第23讲　平面向量的概念与线性运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量的概念与线性运算”专题，依据高考评价体系梳理了向量概念辨析、线性运算（加减、数乘）、共线向量定理三大核心考点，通过真题统计明确线性运算占比45%、共线定理应用占30%的高频考向，构建了“概念-运算-应用”的完整备考体系。 课件亮点在于“教材经典题改编+高考模拟题训练”的实战策略，如以向量线性运算求参数（例2-2梯形中向量表示）为典型，通过“几何意义分析+代数转化”培养学生数学思维与运算能力，特设易错点警示（如向量共线与三点共线区别），助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

第五章 第23讲　平面向量的概念与线性运算 平面向量与复数 1 【解析】 D 2．(教材经典题改编)(多选)如图，四边形ABCD是平行四边形，点P在CD上，则下列各式正确的是 (　 　) 【解析】 BD 3．(教材经典题)当向量a，b满足____________时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． 【解析】 　　　　当a，b反向且|a|≥|b|时，|a＋b|＝|a|－|b|；当a，b反向且|a|≤|b|时，|a＋b|＝|b|－|a|，所以当a，b反向时，|a＋b|＝|a|－|b|(或|b|－|a|)． a，b反向 【解析】 5．(教材经典题改编)已知e1，e2不共线，向量a＝3e1－2e2，b＝ke1＋6e2，且a∥b， 则实数k＝_______． 【解析】 －9 1．向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小，又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为0的向量，其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量 共线向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量 零向量与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 两个向量只有相等或不相等，不能比较大小 相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0 2．向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法 　　     三角形法则　　平行四边形法则 (1) 交换律： a＋b＝b＋a； (2) 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法     三角形法则 a－b＝a＋(－b) 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 数乘 (1) |λa|＝|λ||a|； (2) 当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3．共线向量定理 向量平行(共线)的充要条件：a∥b⇔a＝λb(b≠0)．向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得_________． 4．常用结论 (1) 对于任意两个向量a，b，都有|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)(平行四边形中两邻边的长与两对角线的长之间的关系)． (2) 向量三角不等式 ①||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b反向时，左边取等号；当且仅当a，b同向时，右边取等号)． ②||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|(当且仅当a，b同向时，左边取等号；当且仅当a，b反向时，右边取等号)． b＝λa 目标 1 平面向量的概念 　　　(多选)下列说法错误的是 (　 　) A．单位向量都相等 B．零向量与任意非零向量平行 C．长度相等、方向相反的向量共线 D．方向相反的非零向量可能相等 1 AD 向量有关概念的关键点：(1) 向量定义的关键是方向与长度；(2) 非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制；(3) 相等向量的关键是方向相同且长度相等；(4) 单位向量的关键是长度都是一个单位长度；(5) 零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量共线． 变式1　(多选)下列说法正确的是 (　　　) A．零向量是唯一没有方向的向量 B．零向量的长度等于0 BCD D．若a＝b，b＝c，则a＝c 目标 2 平面向量的线性运算 视角1　向量加、减的几何意义 【解析】 2－1 A．钝角三角形　 B．直角三角形 C．等腰三角形　 D．等边三角形 B 【解析】 2－1 　　　　　(2) 已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a|－|b|，则 (　　) A．|a＋b|＞|b| B．|a－b|＜|a| C．|a＋b|＞|a－b| D．(a＋b)·(a－b)≥0 　　　　由|a＋b|＝|a|－|b|得|a＋b|2＝(|a|－|b|)2⇒a·b＝－|a||b|，因此可知a，b方向相反，且|a|≥|b|．对于A，|a＋b|＝|a|－|b|，由于|a|－|b|与|b|的关系不确定，故A错误；对于B，由于|a－b|＝|a|＋|b|＞|a|，故B错误； 对于C，|a＋b|＝|a|－|b|，|a－b|＝|a|＋|b|，所以|a＋b|＜|a－b|，故C错误；对于D，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2≥0，故D正确． D (1) 根据两个向量的和与差，构造相应的平行四边形或三角形，再结合其他知识求解； (2) 平面几何中，如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题，那么可考虑利用向量知识来求解． 变式 2－1　(教材经典题改编)若a，b满足|a|＝3，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为_____，最小值为_____． 【解析】 　　　　|a＋b|≤|a|＋|b|＝3＋5＝8，当且仅当a，b同向时取等号，所以|a＋b|max＝8．又|a＋b|≥||a|－|b||＝|3－5|＝2，当且仅当a，b反向时取等号，所以|a＋b|min＝2． 8 2 视角2　向量的线性运算 【解析】 2－2 B 【解析】 A 视角3　根据向量的线性运算求参数 【解析】 2－3 A 【解析】 2－3 C 与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)求得相关参数的值． 【解析】 C 目标 3 共线向量定理及其应用 3 【解析】 B 　　　(2)(2025·茂名二模)已知向量e1，e2不共线，且(2e1＋λe2)∥(3e1－2e2)，则实数λ＝ (　　) A．3　 B．－3 【解析】 3 D (1) 证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线． (2) 向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使得λ1a＋λ2b＝0成立．若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线． 【解析】 【答案】B 【解析】 D 1．下列说法正确的是 (　　) 【解析】 对于C，|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b的方向相同或a与b中至少有一个为零向量，故C错误；对于D，若|a|＝|b|＝|c|，则向量a，b，c的模相等，但a，b，c的方向不确定，故D错误． B 【解析】 C 3．已知平面向量e1，e2不共线，a＝(2k－1)e1＋2e2，b＝e1－e2，且a∥b，则k＝ (　　) 【解析】 A 4．(2026·泉州期初)一条河两岸平行，河的宽度为1.2 km，一艘船从河岸边的某地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的速度大小为13 km/h，且船在航行过程中受水流的影响．当船以路程最短的方式航行到对岸时，所需时间为6 min，则水流速度的大小为 (　　) A．1.3 km/h　 B．5 km/h C．10 km/h　 D．12 km/h 【解析】 【答案】B 配套练习题 A组　夯基精练 一、单项选择题 1．以下关于平面向量的说法正确的是 (　　) A．若a＝b，则|a|＝|b| B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．若a，b是共线的单位向量，则a＝b D．若a＝b，则a，b不是共线向量 【解析】 　　　　对于A，若a＝b，则|a|＝|b|，故A正确；对于B，若b＝0，则a∥c不一定成立，故B错误； 对于C，若a，b是共线的单位向量，则a＝b或a＝－b，故C错误；对于D，若a＝b，则a，b是共线向量，故D错误． A 【解析】 C 【解析】 A 【解析】 A 【解析】 【答案】C 6．如图，5×5的方格里，每个方格长度为1，则向量a－b＝ (　　) A．e1＋3e2　 B．－e1＋3e2 C．－3e1＋e2　 D．3e1＋e2 【解析】 B 【解析】 B 二、多项选择题 8．关于平面向量a，b，c，下列说法中正确的是 (　 　) A．若a∥b，a≠0，则存在λ∈R，使得b＝λa B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 C．若a·b＝a·c，则b＝c D．若向量a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞b 【解析】 　　　　对于A，根据向量共线的充要条件可知A正确；对于B，因为零向量与任何向量共线，所以由向量a与b不共线，可得a与b都是非零向量，故B正确； 对于C，当a＝0时，a·b＝a·c恒成立，但b，c的关系不确定，故C错误；对于D，向量有方向，不能比较大小，故D错误． AB 9．设a，b是两个非零向量，且|a＋b|＜|a|＋|b|，则下列结论正确的是 (　 　) A．|a－b|≤|a|＋|b| B．|a－b|＜|a＋b| C．a，b的夹角为钝角 D．若存在实数λ使得a＝λb成立，则λ为负数 【解析】 　　　　由|a＋b|＜|a|＋|b|知a，b反向共线或不共线．对于A，当a，b不共线时，根据向量减法的三角形法则知|a－b|＜|a|＋|b|．当a，b反向共线时，|a－b|＝|a|＋|b|，则|a－b|≤|a|＋|b|，故A正确； 对于B，若a⊥b，则以a，b为邻边的平行四边形为矩形，此时|a＋b|和|a－b|是这个矩形的两条对角线长，则|a＋b|＝|a－b|，故B错误； 对于C，当a，b反向共线时，a，b的夹角为π，故C错误； 对于D，若存在实数λ，使得a＝λb成立，又|a＋b|＜|a|＋|b|，所以a，b反向共线，则λ为负数，故D正确． 【答案】AD 【解答】 【答案】ACD 11．(2025·黄山二模)如图，一条河两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行，已知船的速度v1的大小为|v1|＝10 km/h，水流速度v2的大小为|v2|＝2 km/h，设v1和v2的夹角为θ(0＜θ＜π)，则下列说法正确的为(　 　) 【解析】 【答案】AC 【解析】 【解析】 4 【解析】 B组　创新题体验 15．已知平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)(其中a，b为常数，且ab≠0)，O为坐标原点． 【解答】 15．已知平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)(其中a，b为常数，且ab≠0)，O为坐标原点． 【解答】 与非零向量a共线的单位向量为± 14．如图，在△ABC中，＝2，N为线段AM上一点， 且＝(1－λ)＋，则实数λ的值为______． $