12.4 复数的三角形式课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

该高中数学课件聚焦复数的三角形式，涵盖三角表示式、辐角主值、代数与三角形式互化及乘除法运算。通过复数几何意义导入，衔接已学代数形式，以模和辐角为支架构建知识脉络，帮助学生理解转化逻辑。 其亮点在于“自主诊断”辨析易错点（如辐角主值的倍数关系），“题型分析”结合实例（如例1互化、例2乘法运算），发展数学眼光（抽象模与辐角属性）、数学思维（推理乘除法则）。助力学生形成知识体系，教师可利用诊断和题型提升教学针对性。

第12章　复数 12.4　复数的三角形式 苏教版 必修第二册 【课标要求】 1.通过复数的几何意义,了解复数的三角表示. 2.理解复数的代数形式与三角形式之间的关系. 3.理解复数乘、除运算的三角表示. 要点深化·核心知识提炼 知识点一　复数的三角表示式 1.复数的三角形式 一般地,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cos θ+isin θ)的形式(如图).相关概念如表所示. 概念名称 概念的说明 模r r是复数z的模,r= 辐角θ θ是以x轴的非负半轴为始边、向量所在的射线(起点是原点O)为终边的角,且cos θ=,sin θ= 三角形式 r(cos θ+isin θ)称为复数z的三角形式,该式的结构特征是:模非负,角相同,余弦前,加号连 代数形式 z=a+bi 2.辐角主值 很明显,任一非零的复数z=a+bi的辐角有无限个值,这些值相差2π的整数倍.我们把其中适合于0≤θ<2π的辐角θ的值叫作复数z=a+bi的辐角主值,记作arg z,即0≤arg z<2π. 复数z=0在复平面内与原点O(0,0)对应,向量是零向量,这时复数的模为0,辐角是任意的. 知识点二　复数三角形式的乘除法 设z1=r1(cos θ1+isin θ1), z2=r2(cos θ2+isin θ2), 则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)], [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]. 知识点三　复数代数形式和三角形式的互化 复数的代数形式化三角形式的步骤:(1)先求复数的模;(2)确定辐角所在的象限;(3)根据象限求出辐角(常取它的主值);(4)写出复数的三角形式. 知识点四　三角形式下复数的相等 两个非零复数相等,当且仅当它们的模与辐角主值分别相等. 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若复数z的辐角主值是θ,则z2的辐角主值是2θ.(　　) (2)若复数z的辐角主值是θ,则的辐角主值是2π-θ.(　　) (3)复数z1,z2的辐角主值分别是θ1,θ2,则z1z2的辐角主值是θ1+θ2.(　　) (4)复数z1,z2的辐角主值分别是θ1,θ2,且θ1>θ2,则的辐角主值是θ1-θ2.(　　) × √ × √ 题型分析·能力素养提升 【题型一】复数的三角形式 例 1 [链接教材例2]将下列复数中的代数形式表示成三角形式,三角形式表示成代数形式. (1)-1;(2)-i;(3)i; (4)10(cos+isin); (5)4(cos+isin). 解 (1)模长r=1,辐角主值arg(-1)=π, ∴-1=cos π+isin π. (2)模长r==2,设辐角为θ, 则辐角主值为, -i=2 (3)模长r==3,设辐角为θ, ∴辐角主值为,i=3 (4)原式=10=5+5i. (5)原式=4=-2+2i. 题后反思　复数的代数形式z=a+bi(a,b∈R)化为复数三角形式的一般步骤 (1)求复数的模:r=; (2)由求出复数的一个辐角(一般情况下,只需求出复数的辐角主值即可); (3)写出复数的三角形式. 跟踪训练1 设z为复数,且z的辐角主值为,z-2的辐角主值为,则复数z为(　　) A.-2+i B.2-+i C.-1+i D.i D 解析 设z=a+bi,z-2=a-2+bi,∵z的辐角主值为,=tan,即b=a,① 又z-2的辐角主值为, =tan=-,即b=2a,② 联立①②可得a=,b=,∴z=i.故选D. 【题型二】复数三角形式的乘法运算 例 2 [链接教材例4(1)]计算: (1)2(cos+isin); (2)2(cos 5°+isin 5°)×4(cos 30°+isin 30°)×(cos 25°+isin 25°). 解 (1)原式=2=2 =-2i. (2)原式=8(cos 35°+isin 35°)(cos 25°+isin 25°) =4(cos 60°+isin 60°)=2+2i. 题后反思　两个复数三角形式的乘法法则可简记为“模数相乘,辐角相加”,并且可以作以下推广: (1)有限个复数相乘,结论亦成立,即z1·z2·…·zn=r1(cos θ1+isin θ1)·r2(cos θ2 +isin θ2)·…·rn(cos θn+isin θn)=r1·r2·…·rn[cos(θ1+θ2+…+θn) +isin(θ1+θ2+…+θn)]. (2)当z1=z2=…=zn=z,即r1=r2=…=rn=r,θ1=θ2=…=θn=θ时,zn=[r(cos θ+ isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ),这就是复数三角形式的乘方法则,即“模数乘方,辐角n倍”. 跟踪训练2 已知复数z1=(cos+isin),z2=(cos+isin),则z1z2的代数形式是(　　) A.(cos+isin) B.(cos+isin) C.i D.i D 解析 z1z2=[cos()+isin()]=(cos+isin) =i)=i.故选D. 【题型三】复数三角形式的除法运算 例 3 [链接教材例4(2)]计算:2i÷[(cos 30°+isin 30°)]. 解 2i÷ =2(cos 90°+isin 90°)÷ =4(cos 60°+isin 60°)=2+2i. 题后反思　进行两个复数的三角形式除法运算时,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差. 跟踪训练3 计算:z=2÷[(cos+isin)]=　　 　,则|z|=　　　　.  2-2i 4 解析 z=2÷[(cos+isin)]=2(cos 0+isin 0)÷[(cos+isin)] =4[cos(-)+isin(-)]=2-2i,则|z|==4. $