第17讲　第1课时　导数与不等式证明课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的综合应用——不等式证明”核心考点，依据高考评价体系梳理了构造新函数求最值、隔离分析、放缩法三大考查方向，结合2023新高考Ⅰ卷、2024全国甲卷等真题及模拟题，明确高频题型分布，构建完整解题思路体系。 课件亮点在于“真题解析+方法建模+素养提升”策略，如以2023新高考Ⅰ卷函数单调性讨论、2024全国甲卷放缩法证明为例，深入剖析构造辅助函数、转化不等式等技巧，培养学生逻辑推理与数学表达素养。特设易错点警示和变式训练，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第三章 第17讲　导数的综合应用 一元函数的导数及其应用 第1课时　导数与不等式证明 1 目标 1 构造新函数求最值证明不等式 (1) 讨论f(x)的单调性； 1 【解答】 1 【解答】 证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))直接转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)． (1) 讨论函数f(x)的单调性； 【解答】 ③当a＜－1时，－a＞1，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增． 综上，当－1＜a＜0时，函数f(x)在(0，－a)上单调递增，在(－a，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a＜－1时，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增． (2) 当a＜－1时，求证：∀x∈(1，＋∞)，f(x)＞－a－a2． 【解答】 　　　　当a＜－1时，由(1)得，函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增，函数f(x)在(1，＋∞)上的最小值为f(－a)＝(a－1)ln(－a)－a－1，欲证不等式f(x)＞－a－a2成立，即证－a－a2＜(a－1)ln(－a)－a－1，即证a2＋(a－1)ln(－a)－1＞0．因为a＜－1，所以只需证ln(－a)＜－a－1． 目标 2 隔离分析证明不等式 　　　当a∈(0，2e)时，求证：2x2－(2x＋a)ln x＞0． 2 【解答】 目标 3 利用放缩法证明不等式 　　　　　(2024·全国甲卷节选)已知函数f(x)＝a(x－1)－ln x＋1，a≤2，求证：当x＞1时，f(x)＜ex－1恒成立． 【解答】 　　　　因为a≤2，所以当x＞1时，ex－1－f(x)＝ex－1－a(x－1)＋ln x－1≥ex－1－2x＋ln x＋1． 3－1 【解答】 　　　　构造函数h(x)＝ex－x－1，h′(x)＝ex－1．当x＜0时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞0时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，则h(x)≥h(0)＝0，所以ex≥x＋1，x≠0时，ex＞x＋1． 3－2 常见的恒成立不等式(放缩依据)： (1) ex≥x＋1(x∈R)，当且仅当x＝0时取等号； (2) ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号； (3) x－1≥ln x(x＞0)，当且仅当x＝1时取等号； (4) ex＞ln x； 注意：有时候可对参数进行放缩(对参数直接取最值)． 配套练习题 【解答】 2．(2025·太原一模节选)已知函数f(x)＝x－ln x，求证：当x∈(0，＋∞)时，f(x)≥cos(x－1)． 【解答】 3．(2025·秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)ln x＋1． (1) 求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 【解答】 3．(2025·秦皇岛三模)设函数f(x)＝(x－2)ln x＋1． (2) 求证：f(x)＋ex＞x＋1． 【解答】 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x． (1) 讨论f(x)的单调性； 【解答】 　　　　因为f(x)＝a(ex＋a)－x，定义域为R，所以f′(x)＝aex－1．当a≤0时，由于ex＞0，则aex≤0，故f′(x)＝aex－1＜0恒成立，所以f(x)在R上单调递减． 当a＞0时，令f′(x)＝aex－1＝0，解得x＝－ln a，当x＜－ln a时，f′(x)＜0，则f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减；当x＞－ln a时，f′(x)＞0，则f(x)在(－ln a，＋∞)上单调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在R上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． 4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x． 【解答】 (1) 讨论函数h(x)＝ax－f(x)的单调性； 【解答】 (2) 求证：xf(x)＞g(x)－1． 【解答】 $