第1节　平面向量的概念及线性运算课件-2027届高考数学一轮复习

第1节　平面向量的概念及线性运算 领航备考路径 核心考点 2021 2022 2023 2024 2025 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 Ⅰ卷 Ⅱ卷 1卷 2卷 1.平面向量的概念与线性运算     T3               2.平面向量坐标运算 T10     T4 T3   T3   T6   3.平面向量的数量积及应用   T15       T13 T3 T3   T12 4.复数 T2 T1 T2 T2 T2 T1 T2 T1 T1 T2 考情深度分析 平面向量与复数是高考的必考内容,通常各出现一道客观题.复数题多为选择题,位置靠前,属于基础送分题,主要考查复数的基本概念和四则运算.平面向量的考查则更为灵活,题型多样,难度跨度较大,核心考点包括向量的数量积及其应用、坐标运算与线性运算.此外,平面向量常作为工具性知识,与平面几何、解三角形、解析几何等内容进行综合考查. 高效复习策略 复数部分:本部分知识不宜过度钻研难题,关键在于准确进行复数的四则运算,熟练掌握复数的模、共轭复数、复数的实部、复数的虚部及纯虚数等概念,明晰复数的几何意义,并注意一元二次方程的复数根问题. 平面向量部分: (1)知识结构较为零散,需通过系统梳理和分类,建立完整的知识框架,扎实记忆相关概念、公式与结论. (2)突出向量“数”与“形”的双重属性,解题中综合运用数形结合及转化与化归的数学思想. (3)强调向量的工具性,复习中应了解并熟悉向量与其他知识点综合命题的常见形式. (4)重点掌握向量数量积公式及其变形,理清知识脉络,熟悉常用解题方法与规律. 课标解读　1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理解平面向量的意义和两个向量相等的含义,理解平面向量的几何表示和基本要素.2.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加、减运算及运算规则,理解其几何意义.3.通过实例分析,掌握平面向量数乘运算及运算规则,理解其几何意义,理解两个平面向量共线的含义.4.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有　　　　又有　　　　的量叫做向量;向量的_____　　　　(或称　　)  记作||   注意字母的前后顺序 零向量 长度为　　的向量叫做零向量  记作0 单位 向量 长度等于　　　　　　　的向量,叫做单位向量   与非零向量a共线的单位向量为± 大小 方向 长度　 模 0 1个单位长度 一个与之同向,另一个与之反向,这两个单位向量互为相反向量 名称 定义 备注 平行向量(共线向量) 方向　　　　或　　　　的非零向量叫做平行向量(共线向量)  零向量与任意向量平行 相等向量 长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相等向量  两向量只有相等或不相等,不能比较大小 相反向量 长度　　　　且方向　　　　的向量叫做相反向量  零向量的相反向量仍是零向量 相同 相反 相等 相同 相等 相反 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算,叫做向量的加法   三角形法则  适用于任意两个非零向量求和   平行四边形法则  只能用于两个不共线向量求和 交换律: a+b=　   结合律: (a+b)+c=　　 　  b+a a+(b+c) 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差.求两个向量差的运算叫做向量的减法   三角形法则 — 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘 |λa|=　　　　　;  当λ>0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ<0时,λa的方向与a的方向　　　　;当λ=0时,λa=0  λ(μa)=　　　　　;  (λ+μ)a=　　　　　;  λ(a+b)=　　　　　(λ,μ为实数)  |λ||a| 相同 相反 (λμ)a λa+μa λa+λb 3.共线向量定理 　不能漏掉这一条件 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使得　　　　.  b=λa 微点拨 1.只有a≠0才能保证实数λ的存在性和唯一性. 2.三点共线的几个等价关系 A,P,B三点共线⇔ [自主诊断] 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.(　　) (2)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b.(　　) (3)起点不同,但方向相同且模相等的向量是相等向量.(　　) (4)若向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　　) √ × 解析 向量的模可以比较大小,但向量不能比较大小. √ × 解析 直线AB与直线CD可能平行. 2.(上海高考)在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　) A. B. C. D.=0 C 解析 如图,在平行四边形ABCD中,AB=DC,AB∥DC,所以,故A正确;因为,故B正确;由,得,故C错误;因为=0,故D正确.故选C. 3.(多选题)(人A必修二教材习题改编)下列各式化简结果正确的是(　　) A. B. C.=0 D. BC 解析 由向量加法的平行四边形法则知A错误;显然B正确;=0,C正确;-()=,所以D错误.故选BC. 4.(全国高考)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=　　　.  解析 因为向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以λ= 5.(北师必修二教材习题)如图,已知向量e1与e2不共线,求作向量2e1-3e2. 解 如图所示,=2e1,=3e2,故即为2e1-3e2. 6.(苏教必修二教材习题)某人在静水中游泳的速度为 m/s,河水自西向东的流速为1 m/s,此人朝正南方向游去,求他的实际前进方向和速度. 解 如图,河水速度为,||=1,人的速度为,||=, 则,||==2,则cos∠ADB=,所以∠ADB=故实际前进方向为南偏东,速度为2 m/s. 常用结论 1.P为线段AB的中点⇔). 2.在△ABC中,若点P在BC边上,且,则. 3.若G为△ABC的重心,则有 (1)=0; (2)). 4.对于任意向量a,b,有||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|. 考点一　平面向量的基本概念 例1　(多选题)(2025·广东惠州检测)下列结论错误的是(　　) A.两个有共同起点的单位向量,其终点必相同 B.向量与向量的长度相等 C.对任意向量a,是一个单位向量 D.零向量没有方向 ACD 解析 由单位向量的定义可知,单位向量是模为1,方向任意的向量,故A错误;由相反向量的定义可知向量与向量的长度相等,故B正确;当向量a=0时,不满足题意,故C错误;零向量是大小为0,方向任意的向量,故D错误.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量概念的四个关注点 (1)单位向量不一定相等. (2)向量的相等具有传递性,非零向量的平行(共线)具有传递性. (3)表示与非零向量a同向的单位向量. (4)向量可以任意平移,平移后的向量与原向量是相等向量. 考点一 考点二 考点三 [对点训练1](多选题)(2025·河南南阳检测)下列关于向量的说法中,正确的是(　　) A.若向量a,b互为相反向量,则|a|=|b| B.若a∥b,b∥c,则a∥c C.若两个相等向量的起点相同,则它们的终点一定相同 D.若是共线向量,则A,B,C三点共线 ACD 考点一 考点二 考点三 解析 因为a,b互为相反向量,所以它们的模相等,A正确; 因为零向量与任何向量都共线,所以当b为零向量时,a与c不一定共线,B错误; 因为相等向量的长度和方向都相同,所以当两相等向量的起点相同时,终点一定相同,C正确; 由于是共线向量,且有共同的起点A,则A,B,C三点共线,D正确.故选ACD. 考点一 考点二 考点三 考点二　平面向量的线性运算 考向1　向量加、减法的几何意义 例2　若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a+b的夹角是　　  . (用弧度制表示)  　 解析 显然向量a与向量b不共线.设=a,=b, 以线段OA,OB为邻边作▱OACB,如图,则a+b=,a-b= 因为|a|=|b|=|a-b|, 所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,所以∠BOA=,四边形OACB为菱形.在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以向量a与向量a+b的夹角是 考点一 考点二 考点三 规律方法　 考点一 考点二 考点三 [对点训练2](2025·北京朝阳检测)若在四边形ABCD中,满足,且||=||,则四边形ABCD的形状一定是(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 B 解析 由,得,即四边形ABCD为平行四边形,又||=||,所以||=||,即对角线长度相等,所以四边形ABCD为矩形.故选B. 考点一 考点二 考点三 考向2　平面向量的线性运算 例3　(2025·河北衡水模拟)如图所示,在△ABC中,D是线段BC的中点,E是线段AD上的靠近点A的三等分点,则=(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 解析 因为D是线段BC的中点,E是线段AD上的靠近点A的三等分点,所以, 所以故选A. 考点一 考点二 考点三 规律方法　平面向量的线性运算的求解策略 考点一 考点二 考点三 [对点训练3](2025·河南安阳模拟)下列各式能化简为的是(　　) A. B.+() C.()+() D. C 解析 因为=0+,故A错误; 因为+()=()-,故B错误; 因为()+()=()+=0+,故C正确; 因为,故D错误.故选C. 考点一 考点二 考点三 考向3　根据向量的线性运算求参数 例4　(2025·湖南邵阳期中)在△ABC中,,点P在线段BM上,满足+m·,则m=(　　) A. B. C. D. A 考点一 考点二 考点三 解析 因为点P在线段BM上,所以设=t, 则+t+t()=(1-t) 又+m, 则解得故选A. 规律方法　根据向量的线性运算求参数,可以通过向量的线性运算将向量表示出来,与已知条件对照比较,确定参数的值. 考点一 考点二 考点三 [对点训练4] (1)如图,在直角梯形ABCD中,=2,且=r+s,则2r+3s=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 C 考点一 考点二 考点三 解析 )=)=)=因为=r+s,所以r=,s=,则2r+3s=1+2=3.故选C. 考点一 考点二 考点三 (2)如图,在△ABC中,点M,N满足=2.若=x+y,则x+y=　　　　　.  解析 因为)==x+y,所以x=,y=-,所以x+y= 考点一 考点二 考点三 考点三　共线向量定理及其应用 例5　(2025·江苏南京模拟)已知向量a,b不共线,且=2a-b,=3a+b, =a+λb. (1)若,求λ的值; (2)若λ=-3,求证:A,B,C三点共线. 考点一 考点二 考点三 (1)解 若,设=,则2a-b=μ(a+λb), 可得解得μ=2,λ=- (2)证明 若λ=-3,则=a-3b, 所以=(a-3b)-(2a-b)=-a-2b,=(a-3b)-(3a+b) =-2a-4b, 所以=2,又BC与AC有公共点C,所以A,B,C三点共线. 考点一 考点二 考点三 规律方法　利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线,且λa=μb,则λ=μ=0. (3)已知O,A,B是不共线的三点,且=m+n(m,n∈R),则A,P,B三点共线的充要条件是m+n=1. 考点一 考点二 考点三 [对点训练5](1)(2025·江苏盐城模拟)e1,e2是平面内不共线的两个向量,已知=e1+ke2,=3e1+4e2,=4e1+e2,若A,B,D三点共线,则k的值为(　　) A.3 B.-3 C.-2 D.2 B 解析 由=3e1+4e2,=4e1+e2,得=e1-3e2,由A,B,D三点共线,得 ∥ ,又=e1+ke2,e1,e2不共线,则,所以k=-3.故选B. 考点一 考点二 考点三 (2)如图,在平行四边形ABCD中,M,N分别为线段AB,AD上的点,且,连接AC,MN交于点P,若,则N为(　　) A.线段AD的中点 B.线段AD上靠近点D的三等分点 C.线段AD上靠近点D的四等分点 D.线段AD上靠近点D的五等分点 B 考点一 考点二 考点三 解析 设=因为)=+) =,又M,N,P三点共线,所以=1,解得λ=, 所以,所以N为线段AD上靠近点D的三等分点. 考点一 考点二 考点三 $