形式 (1) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0； (2) 若a∥b(b≠0)，则a＝λb． 变式3　(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则 (　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 【解析】 　　　　对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以 x·(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，所以必要性不成立，故A错误； 对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确； 【答案】C 微探究 等和线的应用 4 【解析】 2 【解析】 4 图(1) 图(2) 【答案】 3 　 【解析】 【解析】 B 1．(2025·潍坊期末)已知向量a＝(1,2)，b＝(m,3)，且a∥(a＋2b)，则m＝ (　　) 【解析】 C 2．(教材经典题改编)已知□ABCD的三个顶点为A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为 (　　) A．(1,4)　 B．(1,5) C．(2,4)　 D．(2,5) 【解析】 B 【解析】 C 【解析】 C 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 【解析】 C 【解析】 C 【解析】 B 【解析】 D 【解析】 C 【解析】 【答案】 A 【解析】 【答案】 AC 【解析】 对于B，若a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，a＋b＝(x1＋x2)e1＋(y1＋y2)e2，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)θ，故B正确． 对于C，若a＝(－1,2)θ，b＝(2,1)θ，则a＝－e1＋2e2，b＝2e1＋e2，则a·b＝(－e1＋2e2)(2e1＋e2)＝－2|e1|2＋2|e2|2＋3|e1||e2|·cos θ＝－2＋2＋3×1×1×cos θ＝3cos θ，故C错误． 对于D，若a＝(x1，y1)θ，b＝(x2，y2)θ，则a＝x1e1＋y1e2，b＝x2e1＋y2e2，若a∥b，则当a＝0或b＝0时，x1＝y1＝0或x2＝y2＝0，显然x2·y1＝x1·y2；当a≠0且b≠0时，则存在唯一λ，使得a＝λb，则x1e1＋y1e2＝λ(x2e1＋y2e2)，x1＝λx2，y1＝λy2，消元变形得x2·y1＝x1·y2，故D正确． 【答案】 BD 【解析】 【答案】ABC 三、填空题 10．(2025·新余一模)已知向量a＝(1，－2)，b＝(－1，1)，c＝(－2，m)，若b＋c 与a＋3b是共线向量，则实数m＝______． 【解析】 【解析】 －3 【解析】 (3，1)或(1，－1) 【解析】 图(1) 图(1) 【答案】1∶3 【解析】 2 B组　创新题体验 15．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1,2,3，…，n－1，则称A(n)与B(n)互为正交点列． (1) 求A(3)：A1(0,2)，A2(3,0)，A3(5,2)的正交点列B(3)； 【解答】 15．在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列(整点即横、纵坐标都是整数的点)A(n)：A1，A2，A3，…，An与B(n)：B1，B2，B3，…，Bn，其中n≥3，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段AiAi＋1⊥BiBi＋1，其中i＝1,2,3，…，n－1，则称A(n)与B(n)互为正交点列． (2) 判断A(4)：A1(0,0)，A2(3,1)，A3(6,0)，A4(9，1)是否存在正交点列B(4)，并说明理由． 【解答】 3．(2025·海安期中)在□ABCD中，＝，＝2，＝x＋(1－x)，x∈R．若AP∥MN，则x＝ (　　) A．　 B． C．　 D． 12．设点A(2,0)，B(4,2)，点P在直线AB上，且||＝2||，则点P的坐标为____________________． $