第1节 平面向量的概念及线性运算 课件-2027届高三数学一轮复习

第1节　平面向量的概念及线性运算 课标要求 1. 理解平面向量的意义、几何表示及向量相等的含义. 2. 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义. 3. 了解向量线性运算的性质及其几何意义. 目录/ CONTENTS 考点一 平面向量的有关概念 01 考点二 平面向量的线性运算 02 考点三 共线向量定理及应用 03 课时跟踪训练 04 01 PART 考点一 平面向量的有关概念 目 录 名称 概念 向量 既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小称为向 量的 （或称 ⁠） 零向量 长度为 的向量，记作 ⁠ 单位向量 长度等于 ⁠的向量 方向　 长度　 模　 0　 0　 1个单位长度　 高中总复习·数学 目 录 名称 概念 平行向量 方向相同或 的非零向量，也叫做共线向量，规 定：零向量与任意向量 ⁠ 相等向量 长度相等且方向 ⁠的向量 相反向量 长度相等且方向 ⁠的向量 提醒：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a 平行的单位向量有两个，即向量 和－ . 相反　 平行　 相同　 相反　 高中总复习·数学 目 录 题组练透 1. 下列命题中的真命题是（　　） A. 若两个向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B. 与 是两平行向量 C. 若a∥b，b∥c，则a∥c D. a＝b的充要条件是｜a｜＝｜b｜且a∥b √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等，但两个向量 相等，不一定有相同的起点和终点，故A错误；因为 ＝－ ，所以 与 是两平行向量，所以B正确；当b＝0时，a与c不一定平行，故C错 误；当a∥b且方向相反时，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b，故｜ a｜＝｜b｜且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件，故D错 误.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·陕西渭南期中）设e是单位向量， ＝3e， ＝－3e，｜ ｜＝3，则四边形ABCD一定是（　　） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 √ 解析： 　由 ＝3e， ＝－3e，得AB∥CD，｜ ｜＝｜ ｜＝3 ＝｜ ｜，所以四边形ABCD一定是菱形.故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使 ＝ 成立的充分 条件是（　　） A. a＝－b B. a∥b C. a＝2b D. a∥b且｜a｜＝｜b｜ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为向量 的方向与向量a方向相同，向量 的方向与 向量b方向相同，且 ＝ ，所以向量a与向量b方向相同，故可 排除选项A、B、D；当a＝2b时， ＝ ＝ ，故a＝2b是 ＝ 成立的充分条件. 高中总复习·数学 目 录 4. 〔多选〕如图，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列 结论一定成立的是（　　） A. ｜ ｜＝｜ ｜ B. 与 共线 C. 与 共线 D. ＝ √ √ √ 解析： 　由四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，知｜ ｜＝｜ ｜，故A正确；由题图可知 与 的方向相反， 与 的方向相同且长度相等，即 与 共线， ＝ ，故B、D正确；而∠BDE与∠DEH不一定相等， 与 不一定共线，故C错误. 高中总复习·数学 目 录 练后悟通 理解向量有关概念的关键点 （1）向量定义的关键是方向与长度； （2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制； （3）相等向量的关键是方向相同且长度相等； （4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度； （5）零向量的关键是长度是零，规定零向量与任意向量平行. 高中总复习·数学 目 录 02 PART 考点二 平面向量的线性运算 目 录 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个 向量和 的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：（a＋b）＋c＝ ⁠ a＋（b＋c） 高中总复习·数学 目 录 向量 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 求两个向量差的运算 数乘 求实数λ与向 量a的积的 运算 ｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，当λ ＞0时，λa与a的方向 ⁠ ⁠； 当λ＜0时，λa与a的方 向 ⁠； 当λ＝0时，λa＝0 λ（μa） ＝ ⁠； （λ＋μ）a＝λa＋ μa； λ（a＋b）＝λa＋ λb 相 同　 相反　 （λμ）a　 高中总复习·数学 目 录 提醒：（1）中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任 一点，则 ＝ （ ＋ ）；（2）在△ABC中，点P满足 ＋ ＋ ＝0⇔点P为△ABC的重心⇔ ＝ （ ＋ ）；（3）对于任意两 个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 高中总复习·数学 目 录 角度1　向量的线性运算 （1）若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足｜ － ｜＝｜ ＋ －2 ｜，则△ABC的形状为（　B　） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 解析： ＋ －2 ＝（ － ）＋（ － ）＝ ＋ ， － ＝ ＝ － ，∴｜ ＋ ｜＝｜ － ｜，故A，B，C 为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形. B 高中总复习·数学 目 录 （2）已知O为等边△ABC的中心，若 ＝3a， ＝2b，则 ＝ （　A　） A. －9a－2b B. －9a＋2b C. 9a＋2b D. 9a－2b 解析：设D为BC的中点，∵O是△ABC的中心， ＝3a，O是△ABC 各边中线的交点，∴ ＝ ⇒ ＝ a，∴ ＝ ＋ ＝ a⇒ ＝－ a，又D为BC的中点， ＝2b，故 ＝ （ ＋ ）⇒ ＝ 2 － ，∴ ＝－9a－2b. A 高中总复习·数学 目 录 规律方法 平面向量的线性运算的求解策略 高中总复习·数学 目 录 角度2　根据向量线性运算求参数 （2026·湖南株洲模拟）在△ABC中，点D是线段BC上一点，若 ＝λ ， ＝ ＋ ，则实数λ＝（　　） A. B. √ C. D. 解析： 　因为 ＝λ ，所以 ＝ ＋ ＝ ＋λ ＝ ＋λ （－ ＋ ）＝（1－λ） ＋λ ，因为 ＝ ＋ ，所以λ＝ .故选D. 高中总复习·数学 目 录 规律方法 　　解决与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形或平行四 边形，利用向量运算的三角形法则或平行四边形法则，应用其几何意义进 行加法或减法运算，然后通过建立方程（组）即可求得相关参数的值. 高中总复习·数学 目 录 练1 （1）在△ABC中，AD为BC边上的中线，若点O满足 ＝2 ，则 ＝（　A　） A. － ＋ B. － C. － D. － ＋ 解析： 如图所示，∵D为BC的中点，∴ ＝ （ ＋ ），∵ ＝2 ，∴ ＝ ＝ ＋ ，∴ ＝ － ＝ －（ ＋ ）＝－ ＋ .故选A. A 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·湖北武汉模拟）已知在梯形ABCD中， ＝2 ，若M为 CD边上靠近C的三等分点，且 ＝x ＋y ，则x＋y＝ ⁠. 解析： 如图所示，因为在梯形ABCD中， ＝ 2 ，M为CD边上靠近C的三等分点，所以 ＝ ＋ ＋ ＝－2 － ＋ ＝－ － ， ＝ ＝－ － ，所以 ＝ ＋ ＝2 － － ＝－ ＋ .又因为 ＝x ＋y ，所以x＝－ ，y＝ ，则x＋y＝ . ​ 高中总复习·数学 目 录 03 PART 考点三 共线向量定理及应用 目 录 向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使 ⁠ ⁠. 提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一. b＝ λa　 高中总复习·数学 目 录 （1）（2026·四川绵阳模拟）已知平面向量a，b不共线， ＝4a＋ 6b， ＝－a＋3b， ＝a＋3b，则（　　） A. A，B，D三点共线 B. A，B，C三点共线 C. B，C，D三点共线 D. A，C，D三点共线 √ 解析： 　 ＝ ＋ ＝4a＋6b－a＋3b＝3a＋9b＝3 ，即 ∥ ，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）若向量 ， ， ，存在实数λ，μ且λ＋μ＝1，使得 ＝λ ＋μ ，求证： ∥ . 证明：∵ ＝λ ＋μ （λ，μ为实数）且λ＋μ＝1成立，则μ＝1－λ， ∴ ＝λ ＋（1－λ） ， ∴ － ＝λ（ － ）， 即 ＝λ . 由向量共线定理知 ∥ . 高中总复习·数学 目 录 规律方法 提醒　 ＝λ ＋μ （λ，μ为实数），点A，B，C共线（O不在直线 BC上），则λ＋μ＝1. 高中总复习·数学 目 录 练2 （1）（2026·福建福州模拟）已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1 ＋λe2与μe1＋e2是共线向量，则（　D　） A. ＝－2 B. λμ＝－2 C. ＝2 D. λμ＝2 D 解析： 依题意，设2e1＋λe2＝t（μe1＋e2），又e1，e2是两个不共线 的向量，所以tμ＝2，λ＝t，从而λμ＝2.故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）（2026·山东泰安期中）如图所示，在△ABC中，点O是BC的中 点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若 ＝ m ， ＝n （m，n＞0），则m＋n的值为（　A　） A. 2 B. 3 C. D. 5 A 高中总复习·数学 目 录 解析：连接AO（图略），因为点O是BC的中点，所以 ＝ （ ＋ ），又因为 ＝m ， ＝n （m，n＞0），所以 ＝ ＋ ，因为O，M，N三点共线，所以 ＋ ＝1，所以m＋n＝ 2.故选A. 高中总复习·数学 目 录 04 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：86分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（　　） A. a与λ2a的方向相同 B. a与－λa的方向相反 C. ｜λa｜＝λ｜a｜ D. ｜－λa｜＝－λ｜a｜ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为λ2＞0，所以a与λ2a的方向相同，故A项正确；当λ＜0时， a与－λa的方向相同，故B项错误；当λ＜0时，λ｜a｜＜0，故C项错误； 当λ＞0时，－λ｜a｜＜0，故D项错误.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. （2026·浙江嘉兴模拟）在△OAB所在平面内，点C满足 ＝3 ， 记 ＝a， ＝b，则 ＝（　　） A. a＋ b B. a＋ b C. － a＋ b D. a－ b √ 解析： 　由向量的线性运算可知 ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ （ － ）＝－ a＋ b.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 3. 已知四边形ABCD是平行四边形，O为平面上任意一点，设 ＝a， ＝b， ＝c， ＝d，则（　　） A. a＋b＋c＋d＝0 B. a－b＋c－d＝0 C. a＋b－c－d＝0 D. a－b－c＋d＝0 √ 解析： 　如题图所示，a－b＝ ，c－d＝ ，∵四边形ABCD是平 行四边形，∴AB􀰿DC，且 与 反向，即 ＋ ＝0，也就是a －b＋c－d＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 4. 已知平面内一点P及△ABC，若 ＋ ＋ ＝ ，则点P与 △ABC的位置关系是（　　） A. 点P在线段AB上 B. 点P在线段BC上 C. 点P在线段AC上 D. 点P在△ABC外部 √ 解析： 　由 ＋ ＋ ＝ ，得 ＋ ＋ ＝ － ，即 ＝－2 ，故点P在线段AC上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 5. 若点A在点O的正北方向，点B在点O的南偏西60°方向，且｜OA｜ ＝｜OB｜＝2 km，则向量 ＋ 表示（　　） A. 从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km B. 从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km C. 从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km D. 从点O出发，朝北偏西75°方向移动2 km √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　以O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正 北方向为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得∠AOB＝180°－60°＝120°，设 ＝ ＋ ，因为｜OA｜＝｜OB｜＝2 km，所以四边形OACB为 菱形，则∠AOC＝ ×120°＝60°，则△AOC为正三角形，所以｜ ｜＝2 km，故向量 ＋ 表示从点O出发，朝北偏西60°方向移动2 km.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别是AB， CD的中点，AC与BD交于M，设 ＝a， ＝b，则下列结论正确的 是（　　） A. ＝ a＋b B. ＝－ a＋b C. ＝－ a＋ b D. ＝－ a＋b √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意可得， ＝ ＋ ＝b＋ a，故A正确； ＝ ＋ ＝－a＋b＋ a＝b－ a，故B正确；由 ＝2 可推得 ＝ ， ＝ ，所以 ＝ ＋ ＝－a＋ ＝－a＋ b＋ a× ＝ b－ a，故C错误； ＝ ＋ ＋ ＝－ a＋b＋ a＝b－ a，故D正确.故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 7. 如图，O在△ABC的内部，D为AB的中点，且 ＋ ＋2 ＝0， 则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 ⁠. 解析：因为D为AB的中点，故 ＝ （ ＋ ），又 ＋ ＋2 ＝0，所以 ＝－ ，所以O为CD的中点.又因为D为AB的中点，所 以S△AOC＝ S△ADC＝ S△ABC，则 ＝4. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 8. 如图所示，在矩形ABCD中，｜ ｜＝4，设 ＝a， ＝b， ＝c，则向量a＋b＋c的模为 ⁠. 解析：过点D作AC的平行线，交BC的延长线于点E（图略），所以 DE∥AC，AD∥BE，所以四边形ADEC为平行四边形，所以 ＝ ， ＝ .于是a＋b＋c＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＋ ＝2 ，所以｜a＋b＋c｜＝2｜ ｜＝8. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 9. （2026·广东广州模拟）如图，在四边形ABCD中， ＝3 ， ＝ 3 .若 ＝2 ＋m ，则实数m＝ ⁠. －3　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析：由题可得 ＝ ＋ ＋ ， ＝ ＋ ＋ ，因为 ＝ 3 ， ＝3 ，可得 ＝－2 ， ＝－2 ，所以 ＝－2 ＋ －2 ＝－2（ ＋ ）＋ ，又因为 ＋ ＝ － ，所 以 ＝－2（ － ）＋ ，所以 ＝－3 ＋2 ，又因为 ＝ 2 ＋m ，所以m＝－3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 10. （10分）已知e1，e2是平面内不共线的两个向量，a＝2e1－e2，b＝ 3e1＋e2，c＝3e1＋λe2，且3a＋c与b＋2c共线. （1）求λ的值； 解： 因为a＝2e1－e2，b＝3e1＋e2，c＝3e1＋λe2. 所以3a＋c＝3（2e1－e2）＋3e1＋λe2＝9e1＋（λ－3）e2， b＋2c＝3e1＋e2＋2（3e1＋λe2）＝9e1＋（2λ＋1）e2， 又因为3a＋c与b＋2c共线， 所以λ－3＝2λ＋1，即λ＝－4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）请用a，b表示c. 解：设c＝xa＋yb，则有3e1－4e2＝x（2e1－e2）＋y（3e1＋e2）， 即3e1－4e2＝（2x＋3y）e1＋（－x＋y）e2. 所以 解得 所以c＝3a－b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 11. 设a，b是非零向量，则“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的 （　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于充分性，易知｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜成立的条件是 a，b方向相反，且｜a｜≥｜b｜，所以由｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜可 推出a∥b，所以充分性成立；对于必要性， 若a∥b，则a，b方向相同或 相反，当a，b的方向相同，此时满足｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，因此 必要性不成立，所以“｜a＋b｜＝｜a｜－｜b｜”是“a∥b”的充分不 必要条件.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 12. 如图，已知A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于 点D（点O与点D不重合），若 ＝λ ＋μ （λ，μ∈R），则λ＋μ 的取值范围是（　　） A. （0，1） B. （1，＋∞） C. （1， ] D. （－1，0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为线段CO与线段AB交于点D，所以O，C，D三点共线， 所以 与 共线，设 ＝m ，则m＞1，因为 ＝λ ＋μ ， 所以m ＝λ ＋μ ，可得 ＝ ＋ ，因为A，B，D三点 共线，所以 ＋ ＝1，可得λ＋μ＝m＞1，所以λ＋μ的取值范围是（1， ＋∞），故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 13. （2026·山东滨州二模）已知O，A，B，C为平面a内的四点，其中 A，B，C三点共线，点O在直线AB外，且满足 ＝ ＋ .其中x ＞0，y＞0，则x＋8y的最小值为 ⁠. 解析：由题意可得 ＋ ＝1，所以x＋8y＝（x＋8y）·（ ＋ ）＝1＋ ＋ ＋16≥17＋2 ＝25，当且仅当x＝5，y＝ 时等号成立. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）如图，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点， ＝ ， ＝a， ＝b. （1）用a，b表示 ， ； 解： 因为D，F分别是BC，AC的中点， 所以 ＝ （ ＋ ）＝ （a＋b）， ＝ ＝ b， 又 ＝ ， 所以 ＝ （a＋b）＝ a＋ b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 （2）求证：B，E，F三点共线. 解： 证明：由（1）得， ＝－ ＋ ＝－a＋ （a＋b）＝－ a＋ b， ＝－ ＋ ＝－a＋ b， 所以 ＝ ，且 ， 有公共点B， 所以B，E，F三点共线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 高中总复习·数学 目 录 $