平面向量的基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

　平面向量的基本定理及坐标表示 不共线 λ1e1＋λ2e2 x轴，y轴正方向相同 (x，y) (1,0) (0,0) 知 识 梳 理 知识点一　平面向量的基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个__________向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a＝______________. 知识点二　平面向量的坐标表示 在直角坐标系内，分别取与____________________的两个单位向量i，j作为基底，对任一向量a，有唯一一对实数x，y，使得：a＝xi＋yj，__________叫做向量a的直角坐标，记作a＝(x，y)，显然i＝_________，j＝(0,1)，0＝_________. (x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (λx1，λy1) (x2－x1，y2－y1) 知识点三　平面向量的坐标运算 1．向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝__________________，a－b＝________________，λa＝____________，|a|＝_____________. 2．向量坐标的求法 (1)若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． 知识点四　向量共线的坐标表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔__________________. x1y2－x2y1＝0 归 纳 拓 展 1．若a与b不共线，且λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0. (3)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　) (4)向量的坐标就是向量终点的坐标．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　) 题组二　走进教材 2．(必修2P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为(　　) A．(1,5) B．(1，－5) C．(－1,5) D．(－1，－5) [答案]　A [答案]　B [解析]　A选项中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底；B选项中，不存在实数λ，使得e1＝λe2.故两向量不共线，故其可以作为基底；C选项中，e2＝2e1，两向量共线，故其不可以作为基底；D选项中，e1＝4e2，两向量共线，故其不可以作为基底．故选B. 3．(必修2P60T2(6)改编)下列各组向量中，可以作为基底的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,3) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7) 4．(必修2P60T6改编)已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，则点P的坐标是________. [答案]　(－2,15) 题组三　走向考场 5．(2026·贵阳模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________. 平面向量基本定理的应用——师生共研 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨：应用平面向量基本定理表示向量的方法 应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加法、减法或数乘运算，基本方法有两种： 1．运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行化简，直至用基底表示为止． 2．将向量用含参数的基底表示，然后列方程或方程组，利用基底表示向量的唯一性求解． [答案]　A 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 平面向量坐标的基本运算——自主练透 A．(－7，－4) B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　4 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师点拨： 1．利用向量的坐标运算解题时，首先利用加、减、数乘运算法则进行运算，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，转化为方程(组)进行求解． 2．向量的坐标表示把点与数联系起来，引入平面向量的坐标可以使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 向量共线的坐标表示及其应用——师生共研 1．(2026·济宁模拟)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，若a＋2b与a共线，则m＝________. 2．在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，AB⊥AC，E，F分别为AB，BC中点，则AF与CE的交点坐标为________. 名师点拨：平面向量共线的坐标表示问题的解题策略 1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1. 2．在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)． [答案]　A 【变式训练】 1．(2026·景德镇模拟)已知向量a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，c＝(2，cos α)，若(a＋b)∥c，则tan α的值为(　　) 2．(2026·天津模拟)已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O为坐标原点，则AC与OB的交点P的坐标为________. [答案]　(3,3) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 名师讲坛 · 素养提升 三点共线的充要条件 [答案]　C [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　B 【变式训练】 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　B A组基础巩固 一、单选题 1．若e1，e2是平面α内的一组基底，则下列四组向量能作为平面α的一组基底的是(　　) A．e1－e2，e2－e1 B．e1＋e2，e1－e2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 2．(2025·陕西汉中月考)已知向a，b满足a－b＝(1，－5)，a＋2b＝(－2,1)，则b＝(　　) A．(1,2) B．(1，－2) C．(－1,2) D．(－1，－2) [答案]　C [解析]　∵a－b＝(1，－5)①，a＋2b＝(－2,1)②，∴②－①得3b＝(－3,6)．∴b＝(－1,2)．故选C. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [答案]　C A．2m－n B．2n－m C．m－2n D．n－2m [答案]　A A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　D A．(－4,2) B．(－4，－2) C．(4，－2) D．(4,2) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　C [答案]　D 二、多选题 9．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　) A．|a|＝|b| B．4a－3b＝(5，－3) C．{a，b}可以作为平面向量的一个基底 D．(a－b)∥b [答案]　BC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 三、填空题 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　B B组能力提升 [答案]　C 2．(2025·北京开学考试)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，x)，a与a＋b共线，则|a－b|＝(　　) A．6 B．20 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 5．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第五章　平面向量与复数 [答案]　6 C组拓展应用(选作) 谢谢观看 汇报日期 单击此处添加副标题 (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝____________________，||＝________________________. 2．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则点P的坐标为. 3．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为. (2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.(　　) [解析]　设D(x，y)，则＝，得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4,1)＝(5－x,6－y)，即解得即D(1,5)．故选A. C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝ [解析]　设点O为坐标原点，∵点P在线段BA的延长线上，且2BP＝3AP，∴2＝3，即2(－)＝3(－)，∴＝3－2＝3(2,3)－2(4，－3)＝(－2,15)．∴点P的坐标为(－2,15)． [答案]　 [解析]　由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝. (2025·广东清远月考)如图所示，已知在△OBC中，A是BC的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值． [解析]　(1)依题意，A是BC的中点， ∴2＝＋， 即＝2－＝2a－b. ＝－＝－＝2a－b－b＝2a－b. (2)∵＝λ， ∴＝－＝λa－(2a－b)＝(λ－2)a＋b. ∵与共线， ∴存在实数k，使＝k， 即(λ－2)a＋b＝k， ∴解得λ＝. 1．(2026·贵阳模拟)如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E是线段AD上靠近D的三等分点，则＝(　　) A．－＋ B．－＋ C．＋ D．－ [解析]　由题可知＝＋＝＋＝＋×(＋)＝ (＋)－＝－＋.故选A. [答案]　 2．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，BC的中点，连接CE，DF，交于点G.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝________. [解析]　由题图可设＝x(0<x<1)，则＝x(＋)＝x＝＋x.因为＝λ＋μ，且与不共线，所以所以＝. 1．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝(　　) [解析]　由已知A(0,1)，B(3,2)，得到＝(3,1)，因为＝(－4， －3)，所以＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．故选A. 2．(2026·天津模拟)已知点O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，＝＋m.若点P在y轴上，则实数m的值为________. [答案]　 [解析]　因为O(0,0)，A(－1,3)，B(2，－4)，所以＝(－1,3)，＝(3，－7)，因为＝＋m，所以＝(－1,3)＋m(3，－7)＝(－1＋3m,3－7m)，因为点P在y轴上，所以－1＋3m＝0，所以m＝. 3．(2026·上海模拟)向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)则＝________. [解析]　建立平面直角坐标系，设正方形网格的边长为1，则c＝ (－1，－3)，a＝(－1,1)，b＝(6,2)，则由c＝λa＋μb得解得所以＝4. [答案]　 [解析]　a＝(－1,2)，b＝(m，－3)，则a＋2b＝(－1＋2m，－4)，由题意得(a＋2b)∥a，故4＝2(－1＋2m)，解得m＝. [答案]　 [解析]　建立如图所示的平面直角坐标系，则B(2,0)，C(0,4)，E(1,0)，F(1,2)，设AF与CE交点为D(x，y)，则＝(x，y)，＝(1,2)，且∥，即2x－y＝0　①，又＝(x，y－4)，＝(1，－4)，且∥，即y－4＋4x＝0　②，由①②得x＝，y＝，故交点D. A．2 B．－2 C． D．－ [解析]　因为a＝(2,3)，b＝(2，sin α－3)，所以a＋b＝(4，sin α)，又c＝(2，cos α)且(a＋b)∥c，所以4cos α＝2sin α，则tan α＝＝2.故选A. [解析]　解法一：由O，P，B三点共线，可设＝λ＝(4λ，4λ)，则＝－＝(4λ－4,4λ)．又＝－＝(－2,6)，由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)，所以点P的坐标为(3,3)． 解法二：设点P(x，y)，则＝(x，y)，因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，即x＝y.又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，所以点P的坐标为(3,3)． 已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 1．(2026·陕西商洛模拟)在△ABC中，点M是AB的中点，N点分AC的比为AN∶NC＝1∶2，BN与CM相交于E，设＝a，＝b，则向量＝(　　) A．a＋b B．a＋b C．a＋b D．a＋b [解析]　由题意B，E，N三点共线，所以存在λ∈R，使得＝λ＋(1－λ)＝λ＋，同理C，E，M三点共线，所以存在μ∈R，使得＝μ＋(1－μ)＝μ＋，由平面向量基本定理可得解得λ＝，μ＝，所以＝a＋b.故选C. 2．在△ABC中，点P满足＝2，过点P的直线与AB，AC所在直线分别交于点M，N，若＝m，＝n(m>0，n>0)，则m＋2n的最小值为(　　) A．3 B．4 C． D． [解析]　如图，易知＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.因为M，P，N三点共线，所以＋＝1，m＋2n＝(m＋2n)·＝＋＋≥＋2＝3，当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立．故选A. (2026·山东曲阜模拟)如图，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　) A． B． C．1 D．3 [解析]　解法一：设＝λ(λ>0)， ＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝＋λ＝(1－λ)＋，因为＝m＋，所以＝，得λ＝，所以m＝1－λ＝，故选B. 解法二：＝m＋＝m＋，∴m＋＝1，∴m＝. C．2e2－3e1，－6e1＋4e2 D．2e1＋e2，e1＋e2 [解析]　由e1，e2是平面α内的一组基底，则e1，e2为非零不共线向量，对A，e1－e2＝－(e2－e1)，故e1－e2，e2－e1共线，不符题意；对B，e1＋e2，e1－e2不能互相线性表示，故不共线，满足题意；对C,2e2－3e1＝(－6e1＋4e2)，故2e2－3e1，－6e1＋4e2共线，不满足题意；对D,2e1＋e2＝2，故2e1＋e2，e1＋e2共线，不满足题意，故选B. 3．(2026·海口模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(k，－1)，则“k＝－”是“a∥b”的(　　) [解析]　当k＝－时，b＝，a＝－2b，充分性成立；由a＝(1,2)，b＝(k，－1)，若a∥b，则2k＝－1，解得k＝－，必要性成立，故“k＝－”是“a∥b”的充要条件．故选C. 4．在△ABC中，点M，N在边BC上，BM＝MN＝NC，设＝m，＝n，则＝(　　) [解析]　由BM＝MN＝NC，可得＝＋＝＋2＝＋2(－)＝2－，又＝m，＝n，所以＝2m－n.故选A. 5．(2026·长沙模拟)已知向量＝(－1，k)，＝(1,2)，＝(k＋2,0)且实数k≥0，若A，B，C三点共线，则k＝(　　) [解析]　因为＝－＝(2,2－k)，＝－＝(k＋3，－k)，因为A，B，C三点共线，所以∥，则2×(－k)＝(2－k)(k＋3)，解得k＝3或k＝－2，因为k≥0，所以k＝3.故选D. 6．在△ABC中，已知A(2,3)，B(6，－4)，G(4，－1)是中线AD上一点，且||＝2||，那么点C的坐标为(　　) [解析]　由题意知，G是△ABC的重心，设C(x，y)，则有解得故点C的坐标为(4，－2)．故选C. 7．(2026·漳州模拟)如图，在正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD的中点，若＝AB＋，＝λ，则λ等于(　　) A． B． C． D． [解析]　如图，建立平面直角坐标系，设正方形ABCD边长为6，则B(6,0)，D(0,6)，C(6,6)，E(6,3)，F(3,6)，∴＝＋＝(6,0)＋(0,6)＝(4,5)，∴G(4,5)，＝(－2,2)，＝(－3,3)，∴＝，∴λ＝.故选C. 8．(2025·江西新余第一中学模拟)如图，已知△OAB，若点C满足＝2，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＋＝(　　) A． B． C． D． [解析]　∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋ ，∴λ＝，μ＝，∴＋＝3＋＝.故选D. [解析]　|a|＝2，|b|＝，即|a|≠|b|，A错误；4a－3b＝4(2,0)－3(1,1)＝(5，－3)，B正确；2×1－0×1≠0，即a，b不共线，所以{a，b}可以作为平面向量的一个基底，C正确；a－b＝(1，－1)，因为1×(－1)－1×1≠0，所以a－b与b不共线，D错误． 10．(2026·聊城一中模拟)在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB，CD的中点，AC与BD交于点M，设＝a，＝b，则下列结论正确的是(　　) A．＝a＋b B．＝－a＋b C．＝－a＋b D．＝－a＋b [解析]　＝＋＝＋＝a＋b，故A正确；＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b，故B正确；＝＋＝－＋＝－a＋b，故C错误；＝＋＋＝－＋＋＝ －a＋b，故D正确．故选ABD. 11．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是(　　) A．－2 B． C．1 D．－1 [解析]　各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构成三角形．故选ABD. [解析]　设点P的坐标为(x，y)，因为点A(2,3)，B(6，－3)，则＝(x－2，y－3)，＝(4，－6)，又＝，所以(x－2，y－3)＝(4， －6)，所以x＝，y＝1，则点P的坐标为. 12．已知点A(2,3)，B(6，－3)，若＝，则点P的坐标为________. [答案]　 13．已知点A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ(λ∈R)，且点P在直线x－2y＝0上，则λ＝________. [答案]　－ [解析]　设P(x，y)，则由＝＋λ，得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)，所以x＝5λ＋4，y＝7λ＋5.又点P在直线x－2y＝0上，故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0，解得λ＝－. 14．(2026·济南模拟)在正六边形ABCDEF中，BD，CF相交于点P，若＝x＋y，则x＋y＝________. [答案]　 [解析]　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正六边形ABCDEF边长为1，则A(0,0)，B(1,0)，F，P，＝(1,0)，＝，＝，由＝x＋y，则＝x(1,0)＋y，所以解得∴x＋y＝. 1．(2026·全国T8数学联考)已知点G为△ABC的重心，若＝λ＋μ，则λ－μ＝(　　) A．0 B．1 C． D．3 [解析]　如图，延长AG交BC于点D，则＝＋＝－，∵＝λ＋μ·，且，不共线，∴λ＝，μ＝－，∴λ－μ＝1.故选B. C．2 D．5 [解析]　由题意知，a＋b＝(4,2＋x)，又a∥(a＋b)，所以1×(2＋x)＝2×4，所以x＝6，所以b＝(3,6)，所以a－b＝(－2，－4)，所以|a－b|＝＝2.故选C. 3．(2026·四川成都模拟)在正方形ABCD中，M是BC的中点．若＝λ＋μ，则λ＋μ的值为(　　) A． B． C． D．2 [解析]　在正方形ABCD中，以点A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，令AB＝2，则B(2,0)，C(2,2)，D(0,2)，M(2,1)，＝(2,2)，＝(2,1)，＝(－2,2)，λ＋μ＝(2λ－2μ，λ＋2μ)，因为＝λ＋μ，所以解得λ＝，μ＝，λ＋μ＝，所以λ＋μ的值为.故选B. 4．(2025·贵州黔东南二模)已知向量＝(1，－3)，＝(－1，tan α)，A，B，C三点共线，则tan＝________. [答案]　 [解析]　因为A，B，C三点共线，所以∥，所以tan α＝－3× (－1)＝3，可得tan＝＝＝. (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值． [解析]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b与a＋2b共线， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， 即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)解法一：∵A，B，C三点共线，∴＝λ， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)， ∴解得m＝. 解法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)， ∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴8m－3(2m＋1)＝0， 即2m－3＝0，∴m＝. 如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________. [解析]　解法一：如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，||＝2，所以||＝2，||＝4，所以||＝||＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6. 解法二：以O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(1,0)，B，C(3，)．由＝λ＋μ，得解得所以λ＋μ＝6. $