第19讲 第1课时 利用导数研究恒（能）成立问题 课件——2027届高三数学一轮复习

第19讲 导数与不等式 / 第1课时 利用导数研究恒（能）成立问题 / 1 一般地,若对任意恒成立,则只需 ; 若对任意恒成立,则只需 .若存在, 使得成立,则只需;若存在 ,使得 成立,则只需 .由此构造不等式,求解参数的取值范围. 对于分类讨论法，常见有两种情况：（1）先利用综合法,结合导 函数的零点之间的大小关系的决定条件,确定分类讨论的标准,分类后, 判断不同区间上函数的单调性,得到最值,构造不等式求解;（2）直接 通过导函数的式子,看出导函数值正负的分类标准,通常导函数为二次 函数或者一次函数.#2 2 对于双变量的恒（能）成立问题，常转化为求两个函数的最值 之间的比较. 提示一：求解参数范围时,一般会涉及分离参数,试题中很少碰到 分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况,通常需要设出导 函数的零点,难度较大.#4 3 提示二：破解不等式求参问题,时常会通过不等式的同解变形,构 造一个与背景函数相关的函数,利用函数最值确定参数的取值范围.在 构造函数或求最值的过程中常用的放缩方法有函数放缩法、基本不 等式放缩法、叠加不等式放缩法等. 变更主元法是一种在解决多变量问题时常用的数学方法，其核 心思想是通过灵活选择某个变量作为“主元”，将多变量问题转化为 单变量的函数、方程或不等式问题，从而简化求解过程.#6 4 探究点一 分离参数法求参数范围 例1-1 当时，不等式恒成立，求实数 的取值范围． ［思路点拨］当时，由不等式 恒成立， 分离参数，结合函数的单调性求 的取值范围. 课 堂 考 点 探 究 5 解：当时，不等式 恒成立， 即, 恒成立. 令,，则 ， 所以当时，，当时，, 即函数 在区间上单调递增，在区间 上单调递减， 故的最大值为，所以实数的取值范围为 ． 课 堂 考 点 探 究 6 例1-2 已知函数，若存在 ，使得 成立，求实数 的最小值. ［思路点拨］先分离参数 ，再利用导函数求函数的最值即可. 课 堂 考 点 探 究 7 解：存在，使得 成立， 即存在，使得 成立， 问题转化为 . 令，得 ， 当时，，当时，， 在 上单调递减，在 上单调递增， ，则 ，故实数 的最小值为4． 课 堂 考 点 探 究 8 [总结反思] 1.分离参数法解决恒（能）成立问题的策略： （1）分离变量,构造函数,直接把问题转化为函数的最值问题. （2）恒成立 ; 恒成立 ; 能成立 ; 能成立 . 课 堂 考 点 探 究 9 2.分离参数法通常有两个角度：全分离参数法和半分离参数法. 全分离参数是将含参表达式中的参数从表达式中完全分离出来，将 所求参数的范围问题转化为求函数的最值或值域问题. 半分离参数一般是将不等式变形为或 的 形式，然后画出图象，由图象的上下方关系得到不等式，从而求解. 课 堂 考 点 探 究 10 变式题1 已知函数在为自然对数的底数 处 取得极值． （1）求实数 的值； 解： ， ， 函数在 处取得极值， ，解得， 经检验，符合题意， . 课 堂 考 点 探 究 11 （2）若不等式对任意恒成立，求 的取值 范围. 解：由（1）知， 由题意知 对任意恒成立， 即对任意 恒成立． 课 堂 考 点 探 究 12 令，则 ． 设，易得 是增函数， 又， 当时，，即 ， 当时，，即， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，，即的取值范围为 ． 课 堂 考 点 探 究 变式题2 [2025·深圳二模节选] 已知函数 , ，且 .若恒成立，求 的取值范围. 解：①当时，函数的定义域为 ， 因为, ， 所以 ，不符合题意，所以 不符合题意. ②当时，函数的定义域为 ，显然 . 课 堂 考 点 探 究 14 方法一：当时，由恒成立，得 恒成立， 即 恒成立. 令 ，则 . 当时，,则在 上单调递减； 当时，,则在 上单调递增. 故当时，取得最小值，最小值为 ， 则，即 . 综上所述，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 15 方法二：当时，由恒成立，得 恒成立， 即 恒成立，得 恒成立. 令，则 . 当时，,则在 上单调递减； 当时，,则在 上单调递增. 故当时，取得最小值，最小值为 . 则，即 . 综上所述，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点二 分类讨论法求参数范围 例2 已知函数， ． （1）若曲线在点处的切线与直线 平行，证 明： ； ［思路点拨］利用已知条件及导数的几何意义求出 的值，然后利用 导数研究函数的最值即可证明不等式； 课 堂 考 点 探 究 17 证明：因为 ， 所以曲线在点处的切线的斜率 ． 又因为切线与直线平行，所以，解得 ， 所以 ， . 由得，则函数的单调递增区间为 ； 由得，则函数的单调递减区间为 . 所以在 处取得极大值，也为最大值， 且，所以 . 课 堂 考 点 探 究 18 （2）设，若对任意 ，均有 ，求实数 的取值范围． ［思路点拨］原不等式等价于 ，构造新 函数分类讨论研究函数的单调性，结合最值即可得到实数 的取值 范围． 课 堂 考 点 探 究 19 解：由得 ， 整理得 ． 设， 则 , 且在 上恒成立. ①当时，，在 上单调递增， 则 ，满足题意. 课 堂 考 点 探 究 20 ②当时，由得， 则函数在 上单调递减， 由得，则函数在 上单调递增， 所以在 处取得极小值，也为最小值，故 ． 依题意得，可得 ， 可得． 综上可得，实数的取值范围为 ． 课 堂 考 点 探 究 21 [总结反思] 在给出的含参数的恒成立或能成立的不等式中,如果参数不易分离,则 可以考虑用分类讨论法求参,通过讨论参数不同取值下函数的单调区 间和函数的最值（或值域）,进而确定参数的范围.解决此类问题的关 键是对参数合理分类,在参数的每一段取值上判断是否满足题意. 课 堂 考 点 探 究 22 变式题 [2025·南京、盐城一模节选] 已知函数 . （1）当时，求证： ； 证明：由，得， 要证 ，只需证 . 令，则， 当 时，，则单调递减， 当时，，则 单调递增， 所以，所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 23 （2）若对任意恒成立，求 的取值范围. 解： , 令 ，则 . ①当时，由，得, ， 因此 ，满足题意. ②当时，由，得, ， 则，则在 上单调递增. 课 堂 考 点 探 究 24 若，则， 则在 上单调递增， 所以 ，满足题意； 若，则, ， 所以在上存在唯一的零点，且 ， 所以当时，,单调递减， 当 时，, 单调递增， 所以 ，不满足题意. 综上，的取值范围为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 变更主元法解多变量问题 例3 已知不等式对任意 ， 恒成立，求实数 的取值范围. ［思路点拨］此类问题常因思维定势而被看成关于 的函数进行讨论， 后续步骤比较复杂.但是若变换一个角度，将 作为主元，就可以看 成关于 的一元函数，将恒成立问题转化为函数最值问题. 课 堂 考 点 探 究 26 解：设， 因为，所以 单调递增，则当时， 不等式 恒成立， 只需，分离变量得 . 设， ， 令，得（舍去）或 ， 令，得,令，得， 所以在 上单调递减，在 上单调递增， 所以的最小值是，所以 . 课 堂 考 点 探 究 27 [总结反思] 变更主元法的关键在于根据问题结构和变量关系，灵活选择主元， 将复杂多变量问题转化为单变量问题求解.该方法在恒成立问题、 最值问题、不等式证明、方程根的存在性等问题中均有广泛应用. 课 堂 考 点 探 究 28 （1）若,证明： 的最小值为0； 证明：当时， ， ， 令 ， 则 . 令得， 变式题 已知函数, . 课 堂 考 点 探 究 所以当时，， 单调递增， 当时，， 单调递减， 又因为，， 所以在上存在 ，使得， 且在上，单调递增， 在 上， 单调递减， 故 . 课 堂 考 点 探 究 （2）证明：对任意的, , 恒成立. 解：由（1）知，当时， 恒成立， 即在 上恒成立， 即在上恒成立， 所以当 时， . 课 堂 考 点 探 究 31 要证，其中, ， 只需证，其中, . 令 ， 其中，，则只需证 . ， 则在上单调递增，所以 . 课 堂 考 点 探 究 令，，则 ， 因为，所以 ，故在 上单调递减， 又, ， 所以存在，使得，且在上 ， 单调递增，在上， 单调递减， 又,所以 ， 即 ，故原式得证. 课 堂 考 点 探 究 探究点四 双变量的恒（能）成立问题 例4 已知函数 ． （1）求函数在 上的最小值； ［思路点拨］利用导数研究函数 的单调性，注意构造中间函数 ,判断 的符号，即可求解； 课 堂 考 点 探 究 34 解：因为函数,所以 ． 设,，则， 故 在上单调递减，所以， 即, ，所以在 上单调递减， 所以在上的最小值为 ． 课 堂 考 点 探 究 35 （2）若，且对任意 ，都存在 ，使得成立，求实数 的取值范围． ［思路点拨］构造函数, ，研究其单调性， 证明在上恒成立，再应用导数研究函数 在 上的最大值，结合已知得到关于 的不等式，即可求范围. 解：令,，则在 上恒成立，即函数在 上单调递减，所以 ， 所以,，即在 上恒成立. 课 堂 考 点 探 究 36 ， 当 时，， 所以当时,,则在区间 上单调递增； 当时,,则在区间 上单调递减． 故函数在区间 上的最大值为． 结合题意，只需 ，解得， 故实数的取值范围是 ． 课 堂 考 点 探 究 37 [总结反思] 常见的双变量不等式能成立问题（有解问题）与恒成立问题类型 其中，，在上的最大值为 ，最小 值为，在上的最大值为，最小值为 （1），， （2），， （3），， （4），， 课 堂 考 点 探 究 38 变式题 设函数, . （1）如果存在,,使得 成立,求满足上述 条件的最大整数 ; 解：存在,，使得成立，等价于当 ， 时， . 课 堂 考 点 探 究 39 由，得， 在 上，，随 的变化情况如下表： 0 2 0 0 8 单调递减 极小值 单调递增 1 由上表可知，当时， , ， 所以 ， 所以满足条件的最大整数 . 课 堂 考 点 探 究 40 （2）如果对任意的,,都有成立,求实数 的取值 范围. 解：方法一：由（1）知，在区间上，的最大值为 . 因为对任意的,，都有 成立， 所以当时， 恒成立， 等价于对 恒成立. 记，，则 ， 且 ． 课 堂 考 点 探 究 41 记，，则 ， 因为，所以 , 所以在 上单调递减， 又，所以当时， ，当时， ，故函数在区间上单调递增， 在区间 上单调递减， 所以，所以， 故实数 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 方法二：由（1）知，在区间上，的最大值为 ． 因为对任意的,，都有成立，所以 . 下面证明：当时，在区间上，函数 恒成立． 当且时， . 记，，则 ， 且，在 上单调递增， 课 堂 考 点 探 究 43 所以当时，，当时， ， 所以函数在区间上单调递减， 在区间 上单调递增， 所以，即 ， 所以当且时，恒成立， 故对任意的 , ，都有成立， 所以实数 的取值范围是 ． 课 堂 考 点 探 究 例1 ［配例使用］已知函数 . （1）若，求曲线在点 处的切线方程； 解：当时，，则 ， 函数的导函数为，则 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ， 即 . 【备选理由】例1是不等式恒成立求参数范围的问题，采用分离参数 法，构造函数需要二次求导判断单调性求最值； 教 师 备 用 习 题 45 （2）若对任意，恒成立，求实数 的取值范围. 解：由对任意，恒成立， 知 对恒成立, 因为，所以 ， 故对 恒成立. 设，则 ， 教 师 备 用 习 题 46 令 ，则 ，所以在上单调递增， 又 ，所以当时，， 则在区间 上单调递减； 当时，， 则在区间 上单调递增. 故当时， 取得极小值，也是最小值，且 ， 所以 .故实数的取值范围是 . 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例使用］[2026·汉中模拟] 已知函数 ，其 中 . （1）求曲线在点 处的切线方程； 解：根据题意， ， 则，且 ， 所以曲线在点处的切线方程为 . 【备选理由】 例2第（3）问中需要对不等式进行变形，分别求不等号两边函数的最值进行比较，即可得解； 教 师 备 用 习 题 48 （2）求函数 的单调区间和极值； 解：令，得或 ， 当时，， 则函数在 ， 上单调递增， 当时，，则函数在 上单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为 ， 为函数的极小值点，极小值为 ， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为 和 ，极大值为 ，极小值为0. 教 师 备 用 习 题 49 （3）若关于的不等式在上有解，求实数 的取值 范围. 解：根据题意，关于的不等式在 上有解， 即对 有解. 设，，， ， 因为在上单调递增，所以 ， 因为在上单调递减，所以 ， 则，可得，故实数的取值范围为 . 教 师 备 用 习 题 50 例3 ［配例2使用］[2025·广东执信中学月考] 已知函数 ,, . （1）求函数 的单调区间； 【备选理由】 例3是不等式恒成立求参数问题，但不能分离常数； 教 师 备 用 习 题 51 解：由题可得 ， 当时，因为，所以恒成立，所以在 上单调递增. 当时，若，则，若，则 ， 所以在上单调递增，在 上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为 ，没有单调递减 区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 . 教 师 备 用 习 题 52 （2）若恒成立，求 的最小值. 解：令， 要使 恒成立，只要使恒成立即可， 即 . ， 若，因为，所以 恒成立， 所以当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 教 师 备 用 习 题 53 此时，解得，此时 的最小值为 . 若，因为，所以 恒成立， 所以当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以在上无最大值， 且当趋近于 时， 趋近于 ，不合题意. 综上所述，的最小值为 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例4使用］已知函数 . （1）当时，求在区间 上的最小值； 【备选理由】 例4是双变量恒成立问题. 教 师 备 用 习 题 55 解：当时，，求导得 ， 令， ， 则在上恒成立，则 ， 则在区间 上恒成立. 则当时，，单调递减， 当 时，，单调递增， 所以在区间 上的最小值为 . 教 师 备 用 习 题 56 （2）若函数，对任意, , 恒成立，求 的取值范围. 教 师 备 用 习 题 57 解：由，可得 ， 当时，， 单调递增， 当时，, 单调递减， 所以 . 结合（1）可得 ， 由题得 ，即， 可得 ，故的取值范围为 . 教 师 备 用 习 题 58 作业手册 59 ◆ 基础热身 ◆ 1.若不等式对任意恒成立，则实数 的取值 范围是( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 [解析] 由题设知，即对 恒成立. 令，，则. 令 ，得，故在上单调递增； 令，得 ，故在上单调递减. 所以，所以 . 故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 2.若存在，使得不等式成立，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 [解析] 存在，使得不等式 成立， 则对能成立. 令， ，则， 令，可得 ， 当时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 又 ，所以，所以 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 3.已知函数,若对任意的， 恒成立，则 的最大值是( ) A. B. C.1 D. [解析] 由,得 . 设,可得， 当时， ，则在上单调递增， 故当时， ，故在上单调递增. 因为对任意的, 恒成立， 所以只需,解得，所以 的最大值是1.故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 64 4.已知函数，，若存在， ， 使得成立，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 若存在,，使得 成立， 则只需 由题可得 ， 易知函数在上单调递减，在 上单调递增， 所以. 由题可得 ，所以 .故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 65 5.已知函数的图象恒在 的图象 的下方，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. √ [解析] 由题意可得 恒成立， 即恒成立， 即 恒成立. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 66 令，易知 在定义域上单调递增， 原不等式可化为，所以 恒成立， 即恒成立. 令，则 ， 当时，，当时，， 所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 所以，故实数的取值范围是 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 67 6.（多选题）[2025·新余模拟]已知关于 的不等式 恒成立，则实数 的值可能为( ) A.2 B.0 C.1 D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 68 [解析] 由题知，不等式 恒成立， 设， 为常数，则直线恒在函数 的图象的上方，直线恒过点. ，当时， ，当时，， 在上单调递增， 在 上单调递减，， 又 ，当时， ， 在同一坐标系中，作出函数的图象与直线 ，如图. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 69 设直线与函数 的图象相切时切 点坐标为， ， 解得或， 当直线 与函数的图象相切时， 切线斜率为2或 ， 由图知，.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.若不等式对任意恒成立，则 的取值范围是 _________. [解析] 方法一：设,原问题转化为 对任意 恒成立. 因为,所以当， 时, ， 故在上单调递减， 所以当 时，,不符合题意； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 71 当,时， ,故在上单调递增， 所以当时， 恒成立，所以满足题意; 当时,存在 ,使得, 又在上单调递增， 所以当 时，,在上单调递减， 所以当 时，,不符合题意. 综上，的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二：应用洛必达法则和导数. 当 时，原不等式等价于. 令 ,则. 又当时， ,所以当时，, 故在 上单调递减， 又, 所以.故 的取值范围是 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.已知函数，若存在实数 ，使得 成立，则实数 的取值范围是__________. [解析] 因为存在实数，使得成立， 所以大于 在 上的最小值. 由题可得， 当 时，令，可得或 或 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 74 0 0 - 0 0 0 单调递减 极小值 单调递增 所以在上的最小值为 ，所以 ， 故实数 的取值范围是 . 当变化时，， 的变化情况如下表所示， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 75 9.[2025·沈阳二模] 已知函数 . （1）若存在，使成立，求 的取值范围； 解：由得， 则存在 ，使成立. 令，则，令 得， 当时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 所以，所以 .故的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 76 （2）已知，若对任意恒成立， 求 的最小值. 解：若对任意恒成立， 则 对任意恒成立， 令 ，则 ， 令， 得 （舍去）或 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 77 当时，，单调递增； 当时， ， 单调递减. 所以 ， 则，则的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ◆ 综合提升 ◆ 10.（多选题）若当时，恒成立，则 的可能 取值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [解析] 令，，则 可化为 ，即， 令 ，则， 当时，，当时， ， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 故，所以，解得.故选 . √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 79 11.已知函数，，若存在， ， 使得成立，则 的取值范围是______. [解析] 由题设知， ， 因为，所以,则 ， 同理得，即. 函数的定义域为 ， 因为对恒成立， 所以函数在区间 上单调递增. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 80 因为，所以 ， 即，则. 构造函数 ， 其中， 则. 当 时，，则函数在上单调递增； 当 时，，则函数在 上单调递减. 所以，且显然成立， 故 的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 81 12.[2025·葫芦岛一模] 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 82 解：因为，其定义域为 ， 所以 ， 所以当时，，在上单调递减； 当 时，当时，，在 上单调递减； 当时，，在 上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时， 在上单调递减，在 上单调递增. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 83 （2）当时，，求实数 的值. 解：由（1）得，当 时， ， 因为恒成立， 所以 ， 即 . 令， ， 则， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 84 令 ，得， 令，得 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以， 则 恒成立，所以， 即，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.[2025·武汉四月调考] 已知函数 . （1）若的图象在点处的切线斜率为，求 ； 解：因为，所以 ， 依题意，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 86 （2）若恒成立，求 的取值范围. 解：易知的定义域为 ， 因为 恒成立， 所以 恒成立. 令， ， 则， 令， ，则， 所以在 上单调递增， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 87 又，，所以存在 ， 使得，即，，则 . 当时，，当时， ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，所以 . 故实数的取值范围为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ◆ 能力拓展 ◆ 14.[2026·浙江Z20联盟一联] 已知函数 , . （1）若，求的图象在点处的切线 的方程； 解：当时，,则 ， 所以 ， 因为，所以的图象在点处的切线 的方 程为 ，即 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 89 （2）判断是否是函数 的极值点，并说明理由； 解：由题可得， 若 是函数的极值点，则 ， 代入得，即. 当 时， ， 令，则 ， 易得在上单调递减，在 上单调递增， 所以，即在 上单调递增，不合题意. 综上，不是函数 的极值点. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 90 （3）若不等式对任意的 ， 恒成立，求正整数的最大值.参考数据： , , 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 91 解：由题知 ， 上式对任意恒成立， 以 为主元，令， ， 则只需 ， 因为， 所以在 上单调递增，则 ， 所以 ， 即对任意 恒成立. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 92 方法一：设， , 则 . 当时，恒成立，故在 上单调递增， 所以，成立. 当时， 在上单调递减， 在 上单调递增， 故只需，即， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 93 令 , 则， 所以在 上单调递减. 因为,，所以, ， 则 最大可取到4. 综上， 的最大值为4. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法二：由题意得对任意 恒成立， 设, ，则， 令,则 ， 所以在 上单调递增. 因为,，所以 , ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 所以存在，使得在上单调递减， 在 上单调递增，且满足 ， 故 ， 又，所以 的最大值为4. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 方法三：由题意得对任意恒成立， 取 ，则 ， 因为，所以，故 . 下面证明当 时原不等式恒成立，代入原不等式， 即证对任意 恒成立， 设,，则 ， 所以在上单调递减，在 上单调递增， 所以，即 成立. 综上，k的最大值为4. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 课堂考点探究 例1-1 <m></m> 例1-2 4 变式题1（1） （2）<<m><m> 变式题2 <m></ 例2（1）证明略 （2） <m></m> 变式题（1）证明略 （2）<m></ 例3 变式题 （1）证明略 （2）证明略 例4（1）</m> （2）<m></m> 变式题（1）</m> （2） <m></ 答 案 核 查 98 基础热身 1.D 2.C 3.C 4.C 5.A 6.ACD 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）<m></m> （2）<m></m> 综合提升 10.BCD 11.<m></m> 12.（1）当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上单调递减；当<m></m>时，<m></m>在<m></m>上单 调递减，在<m></m>上单调递增. （2）</m> 13.（1）</m> （2）<m></m> 能力拓展 14.（1）<m></m> （2）m></m>不是函数<m></m>的极值点，理由略. （3） 4 答 案 核 查 99 $