第19讲 导数的概念及其意义、导数的运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及其意义、导数的运算”专题，依据高考评价体系梳理了变化率与导数概念、导数运算、导数几何意义（含切线方程、切点坐标、参数范围）及公切线问题四大核心考点，通过近五年真题分析明确“导数几何意义”占比45%、“导数运算”占30%的高频考点分布，归纳出选择、填空、解答题三大常考题型。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养提升”的备考策略，如以2025全国一卷“切线与曲线参数”题为例，提炼“斜率相等-切点在曲线-切点在切线”三方程法，培养学生的数学思维和运算能力。特设“易错点警示”（如混淆“在点处”与“过点”切线）和“母题变式训练”，帮助学生熟练掌握导数应用技巧，教师可据此精准指导，提升复习效率。

第19讲导数的概念及其意义、导数的运算 考点一　变化率及导数的概念 [例1]　 (多选)已知某物体运动时位移s与时间t之间的关系式为s(t)=7t2+8(0≤t≤5),则(　 　) A.当1≤t≤3时,该物体的平均速度是28 B.该物体在t=4时的瞬时速度是56 C.该物体位移的最大值为43 D.该物体在t=5时的瞬时速度是70 ABD [解析]　对于A,当1≤t≤3 时,该物体的平均速度是==28,A正确; 对于B,= =(56+7Δt)=56,B正确; 对于C,由题易知,s(t)在[0,5] 上单调递增, 所以当t=5 时,s(t)取最大值,最大值为s(5)=7×52+8=183,C错误; 对于D,= =(70+7Δt)=70,D正确. 方法总结 由导数的定义可知,若函数y=f(x)在x=x0处可导,则f'(x0)=,它仅与x0有关,与Δx无关,因此使用导数的定义时要明确公式的形式,分子为函数值的改变量,分母是自变量的改变量,要注意公式的变形. 跟踪训练 1.已知函数f(x)=,则=(　　) A.2　　　B.　　　C.-　　　D.-4 解析:因为f(x)=,所以f'(x)=,则=f'(2)==. B 考点二　导数的运算 [例2]　(1)(多选)下列函数求导运算正确的是(　　) A.(lg x)'= B.(e-x)'=e-x C.(x2sin x)'=2xsin x+x2cos x D.[ln(2x+1)]'= AC [解析]　由基本初等函数的导数公式可知,(lg x)'=,故A正确; (e-x)'=()'==-=-e-x,故B错误; (x2sin x)'=(x2)'sin x+x2(sin x)'=2xsin x+x2cos x,故C正确; 令t=2x+1,则y=ln t,则t'=2,y'=, 则[ln(2x+1)]'==,故D错误. (2)已知函数f(x)=sin 2x-xf'(0),则f'()=　　　　.  [解析]　f'(x)=2cos 2x-f'(0),令x=0得f'(0)=2cos 0-f'(0)=2-f'(0), 解得f'(0)=1,故f'(x)=2cos 2x-1,所以f'()=2cos π-1=-3. -3 方法总结 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商,再利用运算法则求导. 2.抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求解. 3.复合函数求导,应由外到内逐层求导,必要时要进行换元. 4.解析式形如f(x)=f'(x0)g(x)+h(x)(x0为常数)的函数求值问题,解题思路:先求导数f'(x),然后令x=x0,解关于f'(x0)的方程,即可得到f'(x0)的值,进而得到f(x),f'(x),再进行求解. 跟踪训练 2.(多选)下列求导运算正确的是(　 　) A.[ln(-x)]'= B.(2-x)'=-ln 2·2-x C.()'= D.()'= ABD 解析:对于A,[ln(-x)]'=×(-1)=,故A正确; 对于B,(2-x)'=[()x]'=()x·ln =-ln 2·2-x,故B正确; 对于C,()'=[(x-1]'=(x-1=,故C错误; 对于D,()'==,故D正确. 3.已知函数f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(2)=　　　　.  解析:因为f(x)=3ln(x-1)-x2f'(2),则f'(x)=-2xf'(2), 令x=2,可得f'(2)=3-4f'(2),解得f'(2)=. 考点三　导数的几何意义 角度1　求切线方程 [例3]　(1)若函数f(x)=xln x+2xf'(1),则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为　　　　.  [解析]　因为f(x)=xln x+2xf'(1),所以f'(x)=ln x+1+2f'(1), 令x=1,得f'(1)=1+2f'(1),解得f'(1)=-1,所以f(x)=xln x-2x,则f(1)=-2, 所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-(-2)=-1×(x-1),即y=-x-1. y=-x-1 (2)已知函数f(x)=x-ln x,过原点作曲线y=f(x)的切线,则该切线的方程为　　　　　　.  [解析]　设所求切线切点为(x0,x0-ln x0),x0>0,由题可知f'(x)=1-,x>0, 所以所求切线斜率为k=f'(x0)=1-,又切线过原点, 所以1-=⇒x0=e,故切点为(e,e-1),切线斜率为1-, 所以切线方程为y=(1-)x. y=(1-)x 角度2　求切点坐标 [例4]　已知函数f(x)=ln x+x,过原点作曲线y=f(x)的切线l,则切点P的坐标为(　　) A.(1,1) B.(e,e+1) C.(,-1) D.(e2,e2+2) B [解析]　由题意可知,f'(x)=+1,x>0, 设切点为P(x0,ln x0+x0),x0>0,则切线方程为y=(+1)(x-x0)+ln x0+x0. 因为切线过原点,所以0=(+1)(-x0)+ln x0+x0=ln x0-1,解得x0=e,则P(e,e+1). 角度3　求与切线有关的参数值(范围) [例5]　(1)(2025·全国一卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线,则a=　　　　　　.  4 [解析]　法一:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1. 因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,直线的斜率为2, 所以y'=ex+1=2,即ex=1,解得x=0, 将x=0代入切线方程y=2x+5,可得y=2×0+5=5, 所以切点坐标为(0,5). 因为切点(0,5)在曲线y=ex+x+a上, 所以5=e0+0+a,即5=1+a,解得a=4. 法二:对于y=ex+x+a,其导数为y'=ex+1, 假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为(x0,y0), 则解得a=4. (2)(2022·新课标Ⅰ卷)若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是　　 　　　.  [解析]　设y=f(x)=(x+a)ex,则f'(x)=(x+a+1)ex,设切点为(x0,(x0+a)), 因此切线方程为y-(x0+a)=(x0+a+1)(x-x0). 又∵切线过原点(0,0),∴-(x0+a)=(x0+a+1)·(-x0),整理得+ax0-a=0.又切线有两条,∴关于x0的方程+ax0-a=0有两个不相等的实根,故Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4. (-∞,-4)∪(0,+∞) 方法总结 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点”的切线方程的不同.过点的切点坐标不知道,要设出切点坐标,根据①斜率相等,②切点在切线上,③切点在曲线上建立方程(组)求解,求出切点坐标是解题的关键. 跟踪训练 4.(2024·全国甲卷)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A. B. C. D. A 解析:f'(x)=, 所以f'(0)=3, 所以曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线方程为y-1=3(x-0),即3x-y+1=0, 切线与两坐标轴的交点分别为(0,1),(-,0), 所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=. 5.已知f(x)=x2-,过原点作曲线y=f(x)的切线,则切点的横坐标为(　　) A.2 B.-2 C.- D. C 解析:由f(x)=x2-,得f'(x)=x+, 设切点坐标为(x0,-), ∴f'(x0)=x0+, 则切线方程为y-+=(x0+)(x-x0). ∵切线过原点, ∴-+=-x0(x0+)=--, 解得x0=-, 即切点的横坐标为-. 6.若函数f(x)=x-+aln x存在与x轴平行的切线,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:f'(x)=1++(x>0), 依题意得f'(x)=0有解, 即-a=x+有解. ∵x>0, ∴x+≥2,当且仅当x=1时取等号, ∴-a≥2,即a≤-2. (-∞,-2] 两曲线的公切线问题 教材延展 知识背景 在教材中没有明确提到两条曲线的公切线问题,但在高考题中经常考查两条曲线的公切线问题.如2024·新课标Ⅰ卷T13. 定义:若直线l与曲线C1,C2均相切,则称直线l是曲线C1与曲线C2的公切线. 思路分析 一般地,求C1:y=f(x)与C2:y=g(x)的公切线l的方程有以下三种思路: 思路1:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l的方程为y=kx+b,则研究方程组解的情况. 思路2:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),f'(x1)=g'(x2)= (x1≠x2),研究方程解的情况. 思路3:设切点分别为A(x1,f(x1)),B(x2,g(x2)),公切线l:y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),y-g(x2)=g'(x2)(x-x2), 则研究方程组解的情况. 角度1　共切点的公切线问题 [例1]　已知函数g(x)=的图象与函数f(x)=aln x的图象在公共点处有相同的切线,则公共点的坐标为　　　　　　.  (e2,e) [解析]　由题可知,函数f(x)=aln x的定义域为(0,+∞),f'(x)=,g'(x)=. 设曲线f(x)=aln x与曲线g(x)=的公共点为(x0,y0)(x0>0). 因为f(x)的图象与g(x)的图象在公共点处有共同的切线,所以=,即x0=4a2(a>0). 由f(x0)=g(x0),可得aln x0=, 联立解得x0=e2,所以y0=e,所以公共点的坐标为(e2,e). 跟踪训练 1.设曲线f(x)=aex+b和曲线g(x)=cos+c在它们的公共点P(0,2)处有相同的切线,则ba+c=　　　　　　.  解析:由已知得, 又f'(x)=aex,g'(x)=-sin,所以f'(0)=g'(0)=0,解得a=0,所以a=0,b=2,c=1,所以ba+c=20+1=2. 2 角度2　不共切点的公切线问题 [例2]　(2026·广东广州模拟)已知曲线C1:f(x)=ex-1和曲线C2:g(x)=1+ln x,请写出曲线C1和C2的一条公切线方程:　　 　 　　　.  y=x(答案不唯一,或填y=ex-1) [解析]　设公切线与C1:f(x)=ex-1的切点为(x1,-1),与C2:g(x)=1+ln x的切点为(x2,1+ln x2)(x2>0). 由f'(x)=ex,则f'(x1)=,则公切线方程为y=(x-x1)+-1, 即y=x+(1-x1)-1; 由g'(x)=,则g'(x2)=,则公切线方程为y=(x-x2)+ln x2+1,即y=·x+ln x2, 所以 故曲线C1和C2的公切线方程为y=x或y=ex-1. 2.已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　) A.k=,b=0　　　　　　 B.k=1,b=0 C.k=,b=-1 D.k=1,b=-1 跟踪训练 A 解析:设直线与曲线y=ln x的切点为(x1,ln x1)且x1>0, 与曲线y=-ln(-x)的切点为(x2,-ln(-x2))且x2<0,令f(x)=ln x,g(x)=-ln(-x), 又f'(x)=(ln x)'=,g'(x)=[-ln(-x)]'=-, 则曲线y=ln x的切线方程为y-ln x1=(x-x1),即y=x+ln x1-1, 曲线y=-ln(-x)的切线方程为y+ln(-x2)=-(x-x2),即y=-x+1-ln(-x2), 则 故k==,b=ln x1-1=0. $