3.1 导数的概念、运算及几何意义 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念、运算及几何意义”核心考点，依据课标要求梳理三大模块，对接高考评价体系，分析切线方程、导数运算等高频考点权重，归纳求导运算、切线方程求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养提升”，如结合2024全国甲卷切线面积题，提炼“求切线方程三步法”，培养学生运算能力与推理能力，通过“过点求切线”易错点分析强化模型意识，助力学生掌握得分关键，教师可据此实现精准复习指导。

第1节　导数的概念、运算及几何意义 课标要求 1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数. 2. 通过函数图象直观理解导数的几何意义. 3. 能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（形如f（ax＋b））的导数. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 导数的概念 （1）平均变化率：对于函数y＝f（x），我们把比值 ，即 ＝ 叫做函数y＝f（x）从x0到x0＋Δx的平均变 化率； 提醒：Δx可以是正值，也可以是负值，但不为0. 　 高中总复习·数学 目 录 （2）函数y＝f（x）在x＝x0处的导数：函数y＝f（x）在x＝x0处的瞬 时变化率 ＝ 叫做函数y＝f（x）在x＝ x0处的导数，记作f'（x0）或y' ，即f'（x0）＝ ＝ ； 高中总复习·数学 目 录 （3）导函数：当x变化时，y＝f'（x）就是x的函数，我们称它为y＝f （x）的导函数（简称导数），y＝f（x）的导函数有时也记作y'，即f' （x）＝y'＝ . 提醒：f'（x0）代表函数f（x）在x＝x0处的导数值；（f（x0））'是函数 值f（x0）的导数，而函数值f（x0）是一个常量，其导数一定为0，即（f （x0））'＝0. 高中总复习·数学 目 录 2. 导数的几何意义 函数y＝f（x）在x＝x0处的导数就是曲线y＝f（x）在点P（x0，y0）处 切线的 ，相应的切线方程为y－y0＝k（x－x0），其中k＝ ＝f'（x0）. 3. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导数 f（x）＝c（c为常数） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝xα（α∈R，且 α≠0） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ sin x f'（x）＝ ⁠ 斜率　 0　 αxα－1　 cos x　 高中总复习·数学 目 录 基本初等函数 导数 f（x）＝ cos x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ex f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ax（a＞0，且a≠1） f'（x）＝ ⁠ f（x）＝ln x f'（x）＝ ⁠ f（x）＝logax（a＞0，且 a≠1） f'（x）＝ ⁠ － sin x　 ex　 axln a　 　 　 高中总复习·数学 目 录 4. 导数的运算法则 （1）[f（x）±g（x）]'＝ ⁠； （2）[f（x）g（x）]'＝ ⁠； （3）［ ］'＝ 　 　（g（x）≠0）； （4）[cf（x）]'＝ ⁠. 5. 复合函数的导数 复合函数y＝f（g（x））的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数 间的关系为y'x＝ ⁠. f'（x）±g'（x）　 f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　 　 cf'（x）　 y'u·u'x　 高中总复习·数学 目 录 1. 可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函 数的导数还是周期函数. 2. 函数y＝f（x）的导数f'（x）反映了函数f（x）的瞬时变化趋势，其 正负号反映了变化的方向，｜f'（x）｜的大小反映了f（x）图象变化的快 慢，｜f'（x）｜越大，曲线在这点处的切线越“陡”. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）f'（x0）是函数y＝f（x）在x＝x0附近的平均变化率. （　×　） （2）求f'（x0）时，可先求f（x0），再求f'（x0）. （　×　） （3）函数y＝ sin 的导数为y'＝ cos . （　×　） （4）曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. （　√　） （5）与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. （　×　） × × × √ × 高中总复习·数学 目 录 2. 下列函数的求导正确的是（　　） A. （x－2）'＝－2x B. （x cos x）'＝ cos x－x sin x C. （ln 10）'＝ D. （e2x）'＝2ex √ 解析： 　（x－2）'＝－2x－3，∴A错误；（x cos x）'＝ cos x－x sin x， ∴B正确；（ln 10）'＝0，∴C错误；（e2x）'＝2e2x，∴D错误.故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 函数y＝f（x）的图象如图，则导函数f'（x）的大致图象为（　　） √ 解析： 　由导数的几何意义可知，f'（x）为常数，且f'（x）＜0. 高中总复习·数学 目 录 4. 已知函数f（x）满足f（x）＝f'（ ） cos x－ sin x，则f'（ ）＝ ⁠ ⁠. 解析：f'（x）＝－f'（ ） sin x－ cos x，令x＝ ，得f'（ ）＝－ f' （ ）－ ，解得f'（ ）＝1－ . 1－ 　 高中总复习·数学 目 录 5. （2026·浙江杭州模拟）曲线y＝3x在点（0，1）处的切线方程是 ⁠ ⁠. 解析：由题设y'＝3xln 3，则切线斜率k＝ln 3，所以曲线y＝3x在点（0， 1）处的切线方程是y－1＝ln 3·（x－0），即xln 3－y＋1＝0. xln 3－y＋1＝0　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 导数的基本概念（基础自学过关） 1. 设f（x）在x＝x0处可导，下列式子与f'（x0）相等的是（　　） A. B. C. D. √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A， ＝－ ＝－f'（x0），A错误；对于B， ＝f'（x0），B正确；对于C， ＝2 ＝2f'（x0），C错误；对于D， ＝－ ＝－f'（x0），D错误.故选B. 高中总复习·数学 目 录 2. 函数f（x）的图象如图所示，f'（x）为函数f（x）的导函数，下列数 值排序正确的是（　　） A. 0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）－f（2） B. 0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2） C. 0＜f'（3）＜f'（2）＜f（3）－f（2） D. 0＜f（3）－f（2）＜f'（2）＜f'（3） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　过点A作切线lA，过点B作切线lB，连接AB，得到直线lAB，由 图可知，lA的斜率＞lAB的斜率＞lB的斜率，即f'（2）＞ ＞f' （3）＞0，所以0＜f'（3）＜f（3）－f（2）＜f'（2），故选B. 高中总复习·数学 目 录 3. 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却 和加热.已知在第x h时，原油的温度（单位：℃）为f（x）＝x2－7x＋15 （其中0≤x≤8）.则第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ⁠ ，第6 h时原油温度的瞬时变化率为 ，在第6 h附近原油的 温度在 （填“上升”或“下降”）. －1 ℃/h　 5 ℃/h　 上升　 高中总复习·数学 目 录 解析：第2 h～4 h中，原油温度的平均变化率为 ＝－1 （℃/h）.第6 h时原油温度的瞬时变化率为f'（6），由导数的定义， ＝ ＝ ＝ ＝Δx＋5，故f'（6）＝ ＝ （Δx＋5）＝5，由f' （6）＞0，故在第6 h附近原油的温度在上升. 高中总复习·数学 目 录 4. （2025·贵州六盘水一模）将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝ m时球的体积膨胀率为 ，则m＝ ⁠. 解析：因为V＝ R3，体积的增加量ΔV＝ m3－ ＝ （m3－1），所 以 ＝ ＝ ，所以m2＋m＋1＝7，解得m＝2或m＝－3（舍 去）. 2　 高中总复习·数学 目 录 求函数f（x）在x＝x0处的导数的步骤 （1）求平均变化率 ＝ ； （2）求瞬时变化率，即取极限 ，得到f'（x0）. 高中总复习·数学 目 录 导数的运算（基础自学过关） 1. 〔多选〕下列求导正确的是（　　） A. （e－2x＋1）'＝e－2x＋1 B. （x3ln x）'＝3x2ln x＋x2 C. （ ）'＝ D. [（3x＋5）3]'＝9（3x＋5）2 √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，（e－2x＋1）'＝－2e－2x＋1，故A错误；对于B，（x3ln x）'＝（x3）'ln x＋x3（ln x）'＝3x2ln x＋x2，故B正确；对于C，（ ） '＝ ＝ ，故C错误；对于D，[（3x＋5） 3]'＝3（3x＋5）2（3x＋5）'＝9（3x＋5）2，故D正确. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知函数f（x）＝2f'（3）x－ x2＋ln x（f'（x）是f（x）的导函 数），则f（1）＝（　　） A. － B. － C. D. √ 解析： 　由题意得f'（x）＝2f'（3）－ x＋ ，∴f'（3）＝2f'（3）－ ＋ ，得f'（3）＝1，∴f（x）＝2x－ x2＋ln x，∴f（1）＝2－ ＝ ， 故选D. 高中总复习·数学 目 录 3. 设函数f（x）＝ ，若f'（ ）＝0，则a＝ ⁠. 解析：由f（x）＝ ，得f'（x）＝ ＝ ，所以f'（ ）＝ ＝0，得a＝1. 1　 高中总复习·数学 目 录 4. 已知f（x）＝x（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4）＋2 026，则f' （0）＝ ⁠. 解析：令g（x）＝（x＋1）（x＋2）（x＋3）（x＋4），则f（x）＝ xg（x）＋2 026，所以f'（x）＝g（x）＋xg'（x），所以f'（0）＝g （0）＝1×2×3×4＝24. 24　 高中总复习·数学 目 录 函数求导应遵循的原则 （1）求导之前，应利用代数、三角恒等变换等对函数进行化简，然后求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； （2）进行导数运算时，要牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记 错记混； （3）复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量， 确定复合过程，然后求导. 提醒：当函数解析式中含有待定系数（如f'（x0），a，b等），求导时把 待定系数看成常数，再根据题意求解即可. 高中总复习·数学 目 录 导数的几何意义及应用（定向精析突破） 考向1　求切线方程 （1）（2024·全国甲卷6题）设函数f（x）＝ ，则曲线y＝f （x）在点（0，1）处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 （　A　） A. B. C. D. A 高中总复习·数学 目 录 解析： f'（x）＝ ，所以f'（0）＝3，所 以曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程为y－1＝3（x－0），即3x －y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），（－ ，0），所以 切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ .故选A. 高中总复习·数学 目 录 （2）〔多选〕（2026·陕西商洛模拟）过点（1，0）向曲线y＝x3－x作切 线，则切线方程可能是（　AC　） A. 2x－y－2＝0 B. 3x－y－3＝0 C. x＋4y－1＝0 D. 2x＋y－2＝0 AC 解析： 令f（x）＝x3－x，则f'（x）＝3x2－1.设切点坐标为（x0， － x0），则切线方程为y－（ －x0）＝（3 －1）（x－x0），将（1， 0）代入，整理得2 －3 ＋1＝2 －2 － ＋1＝0，即（x0－1）2 （2x0＋1）＝0，解得x0＝1或x0＝－ .当x0＝1时，切线方程为2x－y－2 ＝0；当x0＝－ 时，切线方程为x＋4y－1＝0.故选A、C. 高中总复习·数学 目 录 1. 求在切点P（x0，f（x0））处曲线的切线方程 （1）求出函数y＝f（x）在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f（x）在点P （x0，f（x0））处切线的斜率； （2）由点斜式方程求得切线方程为y－f（x0）＝f'（x0）·（x－x0）. 高中总复习·数学 目 录 2. 求过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程 （1）设切点坐标P'（x1，f（x1））； （2）写出在点P'（x1，f（x1））处的切线方程y－f（x1）＝f'（x1）（x －x1）； （3）将点P（x0，y0）代入求x1的值，再代入得所求切线方程. 提醒：注意“过”与“在”的区别，前者不一定为切点，而后者一定 为切点. 高中总复习·数学 目 录 考向2　求切点坐标 在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处 的切线经过点（－e，－1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标 是 ⁠. 解析：设A（m，n），则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝ （x－m）.又切线过点（－e，－1），所以有n＋1＝ （m＋e）.再由n ＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为（e，1）. （e，1）　 高中总复习·数学 目 录 　　求切点坐标的一般步骤 高中总复习·数学 目 录 考向3　求参数的值（范围） （2025·全国Ⅰ卷12题）若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切 线，则a＝ ⁠. 解析：设直线y＝2x＋5与曲线y＝ex＋x＋a的切点坐标为（x0， ＋x0 ＋a），由y＝ex＋x＋a得y'＝ex＋1，所以y' ＝ ＋1＝2，解得 x0＝0，所以切点坐标为（0，1＋a），又切点（0，1＋a）在切线y＝2x ＋5上，所以1＋a＝5，解得a＝4. 4　 高中总复习·数学 目 录 利用导数的几何意义求参数的基本方法 　　利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程 （组）或者参数满足的不等式（组），进而求出参数的值或取值范围. 提醒：（1）注意曲线上横坐标的取值范围；（2）谨记切点既在切线上又 在曲线上. 高中总复习·数学 目 录 训练 （1）设点P在曲线y＝ex上，点Q在直线y＝ x上，则｜PQ｜的最 小值为（　B　） A. B. C. D. 解析： 令y'＝ex＝ ，得x＝－1，代入曲线y＝ex中，得y＝e－1＝ ，所 以｜PQ｜的最小值即为点（－1， ）到直线y＝ x的距离d＝ . B 高中总复习·数学 目 录 （2）（2022·新高考Ⅰ卷15题）若曲线y＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的 切线，则a的取值范围是 ⁠. 解析：因为y＝（x＋a）ex，所以y'＝（x＋a＋1）ex.设切点为A（x0， （x0＋a） ），O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y' ＝ （x0＋a＋1） ＝ ，化简，得 ＋ax0－a＝0.因为曲线y ＝（x＋a）ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程 ＋ax0－a ＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的 取值范围是（－∞，－4）∪（0，＋∞）. （－∞，－4）∪（0，＋∞）　 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：94分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. 下列求导运算正确的是（　　） A. （x－ ）'＝1－ B. [log5（2x＋1）]'＝ C. （5x）'＝5xlog5x D. （x2 cos x）'＝2x cos x－x2 sin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 解析： 　对于A， '＝1＋ ，对于B，[log5（2x＋1）]'＝ ，对于C，（5x）'＝5xln 5.故A、B、C错误，D正确. 高中总复习·数学 目 录 2. （2025·海南海口二模）函数f（x）＝f'（1）x2＋ 在x＝1处 的瞬时变化率是（　　） A. －2 B. －1 C. 0 D. 1 √ 解析： 　f'（x）＝2f'（1）x＋ ＝2f'（1）x＋ ，令x＝1，可得f'（1）＝2f'（1）＋2，解得f'（1）＝－2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 3. 已知函数f（x）＝ ＋1，则 的值为（　　） A. － B. C. D. 0 √ 解析： 　由f（x）＝ ＋1，得f'（x）＝ ，所以 ＝－ ＝－f'（1）＝－ × ＝－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·广东湛江模拟）已知函数f（x）＝ex＋2x，则曲线y＝f（x） 在点（0，f（0））处的切线方程为（　　） A. y＝2x＋1 B. y＝3x＋1 C. y＝2x D. y＝3x √ 解析： 　由f（x）＝ex＋2x，得f'（x）＝ex＋2，则f（0）＝1，f'（0） ＝3，所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝3x＋1. 故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 5. （2025·北京市第二中学二模）已知过点A（a，0）作曲线y＝（1－ x）ex的切线有且仅有1条，则a＝（　　） A. －3 B. 3 C. －3或1 D. 3或1 √ 解析： 　设切点为（x0，（1－x0） ），由已知得y'＝－xex，则切线 斜率k＝－x0 ，切线方程为y－（1－x0） ＝－x0 （x－x0），直 线过点A（a，0），则－（1－x0） ＝－x0 （a－x0），化简得 －（a＋1）x0＋1＝0，切线有且仅有1条，即Δ＝（a＋1）2－4＝0，化简 得a2＋2a－3＝0，即（a＋3）（a－1）＝0，解得a＝－3或1.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导 函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″ （x）＝（f'（x））'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上 为凸函数.以下四个函数在（0， ）上是凸函数的是（　　） A. f（x）＝ sin x＋ cos x B. f（x）＝ln x－2x C. f（x）＝－x3＋2x－1 D. f（x）＝－xe－x √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A选项，f（x）＝ sin x＋ cos x，则f″（x）＝－ sin x－ cos x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B选项，f （x）＝ln x－2x，则f″（x）＝－ ，当x∈（0， ）时，恒有f″（x） ＜0，是凸函数；对于C选项，f（x）＝－x3＋2x－1，则f″（x）＝－6x ＜0在x∈（0， ）上恒成立，是凸函数；对于D选项，f（x）＝－xe－ x，则f″（x）＝2e－x－xe－x＝（2－x）e－x，则f″（x）＞0在x∈（0， ）上恒成立，故不是凸函数.故选A、B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 7. 已知y＝f（x）是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f（x） 在x＝3处的切线，令g（x）＝xf（x），g'（x）是g（x）的导函数，则 g'（3）＝ .　 0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析：由题图可知曲线y＝f（x）在x＝3处切线的斜率等于－ ，∴f' （3）＝－ .∵g（x）＝xf（x），∴g'（x）＝f（x）＋xf'（x），∴g' （3）＝f（3）＋3f'（3），又由题图可知f（3）＝1，∴g'（3）＝1＋3× （－ ）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 8. 曲线y＝ln ｜x｜过坐标原点的两条切线的方程为 ， ⁠ ⁠. 解析：先求当x＞0时，曲线y＝ln x过原点的切线方程，设切点为（x0， y0），则由y'＝ ，得切线斜率为 ，又切线的斜率为 ，所以 ＝ ， 解得y0＝1，代入y＝ln x，得x0＝e，所以切线斜率为 ，切线方程为y＝ x.同理可求得当x＜0时的切线方程为y＝－ x.综上可知，两条切线方程 为y＝ x，y＝－ x. y＝ x　 y＝ － x　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x＋b（a， b∈R）. （1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a， b的值； （1）由题意得 解得b＝0，a＝－3或1. 解：f'（x）＝3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解：因为曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线， 所以关于x的方程3x2＋2（1－a）x－a（a＋2）＝0有两个不相等的实 数根， 所以Δ＝4（1－a）2＋12a（a＋2）＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－ .所以a的取值范围为（－∞，－ ）∪ （－ ，＋∞）. （2）若曲线y＝f（x）存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 10. 过原点且与曲线y＝x sin x相切的直线有（　　） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 √ 解析： 　令f（x）＝x sin x，则f'（x）＝ sin x＋x cos x.设切点坐标为 （x0，x0 sin x0），当x0＝0时，切线的斜率为f'（0）＝0，切线方程为y＝ 0；当x0≠0时，因为切线过原点，所以 ＝ sin x0＋x0 cos x0，所以x0 cos x0＝0，所以x0＝0（舍去）或 cos x0＝0，所以 sin x0＝±1，即切线的斜 率为±1，则切线方程为y＝±x，综上，切线共有3条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 11. 若点A（a，a），B（b，eb）（a，b∈R），则A，B两点间距 离｜AB｜的最小值为（　　） A. B. C. 1 D. 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 点A（a，a）在直线y＝x上，点B（b，eb）在曲线y＝ex 上，即求｜AB｜的最小值等价于求直线y＝x上的点到曲线y＝ex上的点 的距离的最小值，过y＝ex上的点（m，em）作y＝ex的切线，可得切线 方程为y－em＝em（x－m），令em＝1，可得m＝0，故该切线方程为y ＝x＋1，则直线y＝x＋1与y＝x的距离即为｜AB｜的最小值，此时｜ AB｜＝ ＝ ，即｜AB｜min＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 12. （2026·山东济宁模拟）曲线y＝ （a＞0）与y＝ln x和y＝ex分别交 于A，B两点，设曲线y＝ln x在点A处的切线斜率为k1，y＝ex在点B处的 切线斜率为k2，若k1＋k2＝ ，则a＝（　　） A. 2ln 2 B. 2ln 3 C. 3ln 2 D. 3ln 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 因为y＝ln x和y＝ex互为反函数，其图象关于直线y＝x对称， 且反比例函数y＝ （a＞0）的图象也关于直线y＝x对称，可知点A，B 关于直线y＝x对称，设A（x0，ln x0），x0＞1，则B（ln x0，x0），设f （x）＝ln x，g（x）＝ex，则f'（x）＝ ，g'（x）＝ex，由题意可得： k1＋k2＝ ＋ ＝ ＋x0＝ ，解得x0＝2或x0＝ （舍去），可得A （2，ln 2），则 ＝ln 2，所以a＝2ln 2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 13. （2025·山东淄博一模）已知定义在R上的函数f（x），f'（x）为f （x）的导函数，f'（x）定义域也是R，f（x）满足f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1，则 f'（i）＝ ⁠. 解析：对f（x＋1 012）－f（1 013－x）＝4x＋1两边同时求导得f'（x＋1 012）＋f'（1 013－x）＝4，即f'（x）＋f'（2 025－x）＝4，则f'（1）＋f' （2 024）＝4，f'（2）＋f'（2 023）＝4，…，f'（1 012）＋f'（1 013）＝ 4，则 f'（i）＝4×1 012＝4 048. 4 048　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 14. （15分）设函数f（x）＝ax－ ，曲线y＝f（x）在点（2，f（2）） 处的切线方程为7x－4y－12＝0. （1）求f（x）的解析式； 解： f'（x）＝a＋ ， 又根据切线方程可知 解得 所以f（x）＝x－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 （2）证明：曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所 围成的三角形的面积为定值，并求此定值. 解： 设P（x0，y0）为曲线y＝f（x）上任一点， 由y'＝1＋ 知曲线在点P（x0，y0）处的切线方程为y－y0＝（1＋ ） （x－x0）， 即y－（x0－ ）＝（1＋ ）（x－x0）. 令x＝0得y＝－ ，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为（0，－ ）. 令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x0，2x0）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 所以S＝ ｜－ ｜·｜2x0｜＝6. 故曲线y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形 的面积为定值，此定值为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 15. 〔创新解法〕牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一 种方法.若定义xk（k∈N）是函数零点近似解的初始值，在点Pk（xk，f （xk））处的切线方程为y＝f'（xk）（x－xk）＋f（xk），切线与x轴交 点的横坐标为xk＋1，即函数零点近似解的下一个初始值，以此类推，满足 精确度的初始值即函数零点近似解.设函数f（x）＝x2－5，满足x0＝1.应 用上述方法，则x3＝（　　） A. 3 B. √ C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 解析： 　因为f（x）＝x2－5，所以f'（x）＝2x，因为x0＝1，所以f （x0）＝f（1）＝－4，f'（x0）＝2，则在点（x0，f（x0））处的切线方 程为y＋4＝2（x－1）.令y＝0，则x1＝3，则f（x1）＝4，f'（x1）＝6， 则在点（x1，f（x1））处的切线方程为y－4＝6（x－3）.令y＝0，则x2 ＝ ，则f（x2）＝ ，f'（x2）＝ ，则在点（x2，f（x2））处的切线方 程为y－ ＝ （x－ ）.令y＝0，则x3＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 高中总复习·数学 目 录 $